材料力学（乙） 第三章 应力与应变分析（1） 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年3月12日

重要基本概念的回顾与强化 σ = Eε 1、胡克定律：当杆内应力不超过材料的某一极限值时，应力与应变成正比。 2、弹性模量、剪切弹性模量：E与G，单位均为Pa。 描述材料抵抗变形能力的物理量（代表刚度） 3、泊松比：μ，横向应变与纵向应变之比。 4、泊松比的取值范围，负泊松比材料。 5、三个弹性常数之间的关系：

重要基本概念的回顾与强化 6、静矩（面积矩）： 整个图形对于y轴的静矩 7、形心： 8、静矩与形心关系： z y O dA ρ 7、形心： 8、静矩与形心关系： 9、组合截面的静矩与形心（叠加法）。 10、惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半径。

静矩与形心、惯性矩、平行移轴定理、转轴定理、形心主轴 第二章 平面图形的几何性质 静矩与形心、惯性矩、平行移轴定理、转轴定理、形心主轴

2.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径 (I.2，I.3) 2、惯性矩的性质 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩，是 对点定义的。 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂 直的轴的惯性积为零。 对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远， 其惯性矩越大。

2.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径 (I.2，I.3) 2、惯性矩的性质 决定因素: 截面形状、尺寸、轴的位置。 数值范围: 惯性矩、极惯性矩和惯性半径恒为正；惯性积可 以为正、为负、为零。 常用单位: 惯性矩、极惯性矩和惯性积的单位相同，均为 mm4、cm4、m4； 惯性半径: mm、cm、m。

2.2 惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径 (I.2，I.3) 例题2.4 求矩形截面的惯性矩。 h o z y b 解： 同理：

2.3 平行移轴定理 (I.4) y yc zc z dA a O 同理：   平行移轴定理指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即 通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的 惯性矩与惯性积。 y z O zc yc dA a 同理：

2.3 平行移轴定理 (I.4)   平行移轴定理指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即 通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的 惯性矩与惯性积。 注意： 两平行轴中，必须有一轴为形心轴，截面对任意两平行轴的惯性 矩间的关系，应通过平行的形心轴惯性矩来换算。

2.3 平行移轴定理 (I.4) 例题2.5 试求图示三角形：（1）对z轴静矩；（2）对z轴的惯性矩；（3）对z1轴的惯性矩。 解： y b/2 h/2 O y z1 试求图示三角形：（1）对z轴静矩；（2）对z轴的惯性矩；（3）对z1轴的惯性矩。 y dy zc 解：

2.4 转轴定理 (I.5) 1、转轴定理 y y1  dA z1 z O 已知： Iy 、Iz 、Iyz 、 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴 的惯性矩和惯性积的变化规律。 已知： Iy 、Iz 、Iyz 、 z y O z1 y1 求： Iy1 、Iz1 、Iy1z1 y z  y1 z1 dA

2.4 转轴定理 (I.5) 1、转轴定理 z y O y1 y z  y1 z1 dA z1

2.4 转轴定理 (I.5) 1、转轴定理 y y1  dA z1 z O z z1 y1 y 图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转 动时，其和保持不变。

2.4 转轴定理 (I.5) 2、主惯性距 y y0 dA z0 z O Iy0、 Iz0：主惯性矩。 0 当改变时，Iyl、 Izl也发生变化 令 =0，二者分别为极大值和极小值。 Iy0、 Iz0：主惯性矩。

2.4 转轴定理 (I.5) 2、主惯性距 z y O y0 y z 0 y0 z0 dA z0 对于y0, z0轴，惯性积为零。

2.4 转轴定理 (I.5) 3、小结：主惯性轴与主惯性距 4、形心主轴、形心主矩 对于任何形状的截面，总可以找到一对特殊的直角坐标， 使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一 对坐标轴就称为该截面的主惯性轴，而截面对于主惯性轴的惯 性矩称为主惯性矩。 4、形心主轴、形心主矩 当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，他们就被称 为该截面的形心主惯性轴，简称形心主轴。而截面对于形心主 惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩，简称形心主矩。

2.4 转轴定理 (I.5) 5、观察法确定形心主轴的位置 （1）如果平面图形有一条对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴， 而另一条形心主惯性轴通过形心，并与此轴垂直。

2.4 转轴定理 (I.5) 5、观察法确定形心主轴的位置 （2）如果平面图形有两条对称轴，则此两轴都为形心主惯性轴。

2.4 转轴定理 (I.5) 5、观察法确定形心主轴的位置 （3）如果平面图形具有三条或更多条对称轴，那么通过证明后 可以知道：过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴，而且该平 面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。

