材料力学（乙） 第三章 应力与应变分析（2） 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年3月18日

作业要求 1、尺规作图，横平竖直； 2、抄上题目写上“解”； 3、养成用计算器的好习惯。

A A 我们为什么要把单元体“转来转去”？ F 截面法 F F p F F p σ τ σ1 F m  m   A A   α 顺时针旋转 A A α 1

A A 我们为什么要把单元体“转来转去”？ p σ τ σ1 F F  α 顺时针旋转 A A α 1 对同时有正应力和切应力存在的点进行强度分析，通过以“消灭切应力”的形式，将问题简化为只分析其中的最大或危险正应力，并建立合适的强度法则（如σ1≤[σ]）。

重要基本概念的回顾与强化 1、应力的点和面： 2、应力状态：过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态，亦指该点的应力全貌。 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？ 2、应力状态：过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态，亦指该点的应力全貌。 3、单元体： y x z dx dz dy 无穷小正六面体， dx, dy, dz ® 0 一般情况六面体各面上皆有 应力分量（正应力，切应力）

重要基本概念的回顾与强化 4、主应力、主平面、主应力单元体： 5、应力状态的分类： 纯剪切应力状态 简单应力状态 单向应力状态 应力状态 平面应力状态 （二向应力状态） 复杂应力状态 空间应力状态 （三向应力状态）

重要基本概念的回顾与强化 6、二向应力状态分析：解析法（7个公式） （1）任意斜截面的应力 （2）最大（最小）正应力的方位

重要基本概念的回顾与强化 6、二向应力状态分析：解析法（7个公式） （3）最大（最小）正应力 （4）最大（最小）切应力的方位 （5）最大（最小）切应力

第三章 应力与应变分析（2） 二向应力状态分析：图解法、 三向应力状态

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 1、应力圆（莫尔圆） 斜截面应力计算公式 改写为 把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 1、应力圆（莫尔圆） 因为x，y，xy皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的 圆周方程。当斜截面随方位角变化时, 其上的应力 ，在- 直角坐标系内的轨迹是一个圆。 圆心的坐标 圆的半径 此圆习惯上称为应力圆, 或称为莫尔圆。

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 1、应力圆（莫尔圆） R C

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 1、应力圆（莫尔圆） 首先由Christian Otto Mohr（1835-1918）于1866年提出。 莫尔是德国土木工程师，主要从事铁路施工工程。 应力圆 (Stress Circle）也称 莫尔圆 （Mohr’s Circle）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 O (1) 建立- 坐标系，选定比例尺，以右与上侧面为对象。  y y x y x yx xy y O  

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 xy O (2) 量取OA=x，AD=xy，得D点。  y y yx xy y  D xy x A O 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 xy O yx (3) 量取OB=y，BD'=yx，得D'点。  y A O yx D′ 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 xy O yx (4) 连接 DD′两点的直线与轴相交于C点。  y B x A O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 xy O yx (5) 以C为圆心，CD 为半径作圆，即得该单元体的应力圆。 x y x yx xy y  D xy y B x A O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 xy O yx (6) 证明。 应力圆的圆心C点到坐标原点的距离为 D xy O   x A y B yx D′ C 应力圆半径为

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 2、应力圆的画法 (6) 证明。  D xy y B x A O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 以上由单元体公式 应力圆（原变换） 下面寻求由应力圆 单元体公式（逆变换） 只有这样，应力圆才能与公式等价（一一对应关系）。

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (1) 求单元体上任一截面上的应力 单元体的右侧立面(x, xy) 应力圆的D点(20)  x y a x yx xy D xy x A y B 20 O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (1) 求单元体上任一截面上的应力  E D 2 B F D xy x A y B 20 O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (1) 求单元体上任一截面上的应力  E D 2 B F D xy x A y B 20 O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (1) 求单元体上任一截面上的应力 从应力圆的半径CD按方位角的转向转动2得到半径CE，圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力和切应力。 D xy O   x A y B yx D′ C x y a x yx xy  n E 2 e f 20

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (1) 求单元体上任一截面上的应力 斜截面的应力( , ) 应力圆E点坐标( , )  x y a x yx xy  n E 2 D xy e f x A y B 20 O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (1) 求单元体上任一截面上的应力 单元体上角度 应力圆上CE与CD夹角2，且转向一致  x y a x yx xy  n E 2 D xy e f x A y B 20 O yx D′ C 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 (1) 求单元体上任一截面上的应力 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。 2   O C B A A B 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (2) 求主应力数值和主平面位置 主应力数值 D xy O   x A y B yx D′ C 20 A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，2。 2 B1 1 A1

