第四章 插补，刀具补偿与速度控制

第一节 插补原理与程序设计 一. 插补及其算法 插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，计算出若干个中间点的坐标值。 直线和圆弧是构成工件轮廓的基本线条，大多数CNC系统都具有直线和圆弧的插补功能。高档CNC系统还具有抛物线、螺旋线等插补功能。 插补算法归纳为两类：脉冲增量插补算法和数字增量插补算法。

脉冲增量插补算法 该插补为行程标量插补，常用于开环系统。每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲的方式输出。一个脉冲所产生的坐标轴移动量叫做脉冲当量，通常用 表示。 普通精度机床 ，较精密机床取 。 数字增量插补算法 该插补为时间标量插补，分两步进行。首先计算出插补周期内各坐标轴的增量值，称为粗插补；然后再跟据采样得到的实际位置增量计算跟随误差，得到速度指令输出给伺服驱动系统，称为精插补。适用于闭环或半闭环系统。

数字增量插补算法中，粗插补由软件完成，精插补可以由软件，也可以由硬件完成。 精插补由硬件完成：如日本FANUC公司的FANUC－3、6，见图4－1 粗、精插补由软件完成：如美国Allen-Bradley(A-B公司) 的9/260，见图4－2

二. 脉冲增量插补 （一）逐点比较法 1 直线插补算法 如图4－3，若点P正好位于直线OA上，则： 结论：F=0, 加工点P落在直线OA上 二. 脉冲增量插补 （一）逐点比较法 1 直线插补算法 如图4－3，若点P正好位于直线OA上，则： 若点P位于直线上方，则： 若点P位于直线下方，则： 结论：F=0, 加工点P落在直线OA上 F>0, 加工点P落在直线OA上方 F<0, 加工点P落在直线OA下方 定义偏差函数（偏差判别式）：

插补结束 插补开始 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别 若F>= 0, 下一步应该向+X方向走，则： 若F<0, 下一步应该向+Y方向走，则： 插补结束 插补开始 偏差判别 坐标进给 偏差计算 终点判别 Y N 逐点比较法直线插补，每进一步需要四个节拍： 1，偏差判别； 2，坐标进给； 3， 偏差计算；4， 终点判别

以上第一象限的结论适用于其他象限，具体进给脉冲分配方向及沿哪个轴分配。其规律如下

2 直线插补程序设计 需要进行的计算： （1）向X坐标发送脉冲后新偏差值： （2）向Y坐标发送脉冲后新偏差值： 插补前将坐标数据符号与数据本体分离，用数据本体进行插补计算，由数据符号确定坐标进给方向。

插补工作寄存器： 标志单元 FR：偏差函数寄存器 LR：X坐标偏差函数递推项寄存器，存放（－Ye） MR：Y坐标偏差函数递推项寄存器，存放Xe LC： X坐标终点判别寄存器，存放X坐标应输出的脉冲总数 MC：Y坐标终点判别寄存器，存放Y坐标应输出的脉冲总数 RL： X坐标进给方向寄存器，存放X坐标数据的符号 RM：Y坐标进给方向寄存器，存放Y坐标数据的符号 标志单元 FLAG0：进给坐标标志，X—“0”； Y—“1” FLAG1：坐标交换标志，坐标交换—“1”；不坐标交换—“0” FLAGL：X坐标插补完成标志，未完成—“0”； 完成—“1” FLAGM：Y坐标插补完成标志，未完成—“0”； 完成—“1”

 Y O X R Ri B F<0 F>0 F=0 3 逐点比较法圆弧插补算法 P(Xi,Yj) (Xe,Ye) 偏差函数 A(X0,Y0) R Ri P(Xi,Yj) B (Xe,Ye) F<0 F>0 F=0  3 逐点比较法圆弧插补算法 偏差函数 加工点在圆弧外测，F>0; 加工点在圆弧上，F=0; 加工点在圆弧内测，F<0; 对于第一象限逆圆弧，当F>=0时向X坐标负方向走一步，当F<0时向Y坐标正方向走一步。 ， 偏差计算 向X坐标负方向走一步后 向Y坐标正方向走一步后 终点判别：（1），采用终点坐标与加工点坐标相比较的方法进行 X坐标到达终点； Y坐标到达终点； （2），X,Y坐标应走总步数 沿X坐标走一步， 沿Y坐标走一步， 均到0时到达终点。

各象限插补规律如图，NR为逆圆弧，SR为顺圆弧，F>=0及F<0为判据

插补工作寄存器： 标志单元 4 圆弧插补程序设计 （1）一个象限圆弧插补程序设计 FR：偏差函数寄存器 LR：X坐标偏差函数递推项寄存器 MR：Y坐标偏差函数递推项寄存器 LC： X坐标终点判别寄存器， 存放X坐标应输出的脉冲总数 MC：Y坐标终点判别寄存器， 存放Y坐标应输出的脉冲总数 RL： X坐标进给方向寄存器，存放X坐标数据的符号 RM：Y坐标进给方向寄存器，存放Y坐标数据的符号 标志单元 FLAG0：进给坐标标志，X—“0”； Y—“1” FLAG1：坐标交换标志，坐标交换—“1”；不坐标交换—“0” FLAGL：X坐标插补完成标志，未完成—“0”； 完成—“1” FLAGM：Y坐标插补完成标志，未完成—“0”； 完成—“1”

