不定式 (Indeterminate Forms) 1. 不定式 0/0(The Indeterminate Forms of Type 0/0) 2. 不定式 (The Indeterminate Forms of Type ) 3. 不定式 和 (The Indeterminate Forms and ) 4. 不定式 , 和 (The Indeterminate Forms , and )

1. 不定式0/0(The Indeterminate Forms of Type 0/0 ) 在實際的應用方面，我們經常會碰到一些極限難以求出的情形，例如： 等等。

以 來說， 的分子分母在 時，皆趨近於0，將 的分子和分同除以x，則得 由觀察知

分別為函數 和 在 x=0 的微分，由極限定理知

將 用 替代， 用 代，x −0用 替代。若 存在，且 , 則我們得到 weak form of L’Hopital’s Rule，即

在我們證明羅必達定理(L’Hopital’s Rule)之前我們需要以下的高奇均值定理 定理1: 高奇值定理(Cauchy’s Mean Value Theorem) f,g在(a,b)為可微分，且在[a,b]為連續。若 在(a,b)恆不為 0，則ﾖc (a,b),滿足

證明:令 由於 ,且g在[a,b]連續,故 g(b)≠g(a),即s(x)為well defined. s(a)=s(b)=0,且s(x)在(a,b)為可微分,故利用微分均值定理可知 使得

定理2(L’Hopital’Rule for forms of type 0/0) 若 或表示±∞皆可,則 其中u可表 ,−∞或∞

證明:若f(u)或g(u)≠0,甚至f(u)或g(u)無定義,我們皆令f(u)=g(u)=0,則 當x→u時,(此時u表 ),高奇均值定理將適用,義即存在c介於x和u之間,使得

由於x→u時,c亦趨近於u,故得 若u表∞,則令 , 所以 利用以上所證明u表 的情況可得

若u表-∞，令 ，得 理由同上。 例1：求 解：兩者皆為0/0的不定式，利用羅必達定理得

例2：求 解：上式為0/0的不定式，利用羅必達定理得

例3: 求 。 解: 利用定理2,分子和分母同時對x微分,並取x趨近於零的極限值。

例4: 求 。 解: 利用定理2,分子和分母同時對x微分,並取x趨近於零的極限值。

例5: 求 。 解:連續兩次利用羅必達定理得

例6：求 解：上式為0/0的不定式，連續利用羅必達 定理得

例7：求 解：上式為0/0的不定式，連續利用羅必達 定理得

例8：求 解：由於 ，故定理2適用：

例9：求 解： 利用定理2得

例10：求 解：令 由於 且F(x)， 在(0,∞)為可微分，在[0,∞]為連續，故可適用定理2。

例11：求 解：雖然 , 但由於 並不存在，故定理2並不適用，須利用別的方法求其極限值。

由於 所以

2. 不定式 (The Indeterminate Forms of Type ) 定理3 (L’Hopital’s Rule for forms of type∞/∞) 若 其中 或 表 皆可,則 u 可表 或 。

證明：設x和 為f和g在定義域中適用高奇均值定理的兩點，即f、g在x和 所形成的閉區間為連續，f、g在x和 所形成的開區間為可微分，且 在此開區間恆不為0，則存在c介於x和 之間，使得

同定理2的情況，我們先考慮u表 的情況。取x和 很靠近u,使得g(x)>0,則 (1) 若 (若u表a) (若u表 ) 滿足

取 為滿足前述 ， 條件的一個點，則 ,(1)式 兩邊各撿減α得

(三角不等式) 將 點固定不動，則x→u時,g(x)→∞,即 ,且因此 故

若 ,則 ,在x 很靠近u 時, 取x和 滿足 , , 但固定 點,向u的方向移動x點,使得

由(1)式知 (因為c介於x和 之間,所以 ) 即 在x很靠近u時可任意大,故得證

若u表∞或−∞,可令 , 則

同理,

至於 或 的情況。只要考慮 或 ,再利用定理3,即可得證

例12: 求 。 解:此為∞/∞的不定式。

例13: 求 ,其中p>0。 解: 由於 , ,故定理3適用。 若 ,則再利用定理3,直到存在 ,滿足 為止, 意即

例14: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式,利用定理3,將分子分母同時對x微分,再取x從左邊趨近於 的極限值。

例15: 求 。 解:此為∞/∞的不定式,利用定理3,將分子分母同時對x微分,再令x趨近於∞。

例16: 求 (a>0)。 解: 由於 , ,故可利用定理3

例17: 求 。 解: 由於 , 故可利用定理3

例18: 求 。 解: 由於 , 故可利用定理3

例19: 求 。 解: 由於 , 故可利用定理3

例20: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式。

例21: 求 。 解: 此為∞/∞的不定式。

3. 不定式 和 (The Indeterminate Forms and ) 例22: 求 。 解: , , 故此題為 的不定式。利用如下的方法,我們可將之 轉為∞/∞的形式,再利用定理3求解。

例23: 求 。 解: 此為 的不定式。

例24: 求 。 解: , 故此題為 的不定式。如同上題一般,將之轉化為0/0的形式,再利用定理2求解。

例25: 求 。 解: , 故此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解。

例26: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。如同上例一般,利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解。

例27: 求 。 解: , 故此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解。

例28: 求 。 解: , 故此題為 ∞−∞的不定式。

例29: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。利用通分的方式,使之成為0/0的不定式,再利用定理2求解

例30: 求 。 解: 此題為 ∞−∞的不定式。

例31: 求 。 解: 此題為 的不定式。

例32: 求 。 解: 此題為 的不定式。

4. 不定式 , 和 (The Indeterminate Forms , and ) 例33: 求 。 解: , ,此為 的不定式。

例34: 求 。 解: 令 , 兩邊同取ln,可得 將 ,擴充至函數 ,則 又 即 。

例35: 求 。 解: , ,此為 的不定式。 為 的不定式

故

例36: 求 。 解: , ,此為 的不定式。

例37: 求 。 解: , ,此為 的不定式。

例38: 求 。 解: 此為 的不定式。 我們只需求 ,並將結果帶入上 式,即可得到最後結果。

故

例39: 求 。 解:此為 的不定式。 我們只需求 ,並將結果帶入上 式,即可得到最後結果

故

例40: 求 。 解:此為 的不定式。

又 故

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