1 概率论与数理统计第 9 讲 本幻灯片可在如下网站下载： www. 应用数学.cn

2 三. 独立性

3 多元随机变量的分布的分析是很复杂的，因 此经常希望能够简化。常用的办法就是争取 让这多元随机变量的每一个都来自于相互独 立的试验。因此需要精心设计试验来做到这 一点。

4 定义 3.3 假设多元随机变量 X 1,X 2,…,X n 来自于 n 个相互独立的试验，导致对于任给的 n 个可测 的实数集合 S 1,S 2,…,S n ， 事件 {X 1  S 1 },{X 2  S 2 },…,{X n  S n } 相互独立，则称 X 1,X 2,…,X n 相互独立。

5 由此定义不难推出，当 X 1,X 2,…,X n 相互独立时， 它们的联合分布函数等于每个随机变量的边 缘分布函数的乘积，它们的联合概率密度函 数等于每一个随机变量的边缘概率密度函数 的乘积，即有 下面进一步分析两个随机变量 X,Y 的相互独立 性的一些结果。

6 当随机变量 X,Y 相互独立时，当然有 f(x,y)=f X (x)f Y (y)(3.23) 因此如果给定了 f(x,y) 要判定 X,Y 的独立性，可 以用上式判定，即先计算出边缘概率密度再 看上式是否成立。但是计算边缘概率密度需 要积分，有的时候很麻烦。注意到上式中二 元函数 f(x,y) 表示为两个一元函数的乘积，因 此可以用这种办法来判定随机变量的独立性。

7 定义 3.4 任何二元函数 f(x,y) 如果能够表示为关 于 x 和关于 y 的两个一元函数 g(x),h(y) 的乘积， f(x,y)=g(x)h(y), 就称 f(x,y) 为可分离变量的。 定理 3.1 随机变量 X,Y 相互独立的充分必要条 件是它们的联合概率密度 f(x,y) 为可分离变量 的，即存在函数 g(x),h(y) 使得 f(x,y)=g(x)h(y) 。

8 f(x,y)=f X (x)f Y (y)(3.23) 证充分性由式 (3.23) 可知，只需要证必要性。 假设 f(x,y)=g(x)h(y) ，计算它的边缘概率密度 如下： 因此

9 但是有的时候证明 X,Y 不独立倒是困难的事情， 例如怎样证明一个普通的二元函数例如 x+y 是 不可分离变量的呢？下面给出一个二元函数 的正四点行列式的概念。

10 定义 3.5 任给四个实数 x 1,x 2,y 1,y 2 ，称四对坐标 值 (x 1,y 1 ), (x 1,y 2 ), (x 2,y 1 ), (x 2, y 2 ) 为 xOy 平面上的 一组正四点，二元函数 f(x,y) 在这四个点上的 函数值构成一个二元行列式 称为 f(x,y) 的一个正四点行列式。

11 定理 3.2 随机变量 X,Y 相互独立的充分必要条 件是它们的概率密度函数 f(x,y) 的任何正四点 行列式都是 0 。

12 f(x,y)=f X (x)f Y (y)(3.23) 证 充分性。假设 X,Y 相互独立，所以 (3.23) 式 成立，因此任何正四点行列式的值为

13 f(x,y)=f X (x)f Y (y)(3.23) 必要性。假设 f(x,y) 的任何正四点行列式都是 0 ， 再选取一点 x 0,y 0 使 f(x 0,y 0 )>0, 则对于 x 0,y 0,x,y 这 四个数有 整理得

14 则上式右端的两个方括号分别是 x 和 y 的一元 函数，证毕。

15 因此可以严格证明函数 x+y 是不可分离变量的， 这是因为，只要 x 1  x 2 且 y 1  y 2 就有

16 因此知道例 3.1 中的随机变量 X,Y 不相互独立。 例 3.1 假设连续型随机变量 (X,Y) 的概率密度函 数为

17 有一些概率密度函数具有这样的性质，就是 其中有一个局部的区域，有一条连续曲线将 密度为非 0 值的区域和密度为 0 值的区域分开， 称这样的曲线为 0 与非 0 的分界线。

