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观察函数与x轴的交点与对应方程根的关系: x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x+1 函数 y= x2－2x－3 y= x2－2x+3 x y －1 3 2 1 －2 －3 －4 x y －1 3 2 1 5 4 . 函 数 的 图 象 y x －1 2 1 . . 方程的实数根 x1=－1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数的图象 与x轴的交点 (－1,0)、(3,0) (1,0) 无交点
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？ 思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 两个不相等 的实数根x1 、x2 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x y x1 x2 函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象 x y x y x1 函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交点 函数y=ax2+bx +c的零点 x1 无零点 x1 、x2
可以推广到一般情形，为此先给出函数零点的概念． 二次函数的图象与x轴的交点与相应的一元二次方程的 根的关系，即 与x轴的交点的横坐标 的根． 即为方程 可以推广到一般情形，为此先给出函数零点的概念． 函数的零点： 一般的，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点． 如 的零点有－１，３． 的零点有１． 没有零点． 的零点有 ． 的零点有 ． １
函数零点的定义： 一般的，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点． 注：零点不是一个点，而是一个实数。 等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
例1：求证二次函数f(x)=2x2+3x－7有两个不同的零点 证： 考察二次方程2x2+3x－7=0.因为 △=32 －4＊2＊(-7)=65>0, 所以方程2x2+3x－7=0有两个不相等的实数根. 因此，二次函数y=2x2+3x－7有两个不同零点。 下面我们来总结一下二次函数图像y=ax2+bx+c(a>0) 和零点个数的关系(若a<0,依次类推)
方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根和 根的个数 二次函数零点的判断方法： 判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 x y x1 x2 x y x y x1 函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象 函数的图象 与 x 轴的交点 没有交点 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 2 1 零点个数 方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根和 根的个数 两个不相等 的实数根x1 、x2 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 2 2
例2：判断函数f(x)=x2 － 2x－1在区间(2,3)上是否存在零点. y －1 3 2 1 －2 －3 －4 4 解法一（解析法）： 根据求根公式可得方程x2 － 2x－1=0 的两个根分别为x1= ，x2= 因为 所以 . 因此，函数f(x)=x2 － 2x－1在区间(2,3)上存在零点。 观察二次函数f(x)=x2－2x－1的图象:
如图,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0, 而二次函数f(x)=x2 － 2x－1在区间[2,3]上图像是不间断的， 解法二（几何法）： 如图,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0, 而二次函数f(x)=x2 － 2x－1在区间[2,3]上图像是不间断的， 这表明此函数图像在区间(2,3)上存在零点。 x y －1 3 2 1 －2 －3 －4 4
一般的，若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的一条曲线；且f(a)·f(b)<0； a b . 注: 1.只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点. 2.当满足以上两个条件时，零点存在，但不一定唯一. 3.若满足以上两个条件，且在（a,b）上单调时，零点存在且唯一.
的零点，且a<x0<b,那么f(a).f(b)<0 一定成立吗？ y a b . 思考：如果x0是函数y=f(x) 的零点，且a<x0<b,那么f(a).f(b)<0 一定成立吗？ 注: 4.如果x0是函数y=f(x)的零点，且a<x0<b,那么f(a).f(b)<0不一定成立.
例3：求证函数f(x)=x3+x-3在区间（1，2）上存在零点. 证：因为 f(1)=13 +1-3=-1<0, f(2)=23 +2-3=7>0, 且函数f(x)的图象在区间[1,2]上是不间断的， 所以函数f(x)在区间（1,2）存在零点. 思考：函数f(x)=(lgx)+x－3的零点是否存在？如果x存在，n∈N*存在的区间（n,n+1）？
小结与思考 1、方程的根与函数零点的关系 2、函数零点存在定理
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