3.1回归分析的基本思想及其初步应用（四） 高二数学 选修2-3 第三章 统计案例

比《数学3》中“回归”增加的内容 选修2-3——统计案例 数学３——统计 引入线性回归模型 y＝bx＋a＋e 画散点图 了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系 了解残差图的作用 利用线性回归模型解决一类非线性回归问题 正确理解分析方法与结果 数学３——统计 画散点图 了解最小二乘法的思想 求回归直线方程 y＝bx＋a 用回归直线方程解决应用问题

复习回顾 1、线性回归模型： y=bx+a+e， (3) y=bx+a+e， 其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。 E(e)=0,D(e)= (4) 2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。 3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。

R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。 4、两个指标： （1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为 的估计量， 越小，预报精度越高。 （2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其 计算公式是： R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。

5、残差分析与残差图的定义： 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。

案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中： 非线性回归问题 案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中： 温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 24 66 115 325 （1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？

一元线性模型 探索新知 方案1 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。 选变量 画散点图 选 模 型 50 100 150 200 250 300 350 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。 选变量 画散点图 选 模 型 假设线性回归方程为 ：ŷ=bx+a 估计参数 由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464 分析和预测 当x=28时，y =19.87×28-463.73≈ 93 所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。

93>66 ? 模型不好？ 奇怪？

二次函数模型 合作探究 方案2 选用y=bx2+a ，还是y=bx2+cx+a ？ 如何求a、b ？ y=bx2+a 变换 y=bt+a 问题１ 选用y=bx2+a ，还是y=bx2+cx+a ？ 问题2 如何求a、b ？ 问题3 y=bx2+a 变换 y=bt+a 非线性关系 线性关系 t=x2 产卵数 气温

方案2解答 平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a 21 23 25 27 29 32 35 温度的平方t 441 529 625 729 841 1024 1225 产卵数y/个 7 11 24 66 115 325 作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802 将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543 当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。 t

合作探究 指数函数模型 方案3 产卵数 气温 问题１ 如何选取指数函数的底? 问题２ 变换 y=bx+a 非线性关系 线性关系 对数

方案3解答 令 ，则 就转换为z=bx+a. 对数变换：在 中两边取常用对数得 由计算器得：z关于x的线性回归方程 为 对数变换：在 中两边取常用对数得 令 ，则 就转换为z=bx+a. 温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 z=lny 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 产卵数y/个 7 11 24 66 115 325 由计算器得：z关于x的线性回归方程 为 x z 相关指数R2=0.98 当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化

最好的模型是哪个? 产卵数 气温 产卵数 气温 线性模型 二次函数模型 指数函数模型

最好的模型是哪个? 比一比 函数模型 相关指数R2 线性回归模型 0.7464 二次函数模型 0.80 指数函数模型 0.98

回归分析（二） 由计算可得： 则回归方程的残差计算公式分别为： 因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。 x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 24 66 115 325 0.557 -0.101 1.875 -8.950 9.230 -13.381 34.675 47.696 19.400 -5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968 因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。

总 结 对于给定的样本点 两个含有未知参数的模型： 其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为： （1）分别建立对应于两个模型的回归方程 总 结 对于给定的样本点 两个含有未知参数的模型： 其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为： （1）分别建立对应于两个模型的回归方程 与 其中 和 分别是参数a和b的估计值； （2）分别计算两个回归方程的残差平方和 与 （3）若 则 的效果比 的好；反之， 的效果不如 的好。

练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下： 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 12 25 49 95 190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图； （2） 描述解释变量与预报变量 之间的关系； （3） 计算残差、相关指数R2. 天数 繁殖个数 解：（1）散点图如右所示

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= 的周围，于是令Z=lny,则 x 1 2 3 4 5 6 Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由计数器算得 则有 （3） 6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 y 6 12 25 49 95 190 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.

练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程 的回归系数 ； （2）求残差平方和； （3）求相关系数 ； （4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

解： （1）由已知数据制成表格。 1 2 3 4 5 合计 6 20 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 9 16 36 90 所以有