18 定理 3.3 随机变量 (X,Y) 的概率密度函数 f(x,y) 如果在某一局部区域的 0 与非 0 的分界线既不 和 x 轴平行也不和 y 轴平行，则 X,Y 不相互独立。

19 证 将此局部区域放大，则必导致一小块区域 中分界线近似为直线，且此直线不与 x 轴和 y 轴平行。如图 3 ‑ 3 所示，概率密度函数假设在 阴影区不为 0 ，则很轻易地能够找到一个如图 中所示的矩形，其中有三个点在非 0 区一个点 在 0 区，其对应的正四点行列式只有一个数为 0 其他 3 个数不为 0 ，则行列式的值必不为 0 ， 所以 X,Y 不相互独立。 图 3-3

20 例 3.3 随机变量 X,Y 的概率密度 f(x,y) 在满足 x 2 +y 2 <1 的范围内不为 0 ，其他区域全为 0 ，试 判定 X,Y 的独立性。 解 因为存在 0 与非 0 区域的边界是圆这样的曲 线，它既不和 x 轴平行也不和 y 轴平行，根据 定理 3.3 ， X,Y 不相互独立。

21 注意在将定理 3.2 用到离散型随机变量的概率 密度时，如果正四点行列式的四个坐标上有 冲击，则只是将冲击值放入行列式的相应位 置再进行判定。

22 假设离散型随机变量 (X,Y) 的概率函数为 p ij =P{X=x i, Y=y j }, (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n), 将 p ij 写成线性代数课程中要求的 n 行 m 列的矩阵： 称它为分布率矩阵。则当 X 与 Y 相互独立时， 有 p ij =p i  p  j (3.26)

23 p ij =p i  p  j (3.26) 由线性代数矩阵相乘的知识不难证明这时分 布率矩阵是由边缘分布率的两个向量相乘得 到，这就导致了如下定理。

24 定理 3.4 离散型随机变量 X,Y 相互独立的充分 必要条件是它们的分布率矩阵的秩为 1 。或者 等价地，它们的分布率矩阵的各行之间或者 各列之间成比例。

25 例 3.4 设离散型随机变量 X,Y 的分布率如表 3 ‑ 5 所示，试判定它们的独立性。 解 从表中看出，各行的概率值成比例，第 2 行的概率和第 1 行的相等，第 3 行是第一行的 2 倍，所以 X,Y 相互独立。 X Y

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随机变量函数的分布

29 一. 二元随机变量的函数

30 现在讨论随机变量 Z 是二元随机变量 (X,Y) 的 函数 Z=g(X,Y) 的情况，其中 z=g(x,y) 是一个二 元的连续函数，且没有区域取常数值，即我 们假设 X,Y,Z 都将是连续型随机变量。

31 对于二元函数 z=g(x,y) ，可以固定住 y 为一个 常数，下面记 y=y c 来表示它被固定为一个常 数，是为的帮助读者思考，整个推导过程也 完全可以不写 y c 而直接写 y 也行。因此固定住 y=y c ， z=g(x,y c ) 就是一个一元函数，这个一元 函数如果是单调函数，存在着反函数 x=h(z,y c ) ， 这被称之为局部反函数，且假设这局部反函 数针对 z 的偏导函数存在，记为 h z (z,y c ) 。

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34 现在固定住 Y=y c 条件下对 X 作试验，这时 X 是 一个条件随机变量，它的概率密度就是条件 概率密度 f X|Y (x|y c ), 这时 Z=g(X,y c ) 成为 X 的一元 单调函数，也是条件随机变量，其条件概率 密度为 f Z|Y (z|y c ) ，因此根据上一章的有关随机 变量的单调函数的概率密度的公式可得 f Z|Y (z|y c )=|h z (z,y c )|f X|Y [h(z,y c )|y c ] (3.27) 在这里为简便起见我们假设 X,Y,Z 都是在整个 实数轴上取值，而对于在某些区间取值的情 况由读者自己遇到这种情况时再做相应确定。

