3．2 立体几何中的向量方法 3．2 ． 1 直线的方向向量与平面的法向量 1．了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示来出． 3．2 立体几何中的向量方法 3．2 ． 1 直线的方向向量与平面的法向量 1．了解如何用向量把空间的点、直线、平面表示来出． 2．理解并掌握用向量方法解决立体几何问题． 3．掌握把立体几何问题转化为向量问题．
1．空间中的点P，可用向量OP表示，OP称为点P的________． → → 位置向量 1．空间中的点P，可用向量OP表示，OP称为点P的________． l上一个定点A 2．空间中任意一条直线 l 的位置可以由_______________ 以及一个向量确定，这个向量叫做直线的____________． 3．直线 l⊥平面α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 方向向量 a⊥平面α，向量 a 叫做平面α的_____________． 法向量 注意：(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向 量．(2)一个平面的法向量有无限多个，且它们互相平行．
的方向向量为 c，则 l⊥α⇔___________________________ . a⊥c且b⊥c(或a·c＝0且b·c＝0) 4．设 a，b 在平面α内(或与α平行)，a 与 b 不平行，直线 l 的方向向量为 c，则 l⊥α⇔___________________________ . a⊥c且b⊥c(或a·c＝0且b·c＝0)
【要点1】用直线的方向向量确定空间中的直线和平面．
【要点2】平面法向量的求法．
【要点3】直线的方向向量与平面的法向量的应用．
题型1 求平面的法向量 例1：已知点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC 的 一个法向量． 思维突破：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个 向量． 自主解答：设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 → → 面ABC内的任意向量，不妨取AB，BC，因它们的基线相交，将 其转化成数量积为 0，求得 n.
C
题型2 由直线的方向向量与平面的法向量判断线、 面的位置关系
自主解答：(1)∵a＝(1,－3,－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0.∴a⊥b.∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3,－9,0)， ∴v＝－3u.∴v∥u.∴α∥β. (3)∵a＝(1,－4,－3)，u＝(2,0,3)． ∴a·u≠0 且 a≠ku(k∈R)． ∴a 与 u 既不垂直也不共线，即 l 与α相交但不垂直． (4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2,－1)， ∴a·u＝－3＋4－1＝0. ∴a⊥u.∴l⊂α或 l∥α.
B．若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是 平面 ABC 的法向量 2．下列命题中正确的是( A ) A．若 n 是平面 ABC 的一个法向量，则 n 和平面 ABC 内任 意一条直线的方向向量垂直 B．若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是 平面 ABC 的法向量 C．若 n 既是平面α 的法向量，又是平面β 的法向量，则 α ∥β D．若α∥β ，则它们所有共同的法向量都在一条直线上
题型3 用向量方法证明线面、面面平行 例3：如图 3－2－1，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M， N 分别是 C1C，B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD. 图 3－2－1
思维突破：用向量法证明线面平行有如下方法：①证明直 线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面 内；②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面 向量且直线不在平面内；③证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直．证明面面平行时可以直接证明两平面的法向量平行．
【变式与拓展】 3．若互不重合的平面α，β的法向量分别为 u＝(1，2，－2)， v＝(－3，－6，6)，证明：α∥β. 证明：∵u＝(1 ， 2，－2)，v＝(－3，－6 ， 6)， ∴v＝－3u，即 v∥u. 又∵u，v 分别为平面α，β的法向量且α，β互不重合， ∴α∥β.
题型4 用向量方法证明线面、面面垂直 例4：如图 3－2－2，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O⊥平面 GBD. 图 3－2－2 思维突破：用向量法证明线面垂直一般有如下两种方法： ①证明直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直；②证 明直线的方向向量与平面的法向量平行．
【变式与拓展】 4．已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 B1B， CD 的中点．求证：平面 DEA⊥平面 A1FD1. 证明：如图 D16，建立空间直角坐标系 Dxyz.不妨设正方体 的棱长为 2，则 D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(0,1,0)， E(2,2,1)． 图 D16