2.3 直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性 a a a b b b ● 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性 ⒈ 直线对一个投影面的投影特性 ● A B a b  A M B ● a≡b≡m B A ● a b 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=AB.cos 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB

⒉ 直线在三个投影面中的投影特性 其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。 投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线

⑴ 投影面平行线 水平线 投影特性： ①在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。 V H a b A γ β B W ′ ″ ①在其平行的那个投影面 上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面 倾角的实大。 ②另两个投影面上的投影 平行于相应的投影轴， 其到相应投影轴距离反 映直线与它所平行的投 影面之间的距离。 Z ″ b a O Y ′ X β γ 实长

判断下列直线是什么位置的直线？ 正平线 侧平线 直线与投影面夹角的表示法： 与H面的夹角: 与V面的角:β 与W面的夹角:γ 实长 实长 b a a b a b b a a b b a 实长 γ β   直线与投影面夹角的表示法： 与H面的夹角: 与V面的角:β 与W面的夹角:γ

投影特性: ⑵ 投影面垂直线 铅垂线 正垂线 侧垂线 ① 在其垂直的投影面 上， 投影有积聚性。 ② 另外两个投影， 反映线段实长，且垂直 ● a b a(b) a b ● c(d) c d d c ● e f  e f e(f) 投影特性: ① 在其垂直的投影面 上， 投影有积聚性。 ② 另外两个投影， 反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。

⑶ 一般位置直线 Z  Y a O X b  H a β γ A b  V B W   投影特性 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。

二、一般位置直线 Z X a b a O Y a b b A B b b a b a a    投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长 2． a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3．不反映  、  、 实角

§3-3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 §3-3 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角 四、作图 1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1

1． 求直线的实长及对水平投影面的夹角角  AB |zA-zB| ab |zA-zB|   |zA-zB | AB  AB ab |zA-zB|

2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 a X a b b AB  |yA-yB|  ab AB  |yA-yB| |yA-yB| AB  ab |yA-yB|

3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 |xA-xB|  A B b b a b a a  |xA-xB|

[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 |zA-zB| ab AB |zA-zB| a  ab

二、直线与点的相对位置 ◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即： c A H a V b B C W ′ ″ c a X b Y O Z ′ ″ ◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。　 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即： AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb 定比定理

例1：判断点C是否在线段AB上。 应用定比定理 不在 在 不在 另一判断法? ② c a b c a b a b c a b c ● a b c a b c ① ● 不在 在 ● a a b c b ③ c a 不在 另一判断法? ● c b 应用定比定理

例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。 解法一： （应用第三投影） 解法二： （应用定比定理） ● a a b b k ● a a b b k a ● ● k ● k ● k ● b

三、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行 b c d H A d a C V D B  a c d b c O X   空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。

例：判断图中两条直线是否平行。 AB与CD平行。 AB与CD不平行。 ① 对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。 ② b d c a AB与CD不平行。 对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。

⒉ 两直线相交 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。 交点是两直线的共有点 b c V k c a b d b a c d k k a d B C D K A O X a d k b c H 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。

例1：过C点作水平线CD与AB相交。 a ● b b a c k d d k c ● 先作正面投影

例2：判断直线AB、CD的相对位置。 相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符合空间一个点的投影特性。 判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ′ c a b d 不相交！ 为什么？ 交点不符合空间一个点的投影特性。 判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影

⒊ 两直线交叉 不相交！ 交点不符合一个点的投影规律！ 两直线相交吗？ 为什么？ c a b d O X a c A C V b H d D ′ a c A C V b H d D B ′ 两直线相交吗？ 不相交！ 交点不符合一个点的投影规律！ 为什么？

投影特性： ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。 a c A C V b H d D B ′ c a b d O X ′ 2 1 1(2) Ⅱ Ⅰ ′ ● 1 ● ′ ′ Ⅳ 4 3(4 ) 3 Ⅲ ● ● 3(4 ) 3 4 ′ 2 ● ′ ● 1(2) 投影特性： ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。

§3-6 直角投影定理 一、垂直相交的两直线的投影 §3-6 直角投影定理 一、垂直相交的两直线的投影 定理一　垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 二、交叉垂直的两直线的投影 定理三　相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 定理四　两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 例题8 例题9 例题10

AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab  ac 一、垂直相交的两直线的投影 c X b a c b a AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab  ac