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (2) 求主应力数值和主平面位置 主应力数值 A1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，2。 2 D xy x A y B B1 20 O 1 yx D′ C A1 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (2) 求主应力数值和主平面位置 主平面位置 a x yx xy e 0 1 3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 (2) 求主应力数值和主平面位置 主平面位置  由CD顺时针转20到CA1 2 所以单元体上从x轴顺时 针转0（负值）即到1 对应的主平面的外法线 D xy x A y B B1 20 O 1 yx D′ C A1 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (2) 求主应力数值和主平面位置 主平面位置 a x yx xy e 0 3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 (2) 求主应力数值和主平面位置 主平面位置  1 由CD顺时针转20到CA1 2 所以单元体上从x轴顺时 针转0（负值）即到1 对应的主平面的外法线 D xy x A y B B1 20 O 1 yx D′ C A1  0确定后，1对应的主平面方位即确定。

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (3) 求最大切应力 G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力 D xy O   x A y B yx D′ C 20 2 1 B1 A1 G1 G2

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 3、应力圆的应用 xy O yx (3) 求最大切应力 G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力  G1 G2 2 D xy 最大最小切应力等于应力圆的半径 x A y B B1 20 O 1 yx D′ C A1 

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”） O xy  主平面 x A  在大部分时候，正应力和切应力是在一起的。正应力在前，切应力默默跟着，在莫尔圆上行走。 切应力很小就知道：有一个地方，切应力会变为零，你千万不要去；但是正应力从小的理想，就是为了到一个地方，成为主应力。 但是，有件事切应力一直不知道怎么开口，因为正应力成主应力的地方，就是切应力变零的地方。 他们有一次，慢慢地朝着一个斜面靠近，切应力慢慢感觉眩晕，准备拉住正应力：“我到这儿好晕，走不动了。”而切应力突兀地却发现正应力慢慢变大，越来越高。  主平面 x A  O xy -20 切应力 （她） 正应力（他）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”） O xy  主平面  切应力 x 在大部分时候，正应力和切应力是在一起的。正应力在前，切应力默默跟着，在莫尔圆上行走。 切应力很小就知道：有一个地方，切应力会变为零，你千万不要去；但是正应力从小的理想，就是为了到一个地方，成为主应力。 但是，有件事切应力一直不知道怎么开口，因为正应力成主应力的地方，就是切应力变零的地方。 他们有一次，慢慢地朝着一个斜面靠近，切应力慢慢感觉眩晕，准备拉住正应力：“我到这儿好晕，走不动了。“而切应力突兀地却发现正应力慢慢变大，越来越高。  主平面 x  O xy 切应力 （她） 正应力（他）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”） O  主平面 20 1 B  正应力惊喜地越跑越快，兴奋大喊道：“我就要成主应力了！” 切应力虚弱地跟着，她没喊出来。 到了主平面（当然，这个地名是后来得知），正应力赫然成了主应力，回头看身边的切应力，却发现不见了。只发现一张纸条： “我在你成为主应力后，必须要消失。”落款是切应力。 正应力黯然失色，一个人成了主应力，周围也看不到互相垂直的其他两个主应力，他很孤独。 主平面 20 1 B  O 主应力（他）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”） O  主平面 20 D 1 B C  正应力惊喜地越跑越快，兴奋大喊道：“我就要成主应力了！” 切应力虚弱地跟着，她没喊出来。 到了主平面（当然，这个地名是后来得知），正应力赫然成了主应力，回头看身边的切应力，却发现不见了。只发现一张纸条： “我在你成为主应力后，必须要消失。”落款是切应力。 正应力黯然失色，一个人成了主应力，周围也看不到互相垂直的其他两个主应力，他很孤独。 主平面 20 D 1 B C  O 主应力（他）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”） xy O  切应力 （她2） 主平面 正应力开始觉得很想念切应力。他突然觉得，以前切应力天天粘在身边，有时还会有点烦，现在切应力突然不在了，自己一个应力却很不习惯。 他决定离开主平面，他想，我一直梦想的主平面也不过如此。他要去寻找切应力，但他不知道切应力其实不在了。 他刚离开主平面，就发现身旁出现了一个切应力，他握住切应力的手大喊：“是你吗，切应力！” 切应力面前突然出现一个高大的应力，觉得面前的正应力似曾相识。她很羞涩：“对不起，我不认识你。”  切应力 （她2） 主平面 x xy  O 正应力（他）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 正应力和切应力的故事（应力版“三生三世十里桃花”） xy O  切应力 （她2） 主平面  正应力紧接着追问：“之前那个切应力呢？” 切应力腼腆的说：“我不认识其他的切应力，也不认识你。我刚来成一个应力，我只知道不要去主平面，那里我会变为零。” 正应力有点失望，他知道这是个新的切应力。 正应力发现这个切应力和之前的切应力一样，默默跟在自己身后，他突然想起，这个场景这么熟悉。上一个切应力不也是这样认识的吗？ 正应力转过头，慢慢对切应力说：“你知道吗，我以前，也遇到过一个像你一样可爱的切应力。”  切应力 （她2） 主平面 x xy  O -20 正应力（他）

