東西數學風格比較： 《幾何原本》vs.《九章算術》 洪萬生 《HPM 通訊》 台灣數學博物館 (MTM) 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

大綱 漢簡《筭數書》、《九章算術》及劉徽注 《幾何原本》(The Elements) ：David Joyce 網站 劉徽 (263 AD 注九章）vs. 歐幾里得 (Euclid, 300 BCE) 孔子 vs. 柏拉圖 墨子 vs. 亞里斯多德

有關《筭數書》的故事

《筭數書》的『說文解字』 筭與數 『筭』字，出現在《筭數書》的書名。 筭與算都未見於甲骨文與金文。 小篆『筭』是會意字，許慎的《說文解字》本義作『長六寸，計曆數者，從『竹』、從『弄』，言常弄乃不誤也。』它顯然是指中國古代計算用的一種計算工具。 『算』字從『竹』從『具』，也是一個會意字，「竹謂運筭以計者，具謂計數明確無錯誤，以筭明確計數為算。」可見『算』字是利用『筭』字與『數』字來下定義的。 『算』字的《說文解字》本義作『數也』解，乃計審以計其數之意。段玉裁說：「筭為算之器，算為筭之用。」

《筭數書》的『說文解字』 考慮『數』的本義。『數』是一個兼具『形聲』與『會意』的文字。在金石文中，我們始見此一文字，它的形狀與小篆略同。在小篆中，『數』從『ㄆ』，『婁』聲。《說文解字》本義作『計』解，乃是計算之意。「俗對十以下之數之數，常輕敲手指、使之屈伸之計之，實存古意，故數從ㄆ。」又以「婁本作『空』解，計算須心中別無雜念，始能專心致志為之，故數從婁聲。」

公元前186年的《筭數書》 這一部漢代竹簡書於1983年底到隔年初，連同陪葬的其他七冊竹簡，在中國湖北張家山第247號墓出土。 它在西漢呂后二年 (公元前186年）埋葬 ，距離今天 (2010)，最少已有2196年的歷史了。 由墓地規模與棺墎的大小，可以斷定不知名的墓主是一位低級官吏。從陪葬的八部竹簡來看，可知他『通曉法律、能計算、好醫術、導引』。按現在的知識『專業化』與『分工』的觀點來看，很難想像一位低級官吏竟然通曉這四種學問。

《九章算術》內容簡介 方田：約分術，分數四則運算，面積公式，例如圓田術 粟米：比例計算，例如今有術，已知 a : b = c : x，求x 衰分：比例分配 少廣：開平方，開立方法，球體積公式 商功：體積公式，例如陽馬術 均輸：複比例問題 盈不足：一次方程的算術解法，例如盈不足術 方程：多元一次方程聯立消元解法，例如方程術，正負術 勾股：勾股定理及其測量運用

九章風貌及特色 前六章按問題性質分類，後三章按數學方法（所謂『術』）分類。 編纂體例不一，譬如卷一方田是按「今有」問題－答曰－術曰序列出現，卷二粟米是先引進「粟米之率」，再接著「今有問題－答曰－術曰」，至於卷三衰分，則是先引進衰分術，再接著「今有問題－答曰－術曰 」等等。 卷八「方程術」在秦簡《數》(212 BCE) 或漢簡《筭數書》(186 BCE) 中未曾出現。

九章知識內容 按現代數學知識分類： 算術 代數 幾何 按漢代數學知識— 九數 —分類： 東漢鄭玄《周禮注》：九數：方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、勾股也。

貴族子弟的教育內容 ‧ 大概從西周時代開始，所謂『計』就與『計』算息息相關。譬如《禮記‧內則》規範了貴族子弟的教育內容：「六年，教之數與方名。九年，教之數日。十年，出就外傅，居宿於外，學書計。」 在學習了數的名稱、方位名稱、如何數日（甲子日與朔望月）之後，就可以外出拜師學習『書』與『計』了

孔子的見證 司馬遷〈史記‧孔子世家〉有相當忠實的見證：「孔子貧且賤。及長，嘗為季氏史，料量平；嘗為司職吏而畜蕃息。」 前者也稱為『委吏』，掌管倉庫，後者也稱為『乘田』，看管牛羊，都必須熟悉『計』這種學問。 孔子曾自稱︰「吾少也賤，故多能鄙事。」孔門強調『六藝』作為士人的必備素養，的確很有道理。

孔門六藝與算學 孔門繼承周代城邦家臣傳統而來，「世傳六藝之教：禮、樂、射、御、書、數，恐怕是結集歷史經驗的結果，也應乎當時需要。習禮樂以為相，練射御以治軍，操書數便去當家臣。」 無論是封建時代的家臣或秦漢大一統以後的官吏，學習數學不過是他們干祿的途徑之一。 對於中國傳統士大夫，數學充其量只是一種遊藝活動！南齊顏之推的《顏氏家訓》說得好：「算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定曆律者皆學通之，然可以兼明，不可以專業。」

《九章算術》的官方用途 東漢光和二年（公元179年）大司農斛、權銘文： 大司農以戊寅詔書，秋分之日，同度量、均衡石、榷斗桶、正權概，更特為諸州作銅斗、斛、稱、尺。依黃鍾律曆，《九章算術》，以均長短、輕重、大小、用齊七政，令海內都同。

