第二章 完全信息静态信息博弈-纳什均衡 一 博弈的基本概念及战略表述 二 占优战略均衡 三 重复剔除的占优均衡 四 纳什均衡 五 纳什均衡应用举例

二 占优战略均衡 案例1-囚徒困境 -8，-8 0，-10 -10，0 -1，-1 坦白 抵赖 坦白 抵赖 抵赖是A的严格劣战略 囚徒 B 抵赖 抵赖是B的严格劣战略

三 重复剔除的占优均衡 案例2-智猪博弈 小猪 按是小猪的严格劣战略-剔除 按 等待 按 5，1 4，4 9，-1 0，0 大猪 4大于1 0大于-1 等待 “按”是大猪的占优战略，纳什均衡：大猪按，小猪等待

四 纳什均衡 寻找纳什均衡 参与人B C1 C2 C3 R1 参与人A R2 R3 （R3，C3）是纳什均衡 0，4 4，0 5，3 3，5 6，6 参与人A R2 R3 （R3，C3）是纳什均衡

四 纳什均衡 练习： 投票博弈：假定有三个参与人（1，2和3）要在三个项目（A，B和C）中投票选择一个，三个参与人同时投票，不允许弃权，因此战略空间为Si=（A，B，C）。得票最多的项目被选中，如果没有任何项目得到多数票，项目A被选中，参与人的支付函数如下： u1（A）=u2（B）=u3（C） u1（B）=u2（C）=u3（A） u1（C）=u2（A）=u3（B） 找出这个博弈中所有的纳什均衡。

五 混合战略纳什均衡 社会福利博弈 流浪汉 寻找工作 流浪 2 3， 3 -1， 1 0， 政府 救济 不救济 没有一个战略组合构成纳什均衡

五 混合战略纳什均衡 社会福利博弈 流浪汉 寻找工作 流浪 2 3， 3 -1， 1 0， 救济 政府 不救济 0， 救济 政府 不救济 设：政府救济的概率：1/2 ；不救济的概率：1/2。 流浪汉：寻找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8 每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略

五 混合战略纳什均衡 战略：参与人在给定信息集的情况下选择行动的规则，它规定参与人在什么情况下选择什么行动，是参与人的“相机行动方案”。 纯战略：如果一个战略规定参与人在每一个给定的信 息情况下只选择一种特定的行动，该战略为 纯战略。 混合战略：如果一个战略规定参与人在给定信息情况 下以某种概率分布随机地选择不同的行动， 则该战略为混合战略。

五 混合战略纳什均衡 纯战略可以理解为混合战略的特例，即在诸多战略中，选该纯战略si的概率为1，选其他纯战略的概率为0。 小猪 按 等待 按 5，1 4，4 9，-1 0，0 大猪 正面 反面 等待 1 -1， -1 1， 正面 反面

五 混合战略纳什均衡 支付最大化法 流浪汉 2 3， 3 -1， 1 0， 政府 寻找工作 流浪 2 3， 3 -1， 1 0， 救济 政府 不救济 同样，可以根据流浪汉的期望效用函数找到政府的最优混合战略。？？ 即：流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0.8的概率选择游荡

五 混合战略纳什均衡 社会福利博弈 流浪汉 寻找工作 流浪 2 3， 3 -1， 1 0， 救济 政府 不救济 0， 救济 政府 不救济 设：政府救济的概率：1/2 ；不救济的概率：1/2。 流浪汉：寻找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8 每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略

五 混合战略纳什均衡 支付等值法 假定最优混合战略存在，给定流浪汉选择混合战略（r，1- r），政府选择纯战略救济的期望效用为： 3r+（-1）（1-r）=4r-1 选择纯战略不救济的效用为：-1r+0（1-r）=-r 如果一个混合战略（而不是纯战略）是政府的最优选择，一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的。 4r-1=-r r=0.2 流浪汉 寻找工作 2 3， 3 -1， 1 0， 救济 政府 不救济 流浪

五 混合战略纳什均衡 社会福利博弈 流浪汉 寻找工作 流浪 2 3， 3 -1， 1 0， 救济 政府 不救济 0， 救济 政府 不救济 设：政府救济的概率：1/2 ；不救济的概率：1/2。 流浪汉：寻找工作的概率：0. 2；流浪的概率：0.8 每个参与人的战略都是给定对方混合战略时的最优战略

五 混合战略纳什均衡 对 的解释： 如果流浪汉以找工作的概率小于0.2, 则政府选择不救济,如果大于0.2,政府选择救济 ,只有当概率等于0.2时,政府才会选择混合战略或任何纯战略. 对 *= 0.5的解释 如果政府救济的概率大于0.5,流浪汉的最优选择是流浪,如果政府救济的概率小于0.5,流浪汉的最优选择是寻找工作.