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 4、小结 -xy O xy  主平面 0 20  -20 2 -0 y x 1 20 -xy y 2 -0 0 -xy 主平面 1 2 y -xy xy x

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 4、小结 （1）解析法 一般公式2个（正、切应力）， 极值应力4个（极大与极小正应力，极大与极小切应力） 主单元体方位角1个 缺点：公式不好记 —— 7个 （2）图解法 前半部 —— 画应力圆 后半部 —— 看图精确计算 优点：不必记公式

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 例题3.4 x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （1）画应力圆   O 量取OA= x= −1，AD = xy= −0.2，定出 D点； D′ (-0.4,0.2) 量取OB = y= −0.4，BD′ = yx= 0.2，定 出 D′点。 A C B (-1,-0.2) D 以 DD′ 为直径绘出的圆即为应力圆。

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 例题3.4 x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （2）确定=30º斜截面上的应力   O 将半径CD逆时针转动2=60º到半径 CE，E点的坐标就代表=30º斜截面上 的应力。 D′ (-0.4,0.2) A C B E 60° 30° (-1,-0.2) D 30°

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 例题3.4 x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （3）确定=−40º斜截面上的应力 -40°   O 将半径CD顺时针转动2=80º到半径 CF，F点的坐标就代表=−40º斜截面 上的应力。 D′ (-0.4,0.2) F 80° -40° A C B E 60° 30° (-1,-0.2) D 30°

3.4 二向应力状态分析：图解法（7.4） 例题3.4 30°= − 0.68 MPa 30°= − 0.36 MPa x y xy 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示， x = −1 MPa , y = − 0.4 MPa , xy= − 0.2 MPa , yx = 0.2 MPa , 求：(1)绘出相应的应力圆； (2)确定此单元体在=30º和 = −40º两斜面上 的应力。 解： （4） 30°= − 0.36 MPa 30°= − 0.68 MPa -40°= − 0.26 MPa -40°= − 0.95 MPa -40°   O D′ (-0.4,0.2) F 80° -40° A C B E 60° 30° (-1,-0.2) D 30°

3.5 三向应力状态（7.5） 1、定义 三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态

3.5 三向应力状态（7.5） 2、最大正应力与最大切应力 已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3 2 3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。

3.5 三向应力状态（7.5） 2、最大正应力与最大切应力  首先研究与其中一个主平面（例如主应力3所在的平面）垂直的斜截面上的应力。 2 用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。 1 3 1   2 1 2

3.5 三向应力状态（7.5） 2、最大正应力与最大切应力 该应力圆上的点对应于与3所在主平面垂直的所有斜截面上的应力（主应力1、2）。   O 与主应力2所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可由 1、3作出的应力圆上的点表示。 C 3 2 B A 1 与主应力1所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可由 2、3作出的应力圆上的点表示。

3.5 三向应力状态（7.5） 2、最大正应力与最大切应力 b abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面。 1 2 3 a 该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。 b c

3.5 三向应力状态（7.5） 2、最大正应力与最大切应力 abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面。  A 1  O 2 3 C B 该截面上应力和对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内。

3.5 三向应力状态（7.5） 例题3.5 单元体的应力如图所示，作应力圆 ，并求出主应力和最大切应力值及 其作用面方位。 解： 40MPa x y z 20MPa 解： （1）该单元体有一个已知主应 力： 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关，依 据x截面和y截面上的应力画出应力圆。

