幂函数的性质与图象

问题引入 我们先看几个具体问题: (1) 如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数 　　　　　　　　　　　　　　 (2) 如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数; (3) 如果正方体的边长为ｘ, 正方体的体积为ｙ, 这里ｙ是关于ｘ函数; 　(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ, 这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数; 　(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数. １：以上各题目的函数关系分别是什么？ ２：以上问题中的函数具有什么共同特征？

一、幂函数的定义 注 意 一般地，函数y = xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。(a∈Q) 1、幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，　　　　　 　　　　其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项． 注 意 2、定义域与a的值有关系.

例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？ （1）y = （2）y=2x2 （3）y=2x （4）y=1 (5) y=x2 +2 (6) y=-x3

它的定义域是（０，+∞） 例2研究幂函数 的定义域、奇偶性 和单调性，并作出图象 解: 例2研究幂函数　　　　的定义域、奇偶性　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　和单调性，并作出图象 　　它的定义域是（０，+∞） 解: (1)奇偶性:∵定义域不关于原点对称, ∴为非奇非偶函数. (2)单调性:　　　 　　设任意x1、x2∈(0,+∞),且0＜x1＜x2, 0＜ 由不等式性质,得　　 于是 即f(x1)>f(x2) 　　　　　所以 　在（0，+∞）上是减函数

x 1/4 1/2 1 2 3 4 y 1.4 0.7 0.6 0.5

定义域:(－∞,+∞) 奇偶性:偶函数 探 究 与 发 现 例3：讨论函数 的定义域、奇偶性, 作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、及值域。 定义域:(－∞,+∞) 奇偶性:偶函数

x 1 2 4 6 8 y 1.6 2.5 3.3

x 1 2 4 6 8 y 1.6 2.5 3.3

x 1 2 4 6 8 y 1.6 2.5 3.3

x 1 2 4 6 8 y 1.6 2.5 3.3

探 究 与 发 现 例２：讨论函数 的定义域，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶性及值域。 定义域： 奇偶性：偶函数 值 域： 例２：讨论函数 的定义域，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶性及值域。 探 究 与 发 现 定义域：　 奇偶性：偶函数 值 域： 单调性： 在 上是减函数 在 上是增函数

作出下列函数的图象: y=x x … -3 -2 -1 1 2 3 9 4 -27 -8 8 27 \ -1/3 -1/2 1/2 1/3

x -3 -2 -1 1 2 3 y=x2 9 4 4 9

x -3 -2 -1 1 2 3 y=x3 -27 -8 8 27

x 1 2 4

x -3 -2 -1 1 2 3 -1/3 -1/2 1/2 1/3

在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系? 在第一象限内， 当a>0时，图象随x增大而上升。 当a<0时，图象随x增大而下降

不管指数是多少,图象都经过哪个定点? 在第一象限内， 当a>0时，图象随x增大而上升。 当a<0时，图象随x增大而下降。 图象都经过点（1，1） a>0时,图象还都过点(0,0)点

幂函数的性质: 幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中a的不同而各异. １.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1); ２.如果a>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数; a>1 0<a<1 ３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数; a<0

练习: 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。

（1）5.20.8 与 5.30.8 (3) 例5. 利用单调性判断下列各值的大小。 （2）0.20.3 与 0.30.3 例5. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3 (3) 解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数, ∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

　　　练习 1） ＜ 2） ＜ 3） ＞ 4） ≤

a<0时 a>0时 第一象限 a<0 y a=1 y 双曲线型 a=0,直线型 O X X O 画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象

练习: 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内的图象，已知 a分别取 四个值，则相应图象依次为:________ C4 C2 C3 C1 一般地，幂函数的图象在直线x=1 的右侧，大指数在上，小指数在下， 在Y轴与直线x =1之间正好相反。 1

练习 G E B C I H J D F A (F) (A) (B) (C) (D) (E) y (G) (H) (I) (J) y y y O X O X O X O X O X (A) (B) (C) (D) (E) y y y y y O X O X O X O X O X (F) (G) (H) (I) (J)

小结 形如ｙ＝ｘa（a∈Ｑ） 1、幂函数的定义及图象特征? 的函数叫做幂函数． 在第一象限内 a＞０时图象呈上升趋势； 2、幂函数的性质 在第一象限内 a＞０时图象呈上升趋势； a＜０时图象呈下降趋势． 过定点（１，１） a>1 0<a<1 a＜０ x o y 3、思想与方法

图象过定点(1,1) 小结 1、幂函数的定义及图象特征? 2、幂函数的性质 a<0,在(0,+∞)上为减函数 3、思想与方法

小结 1、幂函数的定义及图象特征? 2、幂函数的性质 3、思想与方法 　 运用函数性质解决问题时,要想到数形结合的思想方法,寓数于形,赋形于数,互相利用,相得溢彰. 2、幂函数的性质 3、思想与方法