电路分析基础 2018年10月29日

第五章 电容元件与电感元件

动态元件 实际电路不能只用电阻元件和电源元件来构成模型， 还包含电容元件和电感元件。 这两种元件的电压、电流关系都涉及对电流、电压 的微分或积分，称为动态元件。 (1)在电路中常常需要接入电容和电感器件。例如滤波， 必须利用动态元件才能实现这一功能。 (2)当信号变化很快时，一些实际器件已不能再用电阻 模型来表示，必须考虑到磁场变化及电场变化的现 象，在模型中需要增添电感、电容等动态元件。 至少包含一个动态元件的电路称为动态电路。 基尔霍夫定律施加于电路的约束关系只取决于电路 的连接方式，与构成电路的元件性质无关。

§5-1 电容元件 电容元件是一种反映电路及其附近存在电场而可以 储存电能的理想电路元件 。 电容效应是广泛存在的，任何两块金属导体，中间 用绝缘材料隔开，就形成一个电容器。工程实际中 使用的电容器虽然种类繁多、外形各不相同，但它 们的基本结构是一致的，都是用具有一定间隙、中 间充满介质（如云母、涤纶薄膜、陶瓷等）的金属 极板（或箔、膜）、再从极板上引出电极构成。这 样设计、制造出来的电容器，体积小、电容效应大， 因为电场局限在两个极板之间，不宜受其它因素影 响，因此具有固定的量值。如果忽略这些器件的介 质损耗和漏电流，电容器可以用电容元件作为它们 的电路模型。

应用 电容器在电路中的使用量仅次于电阻器，但是电容 在电路中的损坏几率比电阻大。当电容器在电路运 行过程中出现被击穿或开路故障时，同样会使有关 电路失去原来的正常工作状态，甚至会造成整个电 路瘫痪。然而电容与电阻稍有不同的是常出现一种 漏电软故障。当电容开始产生轻度漏电现象时，该 电容在电路中的作用并不会有明显的改变。随着运 行时间的增长，漏电日益加重，最终电容完全丧失 其作用而导致电路故障。对电路中的这种软故障， 维修难度较大。

实际电脑上的电容 每个电容器产品，除了标明型号、电容外，还标有电容器的耐压，电解电容器必须标出其正、负极性。使用电容器时，两极板上所加的电压不能超过耐压，否则电容中的场强太大，极板间的电介质有被击穿的危险，即电介质失去绝缘性能而变为导体，电容器损坏。对电解电容器，两极板上所加的电压极性必须正确。

把两块金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电 容器。 理想介质是不导电的，在外电源作用下，两块极板 上能分别存储等量的异性电荷。 外电源撤走后，电荷依靠电场力的作用互相吸引， 由于介质绝缘不能中和，极板上的电荷能长久地存 储下去。因此，电容器是一种能存储电荷的器件。 电容元件定义如下：一个二端元件，如果在任一时 刻t，它的电荷q(t)同它的端电压u(t)之间的关系可 以用u-q平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称 为电容元件。

电容的u-q关系 在某一时刻t，q(t)和u(t)所取的 值分别称为电荷和电压在该时 刻的瞬时值。 电容元件的电荷瞬时值和电压 瞬时值之间存在着一种代数关 系。 如果u-q平面上的特性曲线是一 条通过原点的直线，且不随时 间而变，则此电容元件称之为 线性时不变电容元件。 在国际单位制中，C的单位为法 拉。 q(t)与u(t)为关联参考方向。 式中C为正值常数，用来度量特性曲线斜率。

§5-2 电容的VAR 设电流i(t)的参考方向箭头指向 标注q(t)的极板，这就意味着当 i(t)为正值时，正电荷向这一极 板聚集，因而电荷q(t)的变化率 为正。于是，有 如u和i的参考方向不一致，则

电容电压u表示为电流i的函数 把电容的电压u表示为电流i的函数，则 如果只需了解在某一初始时刻t0以后电容电压的情况，则

例5-1 电容与电压源相接(a)，电压 源电压随时间按三角波方式 变化如图(b)，求电容电流。 解 从0.25ms到0.75ms期间，电压u由+100V线性下降到 -100V，其变化率为

解答 从0.75ms到1.25ms期间

例5-2 设电容与一电流源相接，电流 波形如图(b)中所示，试求电 容电压。设u(0)=0。 解 先写出i(t)的函数式，对三角波可分段写为：

解答 在 期间 当t=0.25ms时，u=125V。 在 期间 此为一开口向下的抛物线，顶点在t=0.5ms、u＝250V处。 在 期间 当t=0.25ms时，u=125V。 在 期间 此为一开口向下的抛物线，顶点在t=0.5ms、u＝250V处。 当t＝0.75ms时，电压下降到125V。