3.5 三向应力状态（7.5） 例题3.5 1=46 MPa 3=−26 MPa 1=46 MPa 2=20 MPa 解： （2）求另外两个主应力 由x，xy定出D点， 由y，yx定出D′点。 以 DD′为直径作应力圆 A1，A2两点的横坐标分别代表另外两个主应力1和3。 1=46 MPa 3=−26 MPa 该单元体的三个主应力 1=46 MPa 2=20 MPa 3= −26 MPa

3.5 三向应力状态（7.5） 例题3.5 1=46 MPa 2=20 MPa 3= −26 MPa 解： （3）应力圆  O  解： （3）应力圆 2 该单元体的三个主应力 1=46 MPa D′ C 2=20 MPa A1 A2 3= −26 MPa 1 3 D 根据上述主应力，作出 三个应力圆。

3.5 三向应力状态（7.5） 3、结论 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。  A 1  O 2 3 C 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。 B 该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标 1。

3.5 三向应力状态（7.5） 3、结论 最大切应力则等于最大的应力圆的半径  A 1  O 2 3 C 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2所在的主平面垂直，并与1和3所在的主平面成 45º角。 B

3.6 平面应变状态分析（7.7） 1、概述 平面应力状态下，已知一点的应变分量x、y、γxy，欲求方向上的线应变α和切应变，可根据弹性范围内小变形的几何条件，分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x、y、γxy在此方向上引起的线应变及切应变，再利用叠加原理。

3.6 平面应变状态分析（7.7） 2、任意方向的应变 x y O 在所研究的O点处, Oxy坐标系内的线应变x, y, xy为已知，求该点沿任意方向的线应变。

3.6 平面应变状态分析（7.7） 2、任意方向的应变 x y O y' x' 将Oxy坐标绕O点旋转一个角，得到一个新Ox’y’坐标系，并规定角以逆时针转动时为正值，反之为负值。  为 O 点沿 x’方向的线应变 为直角 x’Oy’的改变量，即切应变。

3.6 平面应变状态分析（7.7） 2、任意方向的应变 假设: （1）O点处沿任意方向的微段内，应变是均匀的； x y O 假设: y' x' （1）O点处沿任意方向的微段内，应变是均匀的； （2）变形在线弹性范围内都是微小的，叠加原理成立。  计算x，y，xy单独存在时的线应变和切应变，然后叠加得这些应变分量同时存在时的和。

3.6 平面应变状态分析（7.7） 3、推导线应变 从O点沿x′方向取出一微段OP=dx′, 并以它作为矩形OAPB的对角线。 y O y' x' 从O点沿x′方向取出一微段OP=dx′, 并以它作为矩形OAPB的对角线。 dx P A B dy dx'  该矩形的两边长分别为dx和dy：  

3.6 平面应变状态分析（7.7） 3、推导线应变 （1）只有正值x存在 假设OB边不动，矩形OAPB变形后成为OA'P'B y O （1）只有正值x存在 y' x' 假设OB边不动，矩形OAPB变形后成为OA'P'B P A B dy A' P'  D   dx'  OP的伸长量P’D为 dx xdx   O点沿 x'方向的线应变1为  

3.6 平面应变状态分析（7.7） 3、推导线应变 （2）只有正值y存在 假设OA边不动，矩形OAPB变形后成为OAP''B' x y O （2）只有正值y存在 y' x' P'' B' 假设OA边不动，矩形OAPB变形后成为OAP''B' ydy  D' P A B   dx' dy  OP的伸长量P''D'为 dx   O点沿 x'方向的线应变2为  

3.6 平面应变状态分析（7.7） 3、推导线应变 （3）只有正值切应变γxy存在 使直角减小的γ为正 O （3）只有正值切应变γxy存在 γxydy y' x' 使直角减小的γ为正 假设OA边不动，矩形OAPB变形后成为OAP'''B'' P A B P''' B''  D'' dy γxy    OP的伸长量P'''D''为 dx   O点沿 x'方向的线应变3为  

3.6 平面应变状态分析（7.7） 3、推导线应变 根据叠加原理，x，y和xy同时存在时，O点沿x’ 方向的线应变为    

3.6 平面应变状态分析（7.7） 4、推导切应变 同理，根据叠加原理，x，y和xy同时存在时，O点沿x’ 方向的切应变为   以上两式利用三角函数化简得到    

3.6 平面应变状态分析（7.7） 5、主应变及其方位   应变     应力

3.6 平面应变状态分析（7.7） 5、主应变及其方位         主应变 ε1，ε2，ε3

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