1．导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景． (2)理解导数的几何意义．

3．导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)． (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)．

4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题．

高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．

导数几何意义的应用 函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k. (1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

(2)求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程 ①若P(x0，y0)是切点，则切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)； ②若P(x0，y0)不是切点，设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)， 再由切线过P点得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)① 又y1＝f(x1)② 由①②求出x1、y1的值， 即得出了过点P(x0，y0)的切线方程．

求曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点(1，－4)处的切线方程． 解析：　f′(x)＝12x3－6x2－18x，f′(1)＝－12， ∴曲线在点(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)， 即12x＋y－8＝0.

已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．

利用导数求函数的单调区间的一般步骤： (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)确认并指明函数的单调增区间、减区间．

①当a>1时，1－2a<－1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞) f′(x) ＋ － f(x) 单调递增 单调递减

由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)． ②当a＝1时，1－2a＝－1，此时有f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0， 故函数f(x)的单调增区间为R.

③当a<1时，1－2a>－1， 同理可得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a)． 综上：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－1)； 当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R； 当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a)．

1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．

2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得； ②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x的取值范围为(1,3)． (1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值； (2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．

解析：　(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a<0) ∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数， 在(1,3)上f′(x)>0，f(x)是增函数， 在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数． 因此，f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值．

由函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，求参数的取值范围的基本思路是由题设把问题转化为对x∈(a，b)恒有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)成立来解．

已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求a的取值范围．

利用导数可以解决生产、生活中的最优化问题，如利润最大、效率最高、用料最省、面积、容积最大等问题．解决这类问题的关键是正确建立实际问题的数学模型，运用导数解决．

甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2 000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)． (1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？

解析：　y′＝2ax，于是切线的斜率k ＝y′|x＝1＝2a， ∴2a＝2⇒a＝1. 答案：　A

答案：　D

3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝4x3－4x，当函数f(x)取得极大值时x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．±1

解析：　令f′(x)＝4x3－4x＝0，得x＝0或x＝±1. 当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当x>1时，f(x)>0，函数f(x)单调递增． 故x＝0时，f(x)取得极大值．故选B. 答案：　B

4．若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．a＜1 B．a≤1 C．0＜a＜1 D．0＜a≤1

答案：　B

答案：　1

6．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________． 解析：　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a， 令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a， 即x＝ln(－a)，又∵x>0， ∴－a>1，即a<－1. 答案：　a<－1

8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值； (3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．

解析：　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f′(1)＝3＋2a， 即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.

(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x， ①当0<t≤2时， 在区间(0，t)上，f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数， 所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当2<t<3时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态见表：

x (0,2) 2 (2，t) t f′(x) － ＋ 3t2－6t f(x)  －2  t3－3t2＋2

练考题、验能力、轻巧夺冠