对于圆弧插补，偏差函数递推增量为变量： 沿X坐标负方向走一步后有： 沿Y坐标正方向走一步后有： 每走一步，先将LR或MR寄存器中的数加2 LR或MR寄存器初值： LC或MC寄存器应分别预置 和

自动过象限程序包括象限边界处理，过象限判别及数据处理等 （2）圆弧插补的自动过象限程序设计 自动过象限程序包括象限边界处理，过象限判别及数据处理等 象限边界处理：判别数值“0”的符号。 对于逆时针圆弧（G03）其规律（ G02 则相反）为： 如果X0 为“0”，那么X0的符号与Y0的符号相反 如果Xe 为“0”，那么Xe的符号与Ye的符号相反 如果Y0 为“0”，那么Y0的符号与X0的符号相反 如果Ye 为“0”，那么Ye的符号与Xe的符号相反 过象限判据

当沿某坐标进给时，其脉冲频率为 ，进给速度达到最大值 5 逐点比较法的进给速度 设发向X,Y坐标脉冲的频率分别为 则沿X,Y坐标的进给速度分别为 合成进给速度为 当沿某坐标进给时，其脉冲频率为 ，进给速度达到最大值 可见进给速度的变化范围为（0－0.707）Vc, 最高进给速度与最低进给速度之比为1：1.414 为脉冲当量（mm/脉冲）

（二）数字积分法 优点：数字积分器具有运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现空间直线的插补，能够 插补出各种平面函数曲线。 缺点：速度调节不够方便，插补精度需要采取一定措施才能满足。 1，数字积分插补基本原理 若取 为最小基本单位“1”，则有矩形公式 累加求和运算可用数字积分来实现。

关于K的取值，主要考虑每次的增量 不大于1，以保证每次的进给脉冲不超过1个 2，数字积分直线插补 动点沿X,Y坐标移动的速度为Vx，Vy, 移动的微小增量为 动点沿OA匀速移动， V，Vx，Vy, 均为常数。 直线积分插补近似表达式 设经过m次累加，X,Y到达终点，则有 则m＝1/K 关于K的取值，主要考虑每次的增量 不大于1，以保证每次的进给脉冲不超过1个

3，数字积分圆弧插补 由图中相似三角形得： 移动的微小增量为 第一象限逆圆弧积分插补近似表达式 与直线插补数字积分器的差别： （1）对于圆弧插补，X坐标被积函数寄存器存的是Y坐标数据，Y坐标被积函数寄存器存的是X坐标数据。 （2）直线插补时被积函数寄存器存的是终点坐标值，为常量；而圆弧插补时存的是动点坐标值，为变量。 （3）圆弧插补时，起点处X,Y坐标的被积函数寄存器分别存入起点坐标值Y0,X0，Y坐标方向发进给脉冲时，X被积函数寄存器内容加1，X坐标方向发进给脉冲时，Y被积函数寄存器内容减1（第一象限逆圆弧）

4，数字积分插补的终点判别 5，硬件数字积分插补的合成进给速度 直线插补终点判别： 不论被积函数有多大，对于n位寄存器，必须累加2n次才能到达终点 圆弧插补终点判别： 用两个终点判别计数器累计两个坐标的进给脉冲数，也可以用一个终点判别计数器累计两个坐标进给脉冲总数。 5，硬件数字积分插补的合成进给速度 当X，Y坐标分量为小于2n－1的X，Y值时，X坐标方向的平均进给比率为X/ 2n,Y坐标方向的平均进给比率为Y/ 2n,其合成的轮廓进给比率为 ，从而合成的轮廓进给速度为

6，左移规格化处理 7，插补精度的提高 左移规格化处理的结果使寄存器中的数值变化范围变小，可能的最小数为 可能的最大数为 由此得到的合成速度的最小值和最大值分别为 7，插补精度的提高

8，用软件实现数字积分插补

在闭环和半闭环位置采样控制系统中，主要包括三项内容：插补，反馈采样及控制。 三 数字增量插补 在闭环和半闭环位置采样控制系统中，主要包括三项内容：插补，反馈采样及控制。 其中插补是选择合适的插补周期，计算出插补周期内各坐标轴的移动增量（粗插补）， 将移动增量转化为跟随误差和速度指令将是反馈采样及控制的任务（精插补），这就是 所谓的数字增量插补。 （一）插补周期的选择 图中最大半径误差 与步距角 的关系 T:插补周期；F：刀具移动速度 插补周期与误差，圆弧半径和速度有关。在误差和圆弧半径给定时插补周期短对于获得高的加工速度有利；在插补周期及圆弧半径给定时，为保证加工精度，必须对加工速度限制。

（二）直线插补算法 1 直线插补算法原理 刀具沿直线移动的速度为F，设插补周期为T，则插补周期的进给步长为 直线段长度： X，Y轴的位移增量分别为 插补第i点的动点坐标为

