24.2.4 切线长与三角形的内切圆

已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙O沿直线OP翻折，⊙O存在一点与A点重合吗？ 课前引入 已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙O沿直线OP翻折，⊙O存在一点与A点重合吗？ A ∟ 思考: P O 根据圆的轴对称性，存在与A点重合的一点B，且落在圆，连接OB，则它也是⊙o的一条半径。 ∟ PA、PB所在的直线分别是⊙o两条切线。 你能发现OA与PA，OB与PB之间的关系吗？ B

新知讲解 切线长概念 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。 O 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线和切线长 切线和切线长是两个不同的概念， O 切线是直线，不能度量； P A B 切线和切线长 切线和切线长是两个不同的概念， 切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

猜想证明 新知归纳1 切线长定理： 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又有什么关系？ 证明： ∵PA、PB是⊙o的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

练习一： 已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长． E 解：∵PE、PF是⊙O的两条切线 ∴PE=PF，OE⊥PE，∠EPF=2∠1， 又∵OP=6cm，OE=3cm ∴在Rt△POE中，PE= cm ∠1=30° ∴∠EPF=2∠1=60°，PF=PE= cm 答：这两条切线的夹角为60°，切线长为 cm． 1 ⌒ P O F

思考 A C B 李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。 思考 A C B

新知归纳2 三角形的内切圆 1.定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形。 三角形三条角平分线的交点 2.性质: ①内心到三角形三边的距离相等； ②内心与顶点连线平分内角。 O A B C 1 2 F D ∟ ∟ 6 3 4 5 ∟ E

例题分析 例1：已知：在△ABC中，AB=9cm，BC=14cm，AC=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。 C B A E D F O r 分析： 由切线长定理，可得 x x AE=AF，BF=BD，CD=CE 若设AF=xcm，则AE= cm； 由AB=9cm，得BF= cm； 由AC=13cm，得CE= cm. x 9-x 13-x 由BD+CD=BC，得 + =14 (9-x) (13-x)

作三角形内切圆的方法： 1. 作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2. 过点I作ID⊥BC，垂足为D。 3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。 A M N D I ∟ B C

练习二: 如图，在△ABC中，点O是内心， 若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数。 解：∵点O是△ABC的内心， 4 ( 2 ) ) 1 ( 3 ∴ ∠1= ∠2= ∠ABC= 50°= 25° 同理 ∠3= ∠4= ∠ACB= 70° = 35° ∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °

课堂小结 1.切线长定理 2.三角形的内切圆 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 (1)定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心 (三角形三条角平分线的交点)，这个三角形 叫做圆的外切三角形。 (2)性质: ①内心到三角形三边的距离相等； ②内心与顶点连线平分内角。

C B D 课堂小测： 1. 如图，AB、AC分别是⊙O的切线，B、C 为切点，∠ABC=60o，∠BAC=( ) A.30o B.45o C.60o D.90o 2.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点， ∠APB=70o，∠AOB=( ) A.70o B.110o C.120o D.140o C B 3.如图，PA、PB分别是⊙O的切线， AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35o， ∠P=( ) A.35o B.45o C.60o D.70o D

A 2 60 4. 一个钢管放在V形架内，如图是其截面图， O为钢管的圆心。如果钢管的半径为 25cm，∠MPN=60o，则OP=( ) A.50cm B. cm C. cm D. cm A 5. 如图，PA、PB切⊙O于A、B两点， 点E是⊙O 上一点，且∠AEB=60o， 则∠P= o. 6. 如图，Rt△ABC中，∠C=90o， BC=6，AC=8，则△ABC的 内切圆的半径r= . 60 2 直角三角形内切圆半径

7.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∠OAB＝30°． (1)求∠APB的度数； (2)当OA＝3时，求AP的长． ∴OA⊥AP，OB⊥PB ∴∠OAP=∠OBP=90o ∴∠OBA＝∠OAB＝30° 又∵半径OA=OB，∠OAB＝30° ∴∠1=∠2=60° ∴△ABP中，∠APB=60° (2)连接OP，由(1)知，∠OAP=90o，∠APB=60° ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴∠3=30° 又∵OA＝3 ∴OP=6 ∴在Rt△OAP中，AP=

作业： 必做：课本P100练习第1题， P101-102 习题24.2 第6题和第11题 选做：课本P100练习第2题，

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