第三章 随机信号的功率谱估计 郑宝玉

引言 作用：功率谱起着类似于频谱的作用 应用：通信、噪声监测、信号检测与估计、 模式识别、振动分析等领域 依据：观测数据（出发点） 基础：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密 度之间存在傅立叶变换关系（理论基础） 注意：随机信号不能直接进行傅立叶变换

内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计

内 容 自相关函数与功率谱 互相关函数与互功率谱密度 两个随机信号的统计关系 随机信号的高阶特征

自相关函数与功率谱密度 单个平稳随机信号 自相关函数： 自协方差函数： 性质：

自相关函数与功率谱密度(续) 考虑一有限时间段取值随机过程 的Fourier变换： 功率谱分布的总体平均为： 功率谱度：

自相关函数与功率谱密度(续) 性质：

自相关函数与功率谱密度(续) 白噪声： 功率（或能量）与频率无关，具有与白色光相同的能量分布性质 有色噪声：功率谱不等于常数的噪声

互相关函数与互功率谱密度 两个平稳随机信号 和 是联合平稳的 互相关数： 两个平稳随机信号 和 是联合平稳的 互相关数： 相同部分相乘（相同符号）＋不同（随机）部分相乘（平均意义上，相互抵消）。互相关函数描述的是两个信号共同的部分（特征)。

互相关函数与互功率谱密度(续) 互协方差函数： 性质：

互相关函数与互功率谱密度(续) 互相关系数 互功率谱密度：互协方差函数的Fourier变换 互相关系数越接近，两个信号越相似；反之，互相关系数越接近0，两个信号差异越大。 互功率谱密度：互协方差函数的Fourier变换 “零均值化”：均值不为0 的信号减去其均值 注：一些书将“零均值化”的相关函数的Fourier变换定义为功率谱。

两个随机信号的统计关系 统计独立： 统计不相关： 正交： 三者关系： 统计独立一定统计不相关，反之一般不成立（高斯随机过程的统计不相关与统计独立是等价的）； 若 的均值均等于0，则不相关与正交等价； 零均值的高斯信号，统计独立、不相关和正交三者等价。

两个随机信号的统计关系（续） 相干信号（Coherent)——拷贝信号 相干积累：收集相干信号，以提高接收机信噪比

正交的物理意义 两个向量正交 任何一个向量到另一个向量的投影为零 两个向量互不干扰

正交的两个典型应用 时分多址（TDMA:time-division multiple access): 1.在多址通信技术中的应用 通信理论的基本结论：若多个用户的信号可以做到正交， 则这些用户可共享一个发射媒介。 时分多址（TDMA:time-division multiple access): 各个用户的信号波形在时域上无重叠 正交（时域正交） 用户1和用户2之间有一个保护时隙 共享：整个频带

正交的两个典型应用（续） 频分多址（FDMA:frequncy-division multiple access): 各个用户信号的波形在频域上无重叠 频域正交 用户1和用户2之间有一个保护频隙(频带) 共享：整个时区

正交的两个典型应用（续） 码分多址（CDMA:code-division multiple access): 各个用户信号的波形在时域和频域都有重叠，但信号之间正交 扩频码之间正交 共享：整个时区和频带 直接序列CDMA 跳频CDMA： 在相同时区，各个用户的信号在频域不重叠 正交

正交的两个典型应用（续） 2. 离散 Karhunen-Loeve（K-L） 变换 目的：希望减少W的系数个数，又能够重构原信号X

正交的两个典型应用（续）

正交的两个典型应用（续） 最优化： 约束条件： 拉格郎日乘子法： 最优化： 约束条件： 拉格郎日乘子法： Lagrangge乘子 和基向量必须分别选取为自相关矩阵 的特征值 和特征向量

正交的两个典型应用（续） 离散K-L变换 若 只有K个大特征值，其余M-K个特征值可忽略，则 此时，均方误差 可达到最小。

正交的两个典型应用（续） 结论： 用 逼近 ，可使逼近（信号重构）的均方误差最小化，离散K-L变换是原信号的最优逼近。

正交的两个典型应用（续） 利用离散K-L变换进行信号编码及其解码 待发射信号： 求样本自相关矩阵 实际发射： 即可 待发射信号： 求样本自相关矩阵 特征值分解，确定大特征值个数K，并存储K个特征向量 信号编码 实际发射： 即可

正交的两个典型应用（续）

相关的应用 CDMA接收机接收信号：

相干的应用 无线通信中的多径信号为典型的相干信号 多径信号 加权系数选择：

相干的应用（续） RAKE接收：将所有具有较大能量的信号收集起来，并相加。这是一个典型的相干积累，可提供信干噪比（因为总的能量增加）。

随机信号的高阶特征 功率谱估计，Wiener滤波器都是以信号的相关函数为工具。 相关函数的局限性 模型的多重性：考虑功率谱 结论：由零极点模型(ARMA模型)产生的不同平稳随机过程(ARMA过程)的功率谱具有相同的形状。这一特性称为相关函数的多重性或模型的多重性。

随机信号的高阶特征（续） 两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和指数分布白色噪 声显然是不同的随机过程，但它们的功率谱相同。 用这样两个白色噪声激励同一个零极点模型，产生的两 个平稳随 机过程显然是不同的随机过程，但它们的功率谱相同。 两个灰度图相同的图像有可能是不同的图像。 结论：以上事实说明，要准确地刻画随机信号，仅使用相关函数(二阶统计量)是不够的，还必须使用更高阶的统计量。三阶和更高阶的统计量合称高阶统计量。 - 相关函数： 刻画信号的粗糙像 - 高阶统计量：刻画信号的细节