35 f(x,y c )=f Y (y c )f X|Y (x|y c ) （ f Y (y c )>0)(3.11) f Z|Y (z|y c )=|h z (z,y c )|f X|Y [h(z,y c )|y c ] (3.27) 下面沿用前面的记号仍然令 (X,Y) 的联合概率 密度为 f(x,y) ，即 f 不带任何下标就表示 (X,Y) 的 联合概率密度，但是 (Z,Y) 的联合概率密度记 为 f Z,Y (z,y) ，且根据乘法公式 (3.11) 有 f Z,Y (z,y)=f Y (y)f Z|Y (z|y)= =f Y (y)|h z (z,y)|f X|Y [h(z,y)|y] (3.28) 但是根据乘法公式又有 f Y (y)f X|Y [h(z,y)|y]=f[h(z,y),y] 将它代入到式 (3.28) 得

36 f Z,Y (z,y)=f Y (y)f Z|Y (z|y)= =f Y (y)|h z (z,y)|f X|Y [h(z,y)|y] (3.28) 但是根据乘法公式又有 f Y (y)f X|Y [h(z,y)|y]=f[h(z,y),y] 将它代入到式 (3.28) 得 f Z,Y (z,y)=|h z (z,y)|f[h(z,y),y](3.29) 这样我们就得到了 (Z,Y) 的联合概率密度。则 再按下式我们就可以得到 Z 的概率密度，也就 是 (Z,Y) 的关于 Z 的边缘概率密度为

37 f Z,Y (z,y)=|h z (z,y)|f[h(z,y),y](3.29) 整个计算的要点就是首先求出 g(x,y) 在固定住 y 条件 下的局部反函数 h(z,y) 及它对 z 的偏导数 h z (z,y) 然后 代入到式 (3.30) 求出 Z 的概率密度函数。 当然，如果固定住 y=y c 后 g(x,y c ) 并不是单调函数的 情况，可以采用上一章讲到的条件切割的办法来进 行分析。对于 X,Y,Z 不是在整个实数轴取值的情况 对上面的推导也可以做相应的修改。

38 f Z,Y (z,y)=|h z (z,y)|f[h(z,y),y](3.29) 上面的分析是固定住第 2 个变量 y=y c 进行的， 当然也可以先固定住 x=x c 为常数进行分析， 也能够得到对应的结论。

39 例 3.5 设 (X,Y) 为二元连续型随机变量，其概率 密度为 f(x,y) ， Z ＝ X+Y ，求 Z 的概率密度函数 f Z (z) 。 解 Z=g(X,Y)=X+Y, 这里 z=g(x,y)=x+y ，在固定 住 y 情况下的局部反函数为 x=h(z,y)=z−y ， h z (z,y)=1 ，代入到式 (3.30) 得：

40 而两个随机变量的和的运算是在实际应用中 最经常遇到的情况，尤其是当 X,Y 相互独立时， f(x,y)=f X (x)f Y (y), 代入到式 (3.31) 得 Z ＝ X+Y 的概 率密度为：

41 由两个函数 f X 和 f Y 根据式 (3.32) 算出一个新的 函数 f Z (z) 的运算在数学上称之为卷积，真正 具体计算是相当复杂的，为了简化卷积的运 算甚至专门发展了一个数学分支叫积分变换。

42 例 3.6 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 和 Y 的概 率密度函数为 f X (x)=e  x in(x;0,+  ), f Y (y)=  (y  a), 即 Y 服从在实数 a 处的单点分布，试求 Z=X+Y 的分布。 解 将题中的 f X (x) 和 f Y (y) 代入到式 (3.32) 得：

43 当然，一个单点分布的随机变量其实就是一 个常数，所以这个例子简直就是废话，因为 一个随机变量加上一个常数的分布当然就是 原分布平移了一下。这里也不过就是验证了 式 (3.32) 的正确性。

44 二. 线性函数

45 设随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y) ，而 随机变量 Z=aX+b 是关于 X 的线性函数，其中 a  0, 看上去是有关 X 的一元随机变量的函数， 但是也可以认为它是 (X,Y) 的二元函数，只不 过 Z 不随 Y 的变化而变化罢了。而且，经常是 希望知道二元随机变量 (Z,Y) 的联合分布，即 它们的联合概率密度函数 f Z,Y (z,y) 与原随机变 量 (X,Y) 的概率密度函数 f(x,y) 的关系。