五 混合战略纳什均衡 混合战略纳什均衡的含义： 纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择。因此在社会福利博弈中， ， *=0.5是唯一的混合战略纳什均衡。 从反面来说，如果政府认为流浪汉选择寻找工作的概率严格小于0.2，那么政府的唯一最优选择是纯战略：不救济； 如果政府以1的概率选择不救济，流浪汉的最优选择是寻找工作，这又将导致政府选择救济的战略，流浪汉则选择游荡。如此等等。

流浪汉 寻找工作的概率小于0.2 政府 概率为1：不救济 流浪汉 寻找工作 政府 救济

五 混合战略纳什均衡 练习：模型化下述划拳博弈： 两个老朋友在一起喝酒，每个人有四个纯战略：杠子、老虎、鸡和虫子，输赢规则是：杠子降鸡，鸡吃虫子，虫子降杠子，两人同时出令。如果一个打败另一个，赢的效用为1，输的效用为-1，否则效用为0，写出这个博弈的支付矩阵，这个博弈有纯战略均衡吗？计算其混合战略纳什均衡。

六 纳什均衡存在性及相关讨论 不同均衡概念的关系 占优均衡 DSE 重复剔除占优均衡 IEDE 纯战略纳什均衡 PNE 混合战略纳什均衡 六 纳什均衡存在性及相关讨论 占优均衡 DSE 不同均衡概念的关系 重复剔除占优均衡 IEDE 纯战略纳什均衡 PNE 混合战略纳什均衡 MNE

纳什均衡应用举例 诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森有一句话：你可以将一只鹦鹉训练成一个经济学家，因为它只需要学习两个词：供给和需求。 博弈论专家坎多瑞引申说：要成为现代经济学家，这只鹦鹉必须再多学一个词，就是“纳什均衡”。

纳什均衡应用举例 案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 企业1 企业2 参与人：企业1、企业2 战略： 选择产量 支付： 利润，利润是两个企业产量的函数

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 企业1 企业2 qi ：第i个企业的产量 Ci（qi）代表成本函数 P=P（q1+q2）：价格是两个企业产量的函数 第i个企业的利润函数为：

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 （q1*，q2*）是纳什均衡意味着： 找出纳什均衡的方法是对每个企业的利润函数求一阶导数，使其为0。

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 q1 每个企业的最优产量是另一个企业的产量的函数。 交叉点即纳什均衡点 q2

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 假定每个企业有不变的单位成本： 假定需求函数为： 解反应函数得纳什均衡为： 最优化的一阶条件是： 垄断利润为：

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 垄断企业的问题： 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因是： 每个企业在选择自己的最优产量时，只考虑对本企业利润的影响，而忽视了对另外一个企业的外部负效应。 垄断企业的最优产量： 垄断利润为：

案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 练习： 假定有n个库诺特寡头企业，每个企业具有相同的不变单位成本c，市场逆需求函数p=a-Q，其中p是市场价格， 是总供给量，a是大于0的常数，企业的战略是选择产量qi最大化利润 ，给定其他企业的产量q-i，，求库诺特-纳什均衡，均衡产量和价格如何随n的变化而变化？为什么？

纳什均衡应用举例 案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题

案例2 公共地的悲剧 公共地的悲剧证明：如果一种资源没有排他性的所有权，就会导致资源的过度使用。 公海捕鱼 小煤窑的过度发展 ……

案例2 公共地的悲剧 有n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，农民要决定自己养多少只养。 gi：第i个农民饲养的数量，i=1,2,…,n. n个农民饲养的总量 V: 代表每只羊的平均价值,v是G的函数,v=v(G), 因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个最大的可存活量Gmax,： 当G<Gmax时,v(G)>0; 当G>=G(x)时,v(G)=0。

案例2 公共地的悲剧 当草地上羊很少时，增加一只羊也许不会对其他羊的价值有太大影响，但随着羊的不断增加，每只羊的价值将急剧下降。 v G Gmax v 参与人：农民 战略： 养羊的数量 支付： 利润

案例2 公共地的悲剧 假设一只羊的价格为c，对于农民i来讲，其利润函数为： 最优化的一阶条件为： 上述一阶条件可以解释为：增加一只羊有正负两方面的效应，正的效应是这只羊本身的价值v，负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值降低。

案例2 公共地的悲剧 其最优解满足边际收益等于边际成本： 上述n个一阶条件定义了n个反应函数： 因为： 所以：

案例2 公共地的悲剧 第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量增加而递减。n个反应函数的交叉点就是纳什均衡。 尽管每个农民在决定自己增加饲养量时考虑了对现有羊价值的影响，但是他考虑的只是对自己羊的影响，而并不是对所有羊的影响，因此，最优点上的个人边际成本小于社会边际成本，纳什均衡总饲养量大于社会最优饲养量。

纳什均衡应用举例 案例1 库诺特（Cournot）寡头竞争模型 案例2 公共地的悲剧 案例3 普林斯顿大学的一道习题

纳什均衡应用举例 如果给你两个师的兵力，由你来当“司令”，任务是攻克“敌人”占据的一座城市，规定双方的兵力只能整师调动。通往城市的道路只有甲乙两条，当你发起攻击的时候，你的兵力超过敌人，你就获胜，你的兵力比敌人的守备兵力少或者相等，你就失败，那么你将怎样部署你的攻城方案？

纳什均衡应用举例 敌人：四种部署方案 A 三个师都驻守甲方； B 两个师驻守甲方，一个师驻守乙方 C 一个师驻守甲方，两个师驻守乙方 D 三个师都驻守乙方 我军： a 集中全部兵力从甲方进攻 b 兵分两路，一个从甲方，一个从乙方，同时进攻 c 集中兵力从乙方进攻

纳什均衡应用举例 C D A B a b c 敌人：四种部署方案 A 三个师都驻守甲方； B 两个师驻守甲方，一个师驻守乙方 我军： a 集中全部兵力从甲方进攻 b 兵分两路，一个从甲方，一个从乙方，同时进攻 c 集中兵力从乙方进攻 C D A B a b c

纳什均衡应用举例 敌军 C D A B a - + + - + - - + - + b 我军 c