2 实用直线插补算法 数字增量插补算法分两步：插补准备，插补计算 （1）进给率数法 （2）方向余弦法1 （3）方向余弦法2 （4）直接函数法 （1）进给率数法 （2）方向余弦法1 （3）方向余弦法2 （4）直接函数法 （5）一次计算法

（三）圆弧插补算法 1，直接函数法 2，扩展DDA插补算法

第二节 刀具半径补偿 一，刀具补偿的基本概念 刀具补偿包括刀具半径补偿和长度补偿。 第二节 刀具半径补偿 一，刀具补偿的基本概念 刀具补偿包括刀具半径补偿和长度补偿。 由于刀具半径的存在，零件轮廓轨迹与刀具中心轨迹不重合，为了加工出符合图纸要求的零件轮廓，必须进行刀具半径偏移。加工外轮廓时应向外偏移一个刀具半径，加工内轮廓时应向轮廓内偏移一个刀具半径，这种偏移叫做刀具半径补偿。 刀具半径补偿的执行过程分为3阶段: 刀具半径补偿建立。只能在G00或G01的程序段进行。 刀具半径补偿进行。 刀具半径补偿注销。用G40撤销补偿，只能在G00或G01的程序段进行 刀具半径补偿只能在指定的二维平面内进行。用G17指定XY平面，用G18指定ZX平面用G19指定YZ平面，

二，B功能刀具半径补偿计算 (一)直线插补的B刀具半径补偿计算 (二)圆弧插补的B刀具半径补偿计算

二，B功能刀具半径补偿计算 (一)直线插补的B刀具半径补偿计算 (二)圆弧插补的B刀具半径补偿计算

三，C功能刀具半径补偿计算 (一)C刀具半径补偿功能的实现

(二)程序段间的转接 （1）直线与直线转接；（2）直线与圆弧转接； （3）圆弧与直线转接；（4）圆弧与圆弧转接；

(三)转接矢量的计算 （1）刀具半径矢量的计算 （2）转接交点矢量的计算

(四)常用的典型转接交点矢量计算公式 图 4－35 G41 直线接圆弧插入型转接 图 4－36 G41 圆弧接直线插入型转接

图 4－39 G41圆弧接直线伸长型转接 图 4－40 G41 圆弧接圆弧伸长型转接 图 4－41 G41圆弧接直线缩短型转接 图4－ 42 G41 圆弧接圆弧缩短型转接

第三节 进给速度和加减速控制 一 开环CNC系统的进给速度及加减速控制 通过控制输出脉冲频率来控制进给速度，常用方法： 第三节 进给速度和加减速控制 一 开环CNC系统的进给速度及加减速控制 通过控制输出脉冲频率来控制进给速度，常用方法： （1）程序计时法（软件延时法） （2）时钟中断法

一般通过软件实现。分为前加减速控制，后加减速控制 二 闭环（半闭环）CNC系统的加减速控制 一般通过软件实现。分为前加减速控制，后加减速控制 图 4－44 加减速控制 （a）前加减速控制 （b）后加减速控制 图 4－43 加减速控制流程图

瞬时速度是指系统在每个插补周期的进给量，用 表示。当系统处于稳定进给状态时， 当系统处于加速状态时， 当系统处于加速状态时， （一）前加减速控制 1. 稳定速度和瞬时速度 稳定速度 瞬时速度是指系统在每个插补周期的进给量，用 表示。当系统处于稳定进给状态时， 当系统处于加速状态时， 当系统处于加速状态时， 2. 线性加减速处理 当机床起动，停止或在切削加工过程中改变进给速度时，自动进 行线性加减速处理。加减速速率分为快速进给和切削进给两 种，均作为机床参数预先设置好。 系统加速到F所需时间为t，则加（减）速度为 加速处理：每加速一次的瞬时速度为 图 4－45 加速处理的原理框图

减速处理 图 4－46 减速处理的原理框图

直线插补时刀具中心到程序段终点距离（Si）的计算 终点判别处理： 直线插补时刀具中心到程序段终点距离（Si）的计算 圆弧插补时Si的计算 图 4－48 圆弧插补终点判别 （a） 圆心角小于180；（b） 圆心角大于180 图 4－47 直线插补终点判别

图 4－49 终点判别处理原理图

加速过程：当输入速度Vc与输出速度之差Vi－1大于KL时，将使输出速度增加KL 速度上升的斜率为 （二）后加减速控制 1. 直线加减速控制算法 加速过程：当输入速度Vc与输出速度之差Vi－1大于KL时，将使输出速度增加KL 速度上升的斜率为 加速过渡过程：当输入速度Vc大于Vi－1，但差值小于KL时， 匀速过程： ，不一定等于Vc 减速过渡过程：当输入速度Vc小于V i－1且差值小于KL时， 减速过程：当输入速度Vc小于V i－1且差值小于KL时，将使输出速度减小KL 速度下降的斜率为 图 4－50 直线加减速控制

在将起动或停止时的速度突变成随时间按指数规律上升或下降。 2. 指数加减速控制算法 在将起动或停止时的速度突变成随时间按指数规律上升或下降。 图 4－51 指数加减速控制 图 4－52 指数加减速控制原理图