28.3.2圆柱和圆锥的侧面展开图

想一想 你会解决吗? P B O r l . A 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形(如图)PB=15cm，底面半径r=5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料，和余料,π取3.14，）？

温故而知新 1.你能说出扇形的弧长公式吗？ 2.你能说出扇形的面积公式吗？

一、圆锥的再认识 a h 1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆 侧面是一个曲面. 1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它的底面是一个圆 侧面是一个曲面. 2.把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点 的连线叫做圆锥的母线 3.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高 O P A B r h a 如图中a是圆锥的母线，而h就是圆锥的高 问题：圆锥的母线有几条？ 4.圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间的关系:

填空、根据下列条件求值（其中r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1）a = 2，r=1 则 h=_______ (2) h =3, r=4 则 a=_______ (3) a = 10, h = 8 则r=_______ 5 6

二、圆柱侧面展开图 1.圆柱的侧面展开图是一个矩形, 它的一边长是圆柱的母线长; 它的另一边长是圆柱的底面圆周长 2πr a a r 2.圆柱的侧面积就是一边长是圆柱的母线长,它的另一边长是圆柱的底面圆周长的矩形面积， S柱侧＝ 2πr×a＝2πra 3.圆柱的全面积就是它的侧面积与它的2个底面圆面积的和 S柱全＝ 2πra+2 πr2

三、圆锥侧面展开图 1.圆锥的侧面展开图是一个扇形 2.圆锥的底面圆周长=侧面展开后扇形的弧长。 3.圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。 O P A B r h l a h r 2πr 2.圆锥的底面圆周长=侧面展开后扇形的弧长。 3.圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。

四、圆锥的侧面积和全面积 4.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积. S锥侧＝ ×2πr×a＝πra 5.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积. O P A B r h a a h r 2πr

例1、一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．   解:圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr， 所以 S侧＝ ×2πr×a＝πra a r 又 S底＝πr2 所以 S全 ＝πra ＋πr2． 　　答：这个圆锥形零件的侧面积 为πra，全面积为πra＋πr2

例2、根据圆锥的下面条件， 求它的侧面积和全面积 （ 1 ）r=12cm, a=20cm （ 2 ）h=12cm, r=5cm a r S侧＝ ×2πr×a＝πra 解：(1) =12×20π=240π S全=s侧+s底=240 π + πr2 =240 π+144 π=384 π(cm2) (2) ∵a= =13 ∴s侧= πra=65 π ∴S全=s侧+s底=65 π + πr2 =65 π+25 π=90 π(cm2)

小试牛刀 1.一个圆柱形水池的底面半径为4米，池深1.2米.在池的内壁与底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是______平方米. 9.6π 2、已知一个圆锥与一个圆柱的底面半径都为3米，高都为4米.则S柱侧=_______米2， S锥侧=_______米2 它们两者的侧面积相差为____侧面积的比值为______. 24π 15π 8:5 9π a h=4 r=3

想一想 你现在能解决吗? 例3.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料和余料，π取3.14 ）？ a h r 解:∵ a =15cm,r =5cm, ∴S 圆锥侧 = π r a =π×15×5 ≈3.14×15×5 =235.5（cm 2 ) 235.5×10000= 2355000 （cm 2 ) 答：至少需 235.5 平方米的材料.

填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角（r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长） （1）a = 2，r = 1 则 =________ (2) h=3, r=4 则 =__________ r h a a h r 2πr

4、若圆锥的底面半径r =4cm，高线h =3cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 —— 度。 288 5.如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是___度； 圆锥底半径 r与母线a的比r ：a = ___ . 180 1:2

五、思考题 已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm，今有一蚂蚁沿圆柱侧面从A点 爬到B点觅食． 问它爬过的最短距离应是多少？ 请课下完成 D A B C D B 分析：小虫沿圆锥侧面从A点爬到C点，其轨迹是空间的一条曲线，且在一曲面上．问题如何解决呢？依题意我们画出圆锥的侧面展开图，如图3所示．不难看出，母线SB把扇形分成相等的两部分．从A点到C点的线段AC的长度就是所求的最短距离． C A 动画

请观察

例4、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？ A B C

手工制作、已知一种圆锥模型的底面半径为4cm ，高线长为3cm。你能做出这个圆锥模型吗? 学以致用 O P A B r h a

小结 本节课我们有什么收获? 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。

作 业： 1、教材: 62页第1、2、３、4题 2、已知一个矩形的边AB＝6cm,　AD=4cm.请设计不同方法进行旋转得到不同的圆柱求所得圆柱的表面积，并指出怎样旋转所得圆柱表面及最大． 2009.3.12