劉徽 三國時代的曹魏人，生平不詳。 陳留王景元四年 (公元263年）注《九章算術》 與注《周髀算經》的孫吳趙爽，應該是同一時代人。

劉徽注九章序 徽幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注。 事類相推，各有所歸，故枝條雖分而同本幹知，發其一端而已。 又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。 且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，期能窮纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共，非特難為也。 當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。

說文解字！ 賾：幽深玄妙。 事類相推：榮子與陳方之對話也有以類推類之說法。後世之「類推」一詞，顯然是由此而來。 黷：繁瑣。 賓興：周代舉賢之法，謂鄉大夫自鄉小學舉薦賢能而賓禮之，以升入國學。 國子：公卿大夫子弟。

士大夫如何看待數學？ 南齊顏之推《顏氏家訓》卷七〈雜藝〉篇 算術亦是六藝要事，自古儒士論天道、定律曆者，皆學通之。然可以兼明，不可以專業。江南此學殊少，唯范陽祖暅精之，位至南康太守，河北都曉此術。

祖沖之如何計算3.141592？ 祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈、朒二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，周二十二。 祖沖之知道圓周率（圓周除以直徑）是常數或定值嗎？我們如何確認？

《九章算術‧方田章》圭田面積公式

《九章算術‧方田章》邪田面積公式

《九章算術‧方田章》圓田面積公式

九章面積公式 方田 (直田)術：廣、從相乘。 圭田術：半廣以乘正從，亦可半正從以乘廣。劉徽注：半廣知，以盈補虛為直田也。 邪田（類似今之梯形）術：并兩邪而半之，以乘正從若廣；又可半正從若廣，以乘并。劉徽注：并而半之者，以盈補需也。 圓田術：半周、半徑相乘。劉徽注：按半周為從、半徑為廣，故廣、從相乘為積步也。 劉徽的面積理論層次！

九章體積公式 城、桓、堤、溝、塹、渠皆同術：並上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。 方堡壔：方自乘，以高乘之。 圓堡壔：周自相乘，以高乘之，十二而一。 方亭：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。 圓亭：上下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。徽注：從方亭求圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。

九章體積公式 方錐：下方自乘，以高乘之，三而一。 圓錐：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 塹堵：廣、袤相乘，以高乘之，二而一。 陽馬：廣、袤相乘，以高乘之，三而一。 鼈腝：廣、袤相乘，以高乘之，六而一。 羨除：并三廣，以深乘之，六而一。 芻甍：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。 芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術：倍上袤、下袤從之；亦倍下袤，上袤從之；各以其廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。

劉徽的幾何理論層次

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版。 3 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 4 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁33。 5 小篆『筭』是會意字，……「筭為算之器，算為筭之用。」 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁8-9。 6 《HPM通訊》第五卷，第二三期合刊，再論《算數書》，洪莈生著，2002年3月出版，頁1。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 7 考慮『數』的本義。……，故數從婁聲。」 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁10-11。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁1。 8 這一部漢代竹簡書於……最少已有2196年的歷史了。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 由墓地規模與棺墎的大小，……低級官吏竟然通曉這四種學問。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁2。 10 今有問題－答曰－術曰 《九章算術》，〈劉徽注序〉，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 11 東漢鄭玄《周禮注》：九數：方田......旁要。今有重差、夕桀、勾股也。 《周禮注》，鄭玄(127~200)。 12 Wikipedia，作者：未知，本作品轉載自： http://zh.wikipedia.org/wiki/File:%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93.gif，瀏覽日期：2013.1.4。依據著作權法第46、52、65條合理使用。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁1。 13 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 14 六年，教之數與方名……，居宿於外，學書計。」 《禮記‧內則》，成書於戰國時期。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 15 司馬遷；嘗為司職吏而畜蕃息。」 司馬遷(西元前145~西元前86年)，《史記‧孔子世家》，成書於戰國時期。本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 孔子曾自稱︰「吾少也賤，故多能鄙事。」孔門強調『六藝』作為士人的必備素養，的確很有道理。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版， 頁102。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 16 世傳六藝之教：禮、……，操書數便去當家臣。 台灣師範大學數學系　洪萬生教授。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《顏氏家訓》，卷七雜藝十九，顏之推。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 16 對於中國傳統士大夫，……不可以專業。」 《顏氏家訓》，卷七雜藝十九，顏之推。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 17 東漢光和二年……，令海內都同。 大司農斛，權銘文。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 19 徽幼習九章…而未必能綜於此耳。 《九章算術》，〈劉徽注序〉，成書年無定論。 20 賾：幽深玄妙。……國子：公卿大夫子弟。 《說文解字》，許慎。 21 南齊顏之推《顏氏家訓》……，河北都曉此術。 《顏氏家訓》卷七〈雜藝〉篇 ，顏之推。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《隨書‧律曆志》。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 22 祖沖之更開密法，……，周二十二。 《隨書‧律曆志》。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 23 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁9。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 24 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁10。 25 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁10-11。 依據著作權法第46、50、52、65條合理使用。 26 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁11。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 27 方田 (直田)術：廣、從相乘……半周為從、半徑為廣，故廣、從相乘為積步也。 《九章算術》卷一〈方田〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 28 城、桓、堤、溝、塹、渠……圓亭之積，亦猶方冪中求圓冪。 《九章算術》卷五〈商功〉篇 ，劉徽，成書年無定論。 29 方錐：下方自乘，以高乘之，三而一……并，以高若深乘之，皆六而一。 30 《古代世界數學泰斗─劉徽》，郭書春著，明文書局，1995年4月出版，頁315。依據著作權法第46、52、65條合理使用。