第三节 数量积 向量积 混合积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题
一、向量的数量积 (scalar product) 实例 启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积也称为“点积”、“内积”.
关于数量积的说明： 证 证
数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数：
设 数量积的坐标表达式
两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为
解
证
二、向量的向量积 (vector product) 实例
定义 向量积也称为“叉积”、“外积”. 关于向量积的说明： //
证 // // 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数：
设 向量积的坐标表达式
向量积还可用三阶行列式表示 由上式可推出 //
例如， 补充
解
解 三角形ABC的面积为
解
三、向量的混合积 (scalar triple product ) 定义 设 混合积的坐标表达式
关于混合积的说明： （1）向量混合积的几何意义：
例6 解
解
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.
四、小结 向量的数量积 （结果是一个数量） 向量的向量积 （结果是一个向量） 向量的混合积 （结果是一个数量） （注意共线、共面的条件）
思考题
思考题解答
练 习 题
练习题答案