解答 在 期间 此为一开口向上的抛物线方程，其顶点在t=l ms，u=0处。

§5-3 电容电压的连续和记忆性质 电容电压的连续性质可陈述如下： 若电容电流i(t)在闭区间[ta,tb]内为有界的，则电容电 压uC(t)在开区间(ta,tb)内为连续的。特别是，对任何 时刻t，且ta< t < tb 即“电容电压不能跃变”，在动态电路分析问题中 常常用到这一结论。

证明 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间的连 续函数。任取一点t，以t和t+dt分别作为积分的上、下 限，且ta< t < tb和ta< t+dt  tb，则 由于i(t)在[ta,tb]内为有界的，对所有在[ta,tb]内的t， 必存在一个有限常数M，使|i(t)|＜M。在曲线i(t)下由t 轴和上、下限所界定的图形的面积最大为Mdt，当dt0 时，该面积也将趋于零，根据上式，这就意味着当 dt0时，uc(t+dt)uc(t)，亦即在t处，uC是连续的。

电容电压的记忆性质 上式为电容电压记忆性质的关系式。利用初始电 压uC(t0)对t＜t0时电流的记忆作用，在不需考虑t ＜t0时电流的具体情况下，即能解决t t0时的电容 电压uC(t)的问题。 在含电容的动态电路分析问题中，这是一个十分 重要的概念，因而电容的初始电压是一个必须具 备的条件。

电容初始电压的等效电路 即：对已被充电的电容，若已知， ，则在t＞t0时，可等效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路，电压源的电压值即为t0时电容两端的电压U0。电压U0称为电容电压uC的初始状态。 设电容的初始电压

例5-3 已知C=4F，i(t)波形如图所示。 (1)试求电容电压uC(t)、t0； (2)求uC(0)、uC(1)、uC(-0.5)； (3)试作出t＞0时该电容的等效电路。

解答 解: (1) 求电容电压uC(t)、t0；

解答 (2)求uC(0)、uC(1)、uC(-0.5) (3)作出t＞0时该电容的等效电路

解答

§5-4 电容的储能 在t1到t2期间所供给的能量可表为 电容C在某一时刻t的储能只与该时刻t的电压有关，即

§ 5-5 电感元件 电感元件的定义：一个二端 元件，在任一时刻t，它的电 流i(t)同它的磁链(t)之间的 关系可以用i-(t)平面上的一 条曲线来确定，则此二端元 件称为电感元件。 电感元件的电流瞬时值与磁 链瞬时值之间存在一种代数 关系。

应用： 电感线圈的精度范围为 。通常用于谐振回路的电感线圈精度比较高，其允许偏差为 ;用于耦合、滤波的电感线圈的精度比较低，其允许偏差为 ；高、低频阻流圈、镇流器线圈、换能线圈等的允许偏差为 。带骨架的空芯电感，比如实验室用的线圈、收音机中的振荡线圈等；无骨架的空芯电感，比如电视机高频头中的选频线圈、调频收音机中的调谐线圈等。

§5-6 电感的VAR 根据电磁感应定律、感应电压等于磁链的变化率。当 电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则 时，可得

注意 在电磁学中，感应电动势与磁链的关系表为： 因此，u和感应电动试e差一个负号。 电磁学中，e参考方向的规定与u相反，那就是e与i 的参考方向应一致，不这样规定，便不能反映楞次 定律。由于e是指电压升，它的参考方向是指由“-” 到“+”的方向，故e与i参考方向一致时，其参考极 性如右上图所示。

§5-7电感电流的连续性和记忆性质 电感电流的连续性质可陈述如下： 若电感电压u(t)在闭区间[ta，tb]内为有界的，则电 感电流iL(t)在区间(ta，tb)内为连续的。即，对任何 时间t，且ta t  tb 即：电感电流不能跃变，在动态电路的分析问题时 常常用到这个结论。

等效电路 设电感的初始电流为i(t0)=I0，则 在t＞t0时可等效为一个初始电流为零的电感与电流源 的并联电路，电流源的电流值即为t0时电感的电流I0。

§ 5-8 电感的能贮 电感的功率为： 在t1到t2期间所供给的能量可表为 § 5-8 电感的能贮 电感的功率为： 在t1到t2期间所供给的能量可表为 此即为在t1至t2期间电感贮能的改变量。由此可知，电感的贮能公式应为

状态变量 在动态电路的各个电压、电流变量中，电容电压uC(t) 和电感电流iL(t)占有特殊重要的地位，它们称为电路 的状态变量。 在电路及系统理论中，状态变量是指一组最少的变量， 若已知它们在t0时的数值和所有在t  t0时的输入，就 能确定在t  t0时电路中的任何电路变量。 uC(t0)和iL(t0)称为电容电压和电感电流的初始状态。

例5-5 已知t0时电感电压u为e-tV，且知在某一时刻t1， 电压u为0.4V。试问在这一时刻： (1)电流iL的变化率是多少? (2)电感的磁链是多少? (3)电感的贮能是多少? (4)从电感的磁场放出能量的速率是多少? (5)在电阻中消耗能量的速率是多少?

