Chap 3 微分的應用
第三章 3.1 區間上的極值 3.2 Rolle 定理和均值定理 3.3 函數的遞增遞減以及一階導數的判定 3.4 凹面性和二階導數判定 3.5 無限遠處的極限 3.6 曲線繪圖概要 3.7 最佳化的問題 3.8 牛頓法 3.9 微分
Section 3.1 區間上的極值 學習目標 : 了解函數在區間上極值的定義 了解函數在開區間上相對極值的定義 求閉區間上的極值
極值的定義 :
Th3.1 極值定理
相對極值的定義 :
例題 1 相對極值的導數
臨界值的定義 :
Th3.2 相對極值只發生在臨界值 證明 :
如何找出閉區間 (a, b) 的極值 ?
例題 2 求閉區間上的極值 Solution:
Section 3.2 Rolle 定理和均值定理 學習目標 : 了解以及應用 Rolle 定理 了解以及應用均值定理
Th3.3 Rolle 定理 證明 :
例題 1 舉例說明 Rolle 定理 Solution:
Th3.4 均值定理 證明 :
例題 4 求瞬間變率 Solution:
Section 3.3 函數的遞增遞減以及一階導數的判定 學習目標 : 決定一個函數遞增或遞減的區間 利用一接導數檢定求函數的相對極值
遞增和遞減的定義
Th3.5 函數遞增遞減的判定 證明 :
例題 1 f 遞增或遞減的區間 Solution:
如何找出遞增或遞減的區間 ?
Th3.6 一階導數檢測相對極值
例題 3 利用一階導數檢定 Solution:
Section 3.4 凹面性和二階導數判定 學習目標 : 決定函數凹口上下的區間 找出函數的反曲點 應用二階導數檢測求函數的相對極值
凹面性的定義 :
Th3.7 凹面性的檢測
例題 2 決定凹面性 Solution:
反曲點
Th3.8 反曲點
Th3.9 二階導數檢測 證明 :
例題 4 應用二階導數檢測 Solution:
Section 3.5 無限遠處的極限 學習目標 : 決定在無限遠處是極限或有限 決定函數圖形的水平漸近線 決定在無限遠處的無限大的極限
無限遠處極限的定義 :
Th3.10 在無限遠處的極限
例題 2 在無限遠處計算極限 Solution:
如何找出有理函數在無限遠處的 極限 ?
例題 4 兩條水平漸近線的函數 Solution:
例題 5 三角函數的極限 Solution:
無限遠處是無限的定義 :
例題 8 求在無限遠處的無窮極限 Solution:
Section 3.6 曲線繪圖概要 學習目標 : 分析函數與繪圖
概念與技巧 :
如何分析函數的圖形 ?
例題 1 繪出一個有理函數的圖形 Solution:
斜漸近線
例題 4 繪出一個根函數圖形 Solution:
Section 3.7 最佳化問題 學習目標 : 解極大極小的問題
例題 1 求最大體積 Solution:
習題 49 最小時間 Solution:
習題 49 最小時間 Solution:
Section 3.8 牛頓法 學習目標 : 利用牛頓法解出函數實根的近似值
Section 3.9 微分 學習目標 : 了解切線近似的概念 比較 dy 和△ y 利用微分估計誤差 用微分公式寫出函數的微分
線性近似
微分的定義 :
例題 2 比較 Solution:
傳遞誤差
例題 3 估計誤差 Solution:
例題 4 求微分
積分的公式 :
例題 7 求函數的近似值 Solution: