(3.3.2) 函数的极值与导数

设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法

用导数法确定函数的单调性时的步骤是： (1) 求函数的定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f `(x)>0，求得其解集， 再根据解集写出单调递增区间 求解不等式f``(x)<0，求得其解集， 再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。

练习1、讨论f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间 练习2、 确定y=2x3-6x2+7的单调区间

函数极值的定义—— 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.

导数的应用二、求函数的极值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的 左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0， 那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值.

(1)    求导函数f `(x)； (2)    求解方程f `(x)=0； (3)    检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小值. 用导数法求解函数极值的步骤： 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。

练:(1)y=x2-7x+6 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3 表格法 练:(1)y=x2-7x+6 (2)y=-2x2+5x (3)y=x3-27x (4)y=3x2-x3 注、极值点是导数值为0的点

导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值 表格法

注： 求函数最值的一般方法： 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理

- + 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 得x=2 （1，2） 2 （2，5） 5 y - + 3 2 11 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2

课本练习

思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值

导数的定义 导数的几何意义 多项式函数的导数 求导公式与法则 导数 函数单调性 函数的极值 导数的应用 函数的最值

基本练习 1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( ) (A) –5 (B) –6 (C) –7 (D) –8 2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) y’=100(x99+x49+x24) (B) y’=100x99 (C) y’=100x99+50x49+25x24 (D) y’=100x99+2x49

3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程为12x-3y=16，则点P的坐标为 . 4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，则a的取值范围为( ) (A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1

6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定 7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于( ) (A) 8+2Δt (B) 4+2Δt (C) 7+2Δt (D) –8+2Δt

8、如果质点A按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81 9、 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1 10、函数y=x3-3x的极大值为( ) (A) 0 (B) 2 (C) +3 (D) 1

例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在点x=1处的切线互相平行，求a的值. 即：6+a=2-a

例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a、b、c的值. 分析 由条件知： y=ax2+bx+c在点Q(2，-1)处的导数为1，于是 4a+b=1 又点P(1，1)、Q(2，-1)在曲线y=ax2+bx+c上，从而 a+b+c=1且4a+2b+c=-1

例3 已知P为抛物线y=x2上任意一点，则当点P到直线x+y+2=0的距离最小时，求点P到抛物线准线的距离 分析 点P到直线的距离最小时，抛物线在点P处的切线斜率为-1，即函数在点P处的导数为-1，令P(a,b),于是有：2a= -1.

例4 设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间. 思考、 已知函数y=x2-2(m-1)x+2在区间[2，6]内单调递增，求m的取值范围。

(1)若曲线y=x3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( ) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8) (2)若曲线y=x5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x垂直，则此切线方程为( ) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非 (3)曲线y=x3/3-x2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为　　　　　.