内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计

经典谱估计与现代谱估计 经典谱估计 现代谱估计

经典谱估计 基本思想：以傅立叶变换为基础，附以平均、加窗、平滑等预处理或后处理 优缺点 优点：简单易行、计算效率高 缺点：分辨率低、旁瓣效应，数据时缺点更突出 适用范围：长数据 主要方法：B－T法、周期图法 相互关系 － 二者存在联系，均采用加窗来改善特性 － FFT的出现使二者获得新生，并引入细化FFT － 都存在致命缺点：分辨率低

现代谱估计 算法基础 历史沿革 以随机过程或信号的的参数模型为基础,故称为参数模型法或参数法 － 从非工程领域(如实验数据和观测数据的处理、统计学) 的时间序列分析(早已有之)到工程领域的现代谱估计 － 现代谱估计始于60年代，经历了从线性预测滤波 最大熵谱估计(Burg,1967) 自回归谱估计方法(1968) Pisarenko谐波分解 多信号分类算法(MUSIC,1981) HOS方法

内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计

参数模型法概述 基本概念 信号模型

基本概念 参数模型法的基础 离散随机过程的统计描述 统计平均描述 － 均值 － 均方差或方差 － (自)相关函数与(自)协方差函数 信号的参数模型(即信号模型),而信号模型又以描述信号的离散随机过程的统计特性为基础。 离散随机过程的统计描述 概率描述 统计平均描述 － 均值 － 均方差或方差 － (自)相关函数与(自)协方差函数 － 功率谱密度（简称功率谱）函数

信号模型 基本考虑 思路 好处：对一个研究对象建模是现代工程常用的方法 约束 假设所研究的过程x(n)是由u(n)激励一个线性系统 H(z) 所产生的输出；如图1。 由已知的x(n)或其自相关函数rx(n)来估计H(z)的参数； 由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。 好处：对一个研究对象建模是现代工程常用的方法 使所研究的对象有一个简洁的数学表达式 通过对模型的研究，使我们对研究对象有更深入的了解 约束 H(z)是稳定因果移不变系统，单位脉冲响应是确定性的 x(n)可为平稳随机序列,亦可为确定性时间序列,取决于u(n)

信号模型 基本模型 AR模型 (自回归模型，Autogressive，全极点模型) MA模型(滑动平均模型,Moving-Average,全零点模型) ARMA模型(自回归滑动平均模型)

信号模型 模型与系统 平稳性与稳定性：系统稳定性与信号平稳性等价。 相互关系 信号模型不同于FIR系统和IIR系统，主要不同如下： 信号模型激励源为(白)噪声,其输出为(平稳)随机序列 信号模型具有两重性:本身是系统, 描述的是信号。 因此，对信号模型来说， - 既要研究模型的系统特性(主要不是研究模型的系统特性) - 又要研究信号的统计特性(主要研究模型描述的统计特性) 平稳性与稳定性：系统稳定性与信号平稳性等价。 相互关系 AR模型与MA模型、ARMA模型的关系 自相关函数、功率谱、信号模型（时间序列信号模型） 信号模型与马尔可夫序列

内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 内 容 随机信号的特征 经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计

基于AR模型的谱估计法 AR模型法 预测滤波法 等价关系

AR模型法 基本公式 基本思路 基于AR模型的谱估计由下式计算： 故要求知道：模型的阶数p和p个参数以及激励源方差 基本思路 把这些参数与已知或估计的自相关函数联系起来，构成著名的Yule-Walker方程，迭代求解该方程得到新的参数

AR模型法 - 通过对Sxx(z)求z反变换来获得Y-Wa方程 推导 推导方法 具体推导 考虑 - 直接根据模型的差分方程导出 其差分方程为 从而

AR模型法 具体推导（续） 考虑上式第二项的计算。设AR模型的脉冲响应为h(n),在方差为 白噪声作用下产生输出x(n)，故有 于是有 这就是著名的Y-W方程。

AR模型法 具体推导（续） 为求AR模型参数，应先由(2)式第二式选择m>0的p个方程求出p个模型参数，然后代入第易个方程求出 。 设已知自相关函数的头p+1个值为{r(0),r(1),…,r(p),则(2) 式可表示为

预测滤波法 基本结果 x(n)的线性预测值为 预测误差为 预测误差功率为 上式与(2)的第二式联立同样可得类似于(3)式的方程。

等价关系 AR模型法与预测滤波法等价 可以证明 此时 刚好对应于最佳预测误差滤波器。 结论：AR模型法和预测误差滤波法互为逆滤波,如图2

等价关系 AR模型法或预测滤波法与最大熵谱估计法等价 AR谱估计隐含着自相关函数的外推，故分辨率高。 Burg证明了，外推后的自相关序列应该具有最大熵， 才是最合理的。这意味着 － 该时间序列将是最随机或最不可预测的； － 该时间序列对应的谱是最平坦的或最白的。 经这样外推获得的自相关序列求出的谱称为最大熵谱。 AR模型法能够做到满足这个要求，故为最大熵谱估计法