计算方法（B） 主讲：张明波 email: mbzhang@ustc.edu.cn Tel: 3600365 (O), 13721101665
第0章 绪论 计算方法干什么？ 计算方法的内容 误差
计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法 实际问题 重点为：设计算法，并分析算法的稳定性﹑收敛性 ﹑复杂度﹑误差等 物理模型 数学模型 计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法 计算方法 计算机求结果
内容 1、数值逼近－插值﹑拟合；数值微分与数值积分. 2、数值线性代数－解线性方程组、求逆矩阵、特征值、 特征向量等. 2、数值线性代数－解线性方程组、求逆矩阵、特征值、 特征向量等. 100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次 3、（非线性﹑微分）方程数值求解.
学习的目的、要求 会应用、修改、创建公式 编制程序完成计算 课程评分方法 总分 (100) = 平时作业(20)+上机作业(10)+期末 (70)
上机作业要求 1、编程可以用任何语言C,C++,Matlab,Mathematica,Maple,等 不允许使用内置函数完成主要功能 2、以email形式发给助教 内容:一次作业一个附件，并在内容中写出运行结果
误差 绝对误差 设 为准确值， 为近似值， 称为近似值 的绝对误差；若| | ,则称 为 的一个绝对误差限. ,则称 为 的一个绝对误差限. 例：3.14作为 的近似值，其绝对误差为: 而 0.002 为 3.14 的一个绝对误差限.
相对误差 为准确值， 为近似值 设 称为 的相对误差. 若| | ，则称 为 的一个相对误差限. 称为 的相对误差. 若| | ，则称 为 的一个相对误差限. 例：将10,000米的跑道建成10,010与 100米的跑道建成101， 两者的绝对误差分别为10和1米，优劣如何？
前者相对误差 (10010-10000)/10000=0.001， 后者相对误差(101-100)/100=0.01. 故虽前者绝对误差较大，但在某种意义上前者更精确。 绝对误差与相对误差是描述误差大小的两种方式，都很重要.
函数的误差（误差的传播） 为准确值， 为近似值 , 函数值f(x)的误差为？ 绝对误差限 相对误差限
多变元函数的误差 为准确值， 为近似值 , 函数值 的误差为？ 其中 为 的绝对误差， 在 处取值.
故绝对误差限
相对误差限为
有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差 有效位数 当x的绝对误差不超过某一位的半个单位，则这一位到左数第一个非零位的位数称位x的有效位数。 有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差 例：3.14作为 的近似值有3位有效数字； 0.031或0.030作为0.0305的近似值均有两位有效 数字
计算中注意事项 分别令 和 知： 当 时，相对误差会较大； 当 时，绝对误差会较大. 算法中应避免相近两数相减，避免小数作分母.
减少运算次数 例：1. 2. 秦九昭算法 避免大数吃小数（必要时提高精度） 例：计算 设计稳定收敛的算法.
例子 要计算 ，我们有 1. 构造方法如下： 2.
n 0.182 1 0.088 0.090 2 0.058 0.050 3 0.0431 0.083 4 0.0343 -0.165 5 0.0284 1.025 6 0.024 -4.958 7 0.021 24.933 8 0.019 -124.540
原因：对格式1，如果前一步有误差， 则被放大5倍加到这一步 称为不稳定格式 稳定格式，对舍入误差有抑制作用
2、 有时候，模型本身就是病态 （系数引入小变化，解产生大变化）