2.4 转轴定理 (I.5) 5、观察法确定形心主轴的位置 6、常见截面的形心主矩 （4）对于没有对称轴的截面，其形心主惯性轴的位置通过转轴定 理确定。 6、常见截面的形心主矩 （1）矩形截面 （2）圆形截面

二、平面图形的几何性质 0阶 所有截面的基础代数量 拉压、剪切 1阶 静矩（面积矩） 弯曲 关系 形心 弯曲 惯性积 极惯性矩 扭转 2阶 惯性半径 稳定性 转轴定理 平行移轴定理 通过形心轴过渡 弯曲 存在惯性积为零的坐标系 主惯性轴、主惯性距 形心主轴、形心主矩

应力状态、主应力单元体、 二向应力状态分析 第三章 应力与应变分析（1） 应力状态、主应力单元体、 二向应力状态分析

FS M 3.1 应力状态概述（7.1） σ τ 1、应力的点和面 横截面上正应力和切应力分布的结果表明：同一面上、不 同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。

3.1 应力状态概述（7.1） y F1 ΔTy ΔF ΔFN ΔA ΔTz x z F2 1、应力的点和面 正应力 垂直于截面的应力。 切应力 位于截面内的应力。 应力的概念表明：即使同一点、不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。

3.1 应力状态概述（7.1） 1、应力的点和面 正应力与切应力交融； 不仅横截面上存在应力，其他截面上也存在应力； 同一面上不同点的应力各不相同； 同一点不同方向面上的应力也是各不相同。 应力 哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？

学习应力状态的目的? 3.1 应力状态概述（7.1） 2、应力状态 过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点 的应力状态，亦指该点的应力全貌。 各截面上的应力如何计算？ 应力状态理论 学习应力状态的目的?

σu = σS σu = σb 3.1 应力状态概述（7.1） 2、应力状态 两个强度指标s 和 b 称作极限应力或危险应力， 塑性材料 脆性材料 （屈服极限） σu = σb （强度极限） 强度条件 是否成立？

3.1 应力状态概述（7.1） 2、应力状态 p τ M FS σ τ σ 寻找出最危险的截面与点的位置

3.2 主应力单元体（7.1） z y x 1、单元体 dx, dy, dz ® 0 dx dz dy 无穷小正六面体， 一般情况六面体各面上皆有应力分量（正应力，切应力） y x z dx dz dy

3.2 主应力单元体（7.1） 2、单元体的应力特征 3、应力状态分析 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 任意一对平行平面上的应力相等 3、应力状态分析 一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析。 τ1 τ2 σ τ2 ΔA σ τ3

3.2 主应力单元体（7.1） z' z y' y x x ' 2、单元体的应力特征 3、应力状态分析 单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 任意一对平行平面上的应力相等 3、应力状态分析 一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析。 y' x ' z' y x z dx dz dy dx dz dy

3.2 主应力单元体（7.1） z dx dz y x dy 4、主平面、主应力、主应力单元体 主应力单元体 主平面：切应力为零的截面 主应力：主平面上的正应力 主应力单元体：各侧面上切应力均为零的单元体

3.2 主应力单元体（7.1） z dx dz y x dy 4、主平面、主应力、主应力单元体 主应力单元体 任意一点处必定存在这样的一个主应力单元体， 其中三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为1、2、 3 且规定按代数值大小的顺序来排列，即

3.2 主应力单元体（7.1） 4、主平面、主应力、主应力单元体 y x z dx dz dy 主应力单元体 注意：包括符号！

3.2 主应力单元体（7.1） 5、应力的符号 正应力正负号规定： 拉为正, 压为负

3.2 主应力单元体（7.1） 5、应力的符号 切应力正负号规定： 使微元顺时针转动为正，反之为负。

3.2 主应力单元体（7.1） 5、应力的符号 斜面倾角角正负号规定： 由x轴逆时针转到 x’ 轴（斜截面外法线）为正，反之为负 y x

3.2 主应力单元体（7.1） 6、应力状态的分类 两种简单的应力状态 x y x y 单向应力状态 纯剪应力状态

3.2 主应力单元体（7.1） 6、应力状态的分类 1 2 2 3 1 1 (1) 单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 (2) 平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 (3) 空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态。 1 2 1 3 1 2

