第三章 指數與對數 3－1　指數 3－2　指數函數及其圖形 3－3　對數 3－4　對數函數及其圖形 3－5　常用對數 回總目次

3-1　指數 1. 指數的意義 2. 正整數的指數律 3. 零指數與負整數指數 4. 分數指數 5. 有理數的指數律

指數的意義 設n為正整數，對於每一個實數a，我 們用符號an表示a自乘n次的乘積。即 讀作「a的n次方」，其中a稱為底數， n稱為指數。

正整數的指數律 設a、b為實數，m 、n為正整數，則 1. am．an = am+n 2. (am)n = am n 3.　(ab)n = an．bn

零指數與負整數指數 設a為實數，且a≠0，m 、n為正整數，則 1.　a0=1　　 2.　a–n= 　　 3.　 = a m–n

分數指數 設a > 0，n為正整數，m為整數，我們定義 1.　1= 　　 2.　a = ( )m =

有理數的指數律 設a>0且b>0，r、s為有理數，則 1. ar．as = ar+s 2. (ar)s = ar．s 3.　(ab)r = ar．br

3-2 指數函數及其圖形 1. 指數函數的定義 2. y = 2x的圖形 3. 指數函數y = ax的圖形 4. 指數函數的基本性質 3-2　 指數函數及其圖形 1. 指數函數的定義 2. y = 2x的圖形 3. 指數函數y = ax的圖形 4. 指數函數的基本性質 5. 指數不等關係

指數函數的定義 設a > 0，則函數y = f (x) = ax (x為實數) 稱為以a為底的指數函數。 當a = 1時：f (x) = ax =1x = 1為常數函數。

y = 2x的圖形 作y = f (x) = 2x的圖形： x …… –2 –1 0 1 2 3 …… 將上表中各對應數對描點， 用平滑曲線連接起來。

指數函數y = ax的圖形

指數函數的基本性質 設a > 0，若f (x)=ax(x為實數)，則 1. f的定義域為全部實數，值域為所有正實數 f (x1+x2)=f (x1)．f (x2) 3.　y=f (x)=ax的圖形恆過點(0,1)，且在x軸的上方 4.　當a≠1時，平行於x軸且在x軸上方的任一直線， 與y=f (x)=ax的圖形恰交於一個點

指數不等關係 設x1、x2為任意實數 1. 當a > 1時：ax1 < ax2  x1 < x2

3-3　對數 1. 對數的意義 2. 指數與對數的關係 3. 對數運算性質(一) 4. 對數運算性質(二)

對數的意義 設a > 0且a≠1，當ax = b時，我們以符號log a b來表示 x，即log a b = x，而 log a b 稱為以a為底數時b的對數，b稱為真數。 在log a b中，底數a > 0，且a≠1；真數 b > 0。

指數與對數的關係 ax=b  log a b=x 例：34=81  log381=4 70=1  log71=0

對數運算性質（一） 設a>0且a≠1，M、N為正實數，r為實數，則 1. loga 1=0；loga a=1 2.　loga MN=loga M+loga N 3.　loga =loga M–loga N 4.　loga Mr=rloga M；log M= loga M 5.　logaar=r；alogaM=M 6.　(換底公式)：loga M= 　(其中b為異於1的正數)

對數運算性質（二） 設a、b、c為異於1之正數，M > 0，d > 0， r、s為實數， 則 7. loga = – logaM 8.　(logab)(logba)=1(即logab= ) 9.　log M s= logaM 10.　(logab)(logbc)(logcd) = logad

3-4 對數函數及其圖形 1. 對數函數的定義 2. y = log2 x的圖形 3. y = ax與y = loga x圖形比較 3-4　對數函數及其圖形 1. 對數函數的定義 2. y = log2 x的圖形 3. y = ax與y = loga x圖形比較 4. 對數函數的基本性質 5. 對數不等關係

對數函數的定義 設a > 0且a≠1，則函數y = f (x) = loga x (x > 0) ，稱為以a為底數的對數函數。

y = log2 x的圖形 作y = f (x) = log2 x的圖形： x …… 1 2 4 8 …… 將上表各對應數對描點， 用平滑曲線連接起來。

y = ax與y = loga x圖形比較 y = log a x的圖形與y = a x的圖形對稱於直線y = x

對數函數的基本性質 設a > 0且a≠1，若f (x) = log a x (x>0)，則 2.　對於任意正數x1、x2恆有f (x1．x2) = f (x1) + f (x2) 3.　y = f (x) = log a x的圖形恆過點(1,0)，且在y軸右方 4.　平行於x軸的任一直線，與y = f (x) = log a x的圖形恰交於一個點

對數不等關係 設x1、x2為正實數 1. 當a >1時：log a x1 < log a x2  x1< x2

3-5　常用對數 1. 常用對數 2. 常用對數表查表 3. 常用對數的首數、尾數 4. 常用對數首數與真數的關係

常用對數 在數字的運算上，我們常採用十進位制，因此我們將以10為底的對數稱為常用對數，記作log10 x，或簡記為log x (將底數10省略不寫)。

常用對數表查表 log 5.67 = 0.7536； log 5.676 = 0.7536 + 0.0005 = 0.7641

常用對數的首數、 尾數 x > 0，設log x = n +α，其中n為整數，且0 ≤ α< 1，則n稱為x的常用對數log x的首數， α稱為尾數。 、

常用對數首數與真數的關係 logx = n(首數)+α(尾數)(其中n為整數，0 ≤α< 1) 1.　若真數x > 1，且x的整數部分為m位數時，則 　 首數n = m –1。 2.　若真數x < 1(即0 < x < 1)，且x在小數點後第 　 m 位以前均為0，且第m位開始出現不為0的 數字，則首數n = –m 。