第一模块 向量代数与空间解析几何 第二节 向量及其坐标表示法 一、向量的概念 二、向量的坐标表示法
一、向量的概念 如力、位移、速度、加速度等. 既有大小又有方向的量， 这类量称为向量， 或称为矢量. 模等于 1 的向量称为单位向量. 如力、位移、速度、加速度等. 既有大小又有方向的量， 这类量称为向量， 或称为矢量. 模等于 1 的向量称为单位向量. 向量 a 的大小称为该向量的模， 记作 | a |; 与 a 同向的单位向量记为 a ， 记为 0 ，其方向不定. 模等于 0 的向量称为零向量， 如果方向相同、模相等， 两个向量 a 与 b 不论起点是否一致， 即经平行移动后，两向量完全重合. 则它们是相等的， 记为 a = b . 允许自由移动的向量称为自由向量.
以 a 、b 为边的平行四边形的对角线所表示的向量如左图， 定义 1 设有两个非零向量 a 、b ， 这就是向量加法的平行四边形法则. 记为 a + b， 则由 a 的起点到 b 的终点的向量. 若以向量 a 的终点作为向量 b 的起点， 也是 a 与 b 的和向量. 这是向量加法的三角形法则. 这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形. a b c a+b b+c (a+b)+c=a+(b+c) a b a+b b a
从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结合律. 即 a + b = b + a (a + b ) + c = a + (b + c). 若向量 b 加向量 c 等于向量 a ， 根据向量加法的三角形法则， 则称向量 c 为 a 与 b 之差， 记为 c = a - b . b c = a b a
是一个非零实数， 定义 2 设 a 是一个非零向量， 则 a 与 的乘积仍是一个向量， 记作 a ， 且 ( 1 ) | a | = | | | a |; 与 a 同向，当 > 0， 与 a 反向，当 < 0， ( 2 ) a 的方向 如果 = 0 或 a = 0， 规定 a = 0. 数乘向量满足结合律与分配律，即 (a ) = ( ) a ， ( a + b ) = a + b ， ( + ) a = a + b ， 其中 ， 是数量.
设 a 是非零向量， 由数乘向量的定义可知， 向量 的模等于 1 ， 且与 a 同方向， 所以有 因此任一非零向量 a 都可以表示为
二、向量的坐标表示法 与x 轴、y 轴、z 轴的正向同向的单位向量分别记为 i、 j、k， 在空间直角坐标系中， 称为基本单位向量. 终点为 P(x, y, z). 设向量 a 的起点在坐标原点 O， 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐标轴， 则点 A 在 x 轴上的坐标为 x ， 设垂足依次为 A， B ，C， 根据向量与数的乘法运算得向量 , i x OA =
称 a = xi + yj + zk 为向量 a 的坐标表达式， 记作 于是， 由向量的三角形法则， 有 称 a = xi + yj + zk 为向量 a 的坐标表达式， 记作 其中 x，y，z 称为向量 a 的坐标. z C 向量的坐标表示法 P a k B j i y O A x Q
已知 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， 例 1 求向量 a 的坐标表达式. B(x2, y2 , z2)为终点的向量， 解 A O x
设 则 ( 为数量). 或
例 2 已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， 求 a + b , a - b , 3a - 2b . 解 a + b a - b 3a - 2b
O 那么它的终点坐标 A 的坐标就是(ax , ay , az). a 的起点放在坐标原点， 由两点间距离公式可知 z R A b Q a b O Q a y P x
非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 、 、 (其中0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ )，称为向量 的方向角; 这三个角的余弦 cos 、cos 、cos 称为向量a 的方向余弦. 因为△OPA、△ORA 都是直角三角形，所以
例 3 已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 )， 求 的模及方向余弦. 解 由条件可得
例 4 设向量 a 的两个方向余弦为 求向量 a 的坐标. 可知 解 因为
因此 所以 =2 , 4 , 4 或 =2 , 4 ,－4 .
例 5 已知作用于一质点的三个力为 F1 = i－2k ， 求其合力F 的大小及方向角. F2 = 2i－ 3j + 4k ， F3 = j + k ， 解 因为 F = F1 + F2 + F3 所以，可得
查表可得 合力的三个方向角为 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位，