解答 必须注意本题电感电压与电感电流的参考方向不一致， 为方便、令 u’=-u，u’=-e-tV。 iL(0)0，表示处始时刻电感有贮能，这一贮能使电路在没有电源的情况下仍有电流、电压。

解答 (1)电流变化率： 在t=t1时 ，即 ，故得此时电流变化率为 (2)磁链：

解答 (3)贮能： (4)磁场能量的变化率，即功率为 此时功率为负值，说明电感放出能量、这个能量为电阻所消耗。

解答 (5)电阻消耗能量的速率，即电阻消耗的功率为

§5-9 电容与电感的对偶性 如果将电容与电感的VAR加以比较，就会发现，把 电容VAR中的i换u，u换以i，C换以L就可得到电感的 VAR；反之，通过类似的变换，也可由后者得到前 者。 因此，电容与电感是一对对偶量。

§5-10 非线性电容 非线性电容不能用单一的电容值来表征，而应该用u- q平面上的一条曲线来表征 称为该电容元件的增量电容。

例5-6 若非线性电容的u-q关系为 施于电容两端的电压为 求流过电容的电流，设u、i参考方向一致。 解 由于

§5-11非线性电感 非线性电感不能用单一的电感值来表征，而应该用i- 平面上的一条曲线来表征。 称为该电感元件的增量电感。

例5-8 非线性电感i-关系为 若流过电感的电流为 求电感电压。 解 电感电压为

电感器的模型 把一个电感线圈看成是一个电感元件，用(a)所示的模 型来表示，一般来说，准确性是比较差的。 电感线圈不仅存贮能量也消耗能量。消耗的能量是由 绕制线圈所用导线的电阻引起的。常用一个与电感L 串联的电阻R来表示，如图(b)所示。 线圈的匝与匝之间还有电容存在，当施加于线圈的电 压变化率很高时，电容的作用就不能忽略。在模型中 用一个跨接干线圈两端的电容来近似地表明这个情况， 如图(c)所示。

电容器的模型 电容器可以用电容元件作为模型，图(a)是电容器模 型。 电容器消耗的能量不容忽略，这些能量损失并不全是 因漏电流造成的，还包括介质处于反复极化时所消耗 的能量。在模型中增添一个并联电导G来计及这部分 能量损失，如图(b)。 当电容器两端电压的变化率很高时，电流产生的磁场 不容忽视，在模型中增添电感元件L，如图(c)。

电容串联 设n个电容元件串联，如图(a)，各电容的初始电压为 u1(0)、u2(0)、…、un(0)，设流过各电容的电流为i， 各电容电压为u1，u2、…、un与电流为关联参考方向， 两端电压为u，则

电容串联等效电路 等效电路电容Cs的倒 数为各串联电容倒数 的总和。 等效电路电容的初始 电压u(0)为各串联电 容初始值的代数和。

电容并联 根据KCL和电容的VAR式 不难得出n个电 容并联的等效电容为

串联电感 串联电感Ls的等效电感为各个电感的总和

电感并联 对并联电感电路，若并联电感为L1、L2、…、Ln，电 流分别为i1、i2、…、in，总电流为i，则由KCL得

习题5-14 若i(t)波形如图中所示，求所需要电源的电流波形。 + 解 设电压、电流参考方向如图。电源的电流等于电感电流与电阻电流之和。先求出电阻电流波形，再与电感电流波形叠加，即可得电源的电流波形。 电阻的电流iR与电阻两端的电压成正比，电阻和电感是同一个电压u，电感电压与电感电流的斜率成正比，因此，由电感电流i(t)的波形即可求出电阻电流的波形。

解答 按时间分段求u。 在-4t-1s 期间，电流斜率为-1/3 在-1t1s期间，电流斜率为1，u=2V，iR=4A

解答（电流波形） 电感电流波形 电阻电流波形 电流源电流波形

作业 习题五 1，4，8，10，11 预习第六章