3.2 主应力单元体（7.1） 6、应力状态的分类 纯剪切应力状态 简单应力状态 单向应力状态 应力状态 平面应力状态 （二向应力状态） 复杂应力状态 空间应力状态 （三向应力状态）

y τ F1 τ α dA τ x β z F2 3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 切应变（角应变） γ = α + β 1、切应力互等定理 F1 F2 dA x y z τ dx dz dy τ α β τ 切应变（角应变） γ = α + β （即直角改变量）

τ 3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 1、切应力互等定理 y dz dy x dx z 由平衡方程 x dy dz dx y z 可知，两侧面的内力元素dydz大小相等，方向相反，将组成一个力偶。 τ 其矩为(dydz)dx

τ 3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） (dydz)dx 1、切应力互等定理 y dz dy x dx z 要满足平衡方程 在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为 此力偶矩与前一力偶矩 (dydz)dx 数量相等而转向相反，从而可得

τ 3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 1、切应力互等定理 y dz dy x dx z 在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 2、二向应力状态的普遍形式 y x z 单元体上有x，xy 和y，yx y y

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (1) 截面法 假想地沿斜截面ef将单元体截开，留下左边部分的单体元eaf 作为研究对象 (2) 确定各应力及角度的符号 x y a x yx xy  n e n e f α xy x α α α a f yx y

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (3) 任意斜截面的应力 e f a x xy yx y α α α n e f a α dA dAsin dAcos 设斜截面的面积为dA, ae的面积为dAcos，af的面积为dAsin。 对研究对象列n和t方向的平衡方程得

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (3) 任意斜截面的应力 e f a x xy yx y α α α n e f a α dA dAsin dAcos 设斜截面的面积为dA, ae的面积为dAcos，af的面积为dAsin。 对研究对象列n和t方向的平衡方程得

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (3) 任意斜截面的应力 不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数 e f a x xy yx y α α α n e f a α dA dAsin dAcos 不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (4) 斜截面的最大正应力及方位 最大正应力的方位 令 0和0+90º确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在 的平面，另一个是最小正应力所在的平面。

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (4) 斜截面的最大正应力及方位 最大正应力 将0和0+90º代入公式 得到max和min（主应力） 下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (4) 斜截面的最大正应力及方位 约定|0|<45º，即0取值在±45º范围内，确定主应力方向的 具体规则如下： 当x>y时，0是x与max之间的夹角； 当x<y时，0是x与min之间的夹角； 当x=y时，0=45º，主应力的方向可由单元体上切应力 情况直观判断出来

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (5) 斜截面的最大切应力及方位 注意：正应力最大时 0和0+90º所确定的正应力所在的两个互相垂直的平面，切 应力为0，符合主应力的定义。

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (5) 斜截面的最大切应力及方位 最大切应力的方位 令 1和1+90º确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所 在的平面，另一个是最小切应力所在的平面。

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 3、求解过程 (5) 斜截面的最大切应力及方位 最大切应力 将1和1+90º代入公式 得到τmax和τmin 比较 和 可见

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 例题3.1 已知截面上A点的正应力和切应力分别为 = −70 MPa， = 50 MPa。确定A点的主应力及主平面的方位。  A 

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 例题3.1 已知截面上A点的正应力和切应力分别为 = −70 MPa， = 50 MPa。确定A点的主应力及主平面的方位。 解： 把从A点处截取的单元体放大如图 A   1 3 A 0 或 x A  

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 例题3.1 已知截面上A点的正应力和切应力分别为 = −70 MPa， = 50 MPa。确定A点的主应力及主平面的方位。 解： 因为x<y，所以0=27.5º与min对应 A   1 3 A 0 x A  

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） x y 例题3.2 纯剪应力状态 或 此现象称为纯剪应力状态

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 例题3.3  试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 一点处的平面应力状态如图所示。 已知  解： （1）斜面上的应力

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 例题3.3  试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 一点处的平面应力状态如图所示。 已知  解： （2）主应力、主平面

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3） 例题3.3  试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 一点处的平面应力状态如图所示。 已知  解： （3）主平面的方位 主应力 方向： 主应力 方向：

3.3 二向应力状态分析：解析法（7.3）  例题3.3 试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 试求：（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 一点处的平面应力状态如图所示。 已知 解： （4）主应力单元体 

作业 下次内容 第七章 应力和应变分析2 I.11(P.352), 7.13, 7.14 (P. 269) 图示T型截面，y与z轴如图所示，求： （1）截面对z轴的静矩； （2）截面的形心坐标； （3）截面对过形心且平行于z轴 的轴的惯性矩。 下次内容 第七章 应力和应变分析2