1 概率论与数理统计第 3 讲 本讲义可在网址 或 ftp://math.shekou.com 下载

2 习题讲解 在做题的时候用 + 来代替事件和的符号 , 而事件积的符号则不写以代替乘积是方 便的, 这个时候有规律 A +  A = S, A(B+C)=AB+AC, 等等. 并记住对于任何一个事件 A, 都成立 A+S=S, AS=A,  AA=  其中 S 为基本空间或必然事件. A 与 B 是对立事件的定义 ( 充要条件 ) 就是 A+B=S 和 AB=  都成立.

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4 习题总结 : 假设有一个非常复杂的事件运 算表达式, 我们用记号  表示, 而另一个 非常复杂的事件运算表达式, 我们用记号  表示, 如果一道题能够给出或者推导出 关系式 则必有下面两式同时成立 :

5 §1.3 古典概型与几何概型 本节讨论两类比较简单的随机试验, 随机试验的每个样本点的出现是等 可能的情形.

6 引例 一个纸桶中装有 10 个大小, 形状完 全相同的球. 将球编号为 把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球

7 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完 全平等的, 所以我们没有理由认为这 10 个球中的某一个会比另一个更容易抽得

8 也就是说, 这 10 个球中的任一个被抽取的 可能性均为 1/10. 设 i 表示取到第 i 号球, i=1,2, ,10. 则该试 验的样本空间 S={1,2, ,10}, 且每个样本 点 ( 基本事件 ){i}(i=1,2, ,10) 出现的可能 性相同. 这样一类随机试验是一类最简单的概率 模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研 究对象.

9 一, 古典概型 我们称具有下列两个特征的随机试验模 型为古典概型. (1) 随机试验只有有限个可能的结果 ; (2) 每一个结果发生的可能性大小相同. 因而古典概型又称为等可能概型. 在概率 论的产生和发展过程中, 它是最早的研究 对象, 而且在实际应用中也是最常用的一 种概率模型.

10 它在数学上可表述为 : (1)' 试验的样本空间有限, 记 S={e 1,e 2, ,e n }; (2)' 每一基本事件的概率相同, 记 A i ={e i }(i=1,2, ,n), 即 P(A 1 )=P(A 2 )=  =P(A n ) 由概率的公理化定义知

11 于是 在古典概型的假设下, 推导事件概率的计 算公式, 设事件 A 包含其样本空间 S 中的 k 个基本事件, 即

12 则事件 A 发生的概率 (3.1) 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方 法称为古典方法, 这就把求古典概率的问 题转化为对基本事件的计数问题.

13 二, 计算古典概率的方法 — 排列与组合 1. 基本计数原理 (1) 加法原理 设完成一件事有 m 种方式, 第 i 种方式有 n i 种方法, 则完成该件事的方 法总数为 n 1 +n 2 +  +n m. (2) 乘法原理 设完成一件事有 m 个步骤, 其中第 i 步有 n i 种方法, 必须通过 m 个步骤 的每一步骤才能完成该事件, 则完成该事 件的方法总数为 n 1  n 2    n m.

14 2. 排列组合方法 (1) 排列公式 ① 从 n 个不同元素中任取 k 个 (1  k  n) 的不 同排列总数为 k=n 时称为全排列 :

15 (2) 组合公式 ①从 n 个不同元素中任取 k 个 (1  k  n) 的不 同组合总数为

16 ②将 n 个不同元素分为 k 组, 各组元素数目 分别为 r 1,r 2, ,r k (r 1 +r 2 +  +r k =n), 则分法的 总数为

17 (3) 二项式公式

18 例 1 一个袋子中装有 10 个大小相同的球, 其中 3 个黑球, 7 个白球, 求 (1) 从袋子中任取一球, 这个球是黑球的 概率 ; (2) 从袋子中任取两球, 刚好一个白球一 个黑球的概率以及两个球全是黑球的概 率.

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21 例 2 将标号为 1,2,3,4 的四个球随意地排成 一行, 求下列各事件的概率 : (1) 各球自左至右或自右至左恰好排成 1,2,3,4 的顺序 ; (2) 第 1 号球排在最右边或最左边 ; (3) 第 1 号球与第 2 号球相邻 ; (4) 第 1 号球排在第 2 号球的右边 ( 不一定 相邻 ).

22 解 将 4 个球随意地排成一行有 4!=24 种排 法, 即基本事件总数为 24. 记 (1),(2),(3),(4) 的事件分别为 A,B,C,D. (1) A 中有两种排法, 故有 (2) B 中有 2  (3!)=12 种排法, 故有

23 (3) 先将第 1,2 号球排在任意相邻两个位 置, 共有 2  3 种排法, 其余两个球可在其余 两个位置任意排放, 共有 2! 种排法, 因而 C 有 2  3  2=12 种排法, 故

24 (4) 第 1 号球排在第 2 号球的右边的每一种 排法, 交换第 1 号球和第 2 号球的位置便对 应于第 1 号球排在第 2 号球的左边的一种 排法, 反之亦然. 因而第 1 号球排在第 2 号 球的右边与第 1 号球排在第 2 号球左边的 排法种数相同, 各占总排法数的 1/2, 故有

25 例 3 将 3 个球随机放入 4 个杯子中, 问杯子 中球的个数最多为 1,2,3 的概率各为多少 ? 解 设 A,B,C 分别表示杯子中的最多球数 为 1,2,3 的事件. 我们认为球是可以区分的, 于是, 放球过程的所有可能结果数为 n=4 3.