46 f Z,Y (z,y)=|h z (z,y)|f[h(z,y),y](3.29) 利用上一小节的结果， z=g(x,y)=ax+b, 给定 y=y c 条件下它的反函数 x=h(z,y c )=(z  b)/a, 此反 函数关于 z 的偏导为 h z (z,y c )=1/a, 代入到式 (3.29) 中得 这就是对 X 的线性函数导致的概率密度的变 化。

47 同理，可以知道如果有 W=cY+d 是 Y 的线性函 数， c  0, 则按同样的办法可以推导出 (X,W) 的 概率密度 f X,W (x,w) 为 综上所述，可得如下定理。

48 定理 3.5 设随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y) ，而随机变量 Z 和 W 分别是 X 和 Y 的线性 函数, Z=aX+b, W=cY+d (a  0, c  0) ，则 (Z,W) 的 联合概率密度 f Z,W (z,w) 为

49 例 3.7 设随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 且已知 求 (Z,W) 的联合概率密度函数。

50 解 由题意可知 X=2Z+1,Y=W  2, 代入式 (3.35) 得

51 三. 线性组合和线性变换

52 现在假设随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y), Z=g(X,Y)=aX+bY, a  0, 这时称 Z 为 X,Y 的 一个线性组合，则 z=g(x,y)=ax+by, 固定 y 后关 于 x 的局部反函数为 x=h(x,y)=(z  by)/a, 其对 z 的 偏导为 h z (x,y)=1/a, 代入到式 (3.29) ，得 (Z,Y) 的 概率密度函数为

53 再假设随机变量 W=cX+dY, 将 X=(Z  bY)/a 代入， 得 假设 ad  bc  0, 则 W 关于 Y 的局部反函数 u(z,w) 及关于 w 的偏导为

54 则根据式 (3.28) 可得 再将式 (3.36) 代入到上式得

55 当随机变量 (X,Y) 与随机变量 (Z,W) 有如下关系： 时，称 (Z,W) 是 (X,Y) 的一个线性变换，而此线 性变换如果满足 ad  bc  0, 则 (X,Y) 也可以表示 为 (Z,W) 的线性变换，称这样的线性变换为可 逆的线性变换。

56 在式 (3.40) 的推导开始时假设了 a  0, 而如果 a=0, 且仍然有 ad-bc  0, 则必有 c  0, 因此从 W=cX+dY 开始讨论最后仍然能够推导出式 (3.40) 。因此我们已经证明了如下定理。

57 定理 3.6 假设随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为 f(x,y), 随机变量 (Z,W) 是 (X,Y) 的一个线性变换， 其中 ad-bc  0, 则 (Z,W) 的概率密度函数 f Z,W (z,w) 满足下式：

58 观察式 (3.42), 式中有关 X,Y 的概率密度 f(x,y) 中，将 x 和 y 分别取代为 x,y 未知 z,w 已知的线性方程组 在系数行列式 时的唯一解 并在函 数前面乘上系数行列式的倒数，就得到了 Z,W 的概 率密度函数 如果能够使用线性代数的记号，可以进一步得到如 下的定理。

59 定理 3.7 假设随机向量 X=(X 1,X 2,…,X n ) T, Y=(Y 1,Y 2,…,Y n ) T, 有线性关系 Y=AX, 其中 A 为 方阵，且有 det(A)  0, X 的概率密度为 f X (x), 其 中自变量 x=(x 1,x 2,…,x n ) T 是 n 维实数向量，则 Y 的概率密度为 其中 y=(y 1,y 2,…,y n ) T 是 n 维实数向量。

60 例 3.8 已知 (X,Y) 的概率密度函数为 令 Z=X, W=Y  X, 求 (Z,W) 的概率密度函数。 解 由题意知 X=Z, Y=X+W=Z+W, 代入到式 (3.42) 得

61 作业： 第 91 页开始 第 6,7,8,10,11,12 题