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27 (3) 由于三个球放在 4 个杯子中的各种可 能放法为事件 A  B  C 显然 A  B  C=S, 且 A,B,C 互不相容, 故

28 例 4 将 15 名新生 ( 其中有 3 名优秀生 ) 随机 地分配到三个班级中, 其中一班 4 名, 二班 5 名, 三班 6 名, 求 : (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概 率 ; (2) 3 名优秀生被分配到一个班级的概率. 解 15 名新生分别分配给一班 4 名, 二班 5 名, 三班 6 名的分法有 :

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31 因为 A 1,A 2,A 3 互不相容, 所以 3 名优秀生被 分配到同一班级的概率为 P(A)=P(A 1  A 2  A 3 )=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 ) =

32 注 : 在用排列组合公式计算古典概率时, 必须注意在计算样本空间 S 和事件 A 所包 含的基本事件数时, 基本事件数的多少与 问题是排列还是组合有关, 不要重复计数, 也不要遗漏.

33 例 5 在 1~2000 的整数中随机地取一个数, 问取到的整数即不能被 6 整除, 又不能被 8 整除的概率是多少 ? 解 设 A 为事件 " 取到的数能被 6 整除 ", B 为 事件 " 取到的数能被 8 整除 ", 则所求概率 为

34 设 A 为事件 " 取到的数能被 6 整除 ", B 为事 件 " 取到的数能被 8 整除 ", 则所求概率为

35 设 A 为事件 " 取到的数能被 6 整除 ", B 为事 件 " 取到的数能被 8 整除 ", 则所求概率为

36 设 A 为事件 " 取到的数能被 6 整除 ", B 为事 件 " 取到的数能被 8 整除 ", 则所求概率为

37 三, 几何概型 古典概型只考虑了有限等可能结果的随 机试验的概率模型. 这里我们进一步研究 样本空间为一线段, 平面区域或空间立体 等的等可能随机试验的概率模型 — 几何 概型.

38 1. 设样本空间 S 是平面上的某个区域, 它 的面积记为  (S); 2. 向区域 S 上随机投掷一点. S A

39 2. 向区域 S 上随机投掷一点, 这里的含义 是指该点落入 S 内任何部分区域 A 的可能 性只与区域 A 的面积  (A) 成比例, 而与区 域 A 的位置和形状无关. 将该点落在区域 A 的事件仍记为 A, 则 A 的概率为 P(A)=  (A), 其中 为常数 S A

40 则 A 的概率为 P(A)=  (A), 其中 为常数, 而 P(S)=  (S), 于是得 =1/  (S), 从而事件 A 的概率为 S A (3.2)

41 注 : 若样本空间 S 为一线段或一空间立体, 则向 S" 投点 " 的相应概率仍可用 (3.2) 式确 定, 但  (  ) 应理解为长度或体积. (3.2)

42 例 6 某人午觉醒来, 发觉表停了, 他打开 收音机, 想听电台报时, 设电台每正点报 时一次, 求他等待时间短于 10 分钟的概率. 解 以分钟为单位, 记上一次报时时刻为 0, 则下一次报时时刻为 60, 于是这个人打开 收音机的时间必在 (0,60), 记 " 等待时间短 于 10 分钟 " 为事件 A, 则有 S=(0,60), A=(50, 60)  S, 于是

43 例 7 ( 会面问题 ) 甲, 乙两人相约在 7 点到 8 点之间在某地会面, 先到者等候另一人 20 分钟, 过时就离开. 如果每个人可在指定 的一小时内任意时刻到达, 试计算二人能 够会面的概率. 解 记 7 点为计算时刻的 0 时, 以分钟为单 位, x,y 分别记甲乙到达指定地点的时刻, 则样本空间为 S={(x,y)|0  x  60, 0  y  60}. 以 A 表示事件 " 两人能会面 ", 则显然有 A={(x,y)|(x,y)  S, |x  y|  20}

44 S={(x,y)|0  x  60, 0  y  60}. 以 A 表示事件 " 两人能会面 ", 则显然有 A={(x,y)|(x,y)  S, |x  y|  20} y x O 会面区 A x  y=20 y  x=20

45 根据题意, 这是一个几何概型问题, 于是 x O 会面区 A x  y=20 y  x=20 y

46 作业 习题 1-3 第 19 页开始 第 1,2,10,23 题