1 第五章 相关关系

2 学习内容 识记相关、散点图、相关系数的含义； 理解各种相关系数的意义和适用条件， 熟练掌握常用相关系数的计算方法； 恰当选用相关系数进行相关分析。

3 与前面所学内容的关系 集中量数和差异量数主要用于描述单 变量数据资料的分布特征。 相关关系描述双变量数据相互之间的 关系（两列或多列的两两之间）。

4 本章内容 第一节 相关、相关关系与散点图 第二节 积差相关 第三节 等级相关 第四节 质与量相关 第五节 品质相关 第六节 相关系数的选用与解释

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6 一、相关 事物之间的相互关系：因果关系 一种现象是另一种现象的原因，而另一种现象 是结果。 共变关系 表面看起来有联系的两种事物都与第三种现象 有关。 相关关系 即两类现象在发展变化的方向与大小方面存在 一定的联系。

7 相关的类别 正相关两列变量变动方向相同，如身高和体重。负相关 两列变量变动方向相反，如练习时间和错误次 数。 零相关 两列变量无关系，一列变量变动时，另一列变 量做无规则运动，如相貌与成就。

8 二、相关系数 含义： 相关系数是两列变量间相关程度的数字表现形 式，是用来表示相关关系强度的指标。作为样 本统计量，常用 r 表示；作为总体参数，一般用 ρ 表示，并且是指线性相关而言。 性质： 取值介于 至 之间，常用小数形式表示； 符号表示相关的性质，绝对值大小表示强弱； 注意：相关密切程度不能只看相关系数的大小，而 应注意样本量，经过统计检验才能确定。

9 三、散点图 含义： 通过点的散布形状和疏密程度显示变量 间相关趋势和程度的统计图。 画法： P.121 通过散点图推断相关关系的方法。利用原始数据作图；利用标准分数作图。

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11 一、积差相关的概念与适用资料 概念： 积差相关，又称积矩相关，是英国统计学家皮 尔逊于 20 世纪初提出的一种计算相关的方法， 因而也称皮尔逊相关，是求直线相关的基本方 法。 适用条件： 1 、成对的数据，数据部少于 30 对； 2 、两列变量都是连续变量； 3 、两列变量总体都为正态分布； 4 、两列变量之间的关系是直线性的。

12 二、积差相关计算公式 基本公式：应用标准分数计算：用原始数据计算：

13 例题（用原始分数计算）（ p.127 ）

14 三、计算积差相关系数的差法公式 适用条件： 当要同时计算两列以上的变量相互间的 相关系数时，应用加差法和减差法公式 计算相关系数比较方便。 减差法公式：加差法公式：

15 四、相关系数的合并 应用范围： 对同一总体几个样本的相关系数进行合成，或 求平均相关系数。 转换原因： 相关系数不是等距尺度，因此不能简单求平均 数，应先转化后求平均。 方法： 1 、 Z-r 转换 2 、求 Z 的平均数，公式为： 3 、 r-Z 转换

16 例题：今有三个样本相关系数，欲求平均的 相关系数。具体见下表： 查 r — Z r 转换表

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18 一、斯皮尔曼等级相关 概念： 斯皮尔曼等级相关是等级相关的一种， 常用符号 r R 表示。 适用条件： 两列变量属于等级变量，对总体分布形 态无要求，样本量也可以小于 30 。 精确度比积差相关系数差，所以凡符合 计算积差相关系数的数据应计算积差相 关系数。

19 计算公式 1 、等级差数法： 2 、等级序数法： 3 、有相同等级时的计算方法：

20 例题： 10 名学生的数学和语文考试成绩（见 下表），问数学与语文成绩是否相关？

21 二、肯德尔等级相关 肯德尔 W 系数（和谐系数） 适用资料： 多列等级变量求相关。这种资料的获 得一般采用等级评定的方法，即让 K 个评价者对 N 件事物进行等级评定 。 肯德尔 U 系数（一致性系数） 适用资料： 对 K 个评价者的一致性进行统计分析。 这种资料的获得一般为评价者采用对偶比较的方法 对事物进行评定，即将 N 件事物两两配对，可配成 N （ N+1 ） /2 对，然后对每一对中两事物进行择优 选择。

22 肯德尔 W 系数 计算公式：取值范围： 如果 K 个评价者意见完全一致，则 W=1 ； 若 K 个评价者意见存在一定的关系，但又不完 全一致，则 0<W<1 ； 如果 K 个评价者的意见完全不一致，则 W=0 。

23 例题：有 10 人对红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜 色的评价，将其喜好程度直接排等级顺序，结果如下 表，问这 10 人的颜色爱好是否具有一致性？

24 有相同等级时计算 W 系数

25 肯德尔 U 系数 计算公式： N 为被评价事物的数目即等级数； K 为评价者的数目； 为对偶比较记录中 i>j （或 i j （或 i<j ）的格中的 择优分数； 将每一对事物择优比较的结果按优者记 1 ， 非优记 0 ，难以判定记 0.5 的记分方法，将 分数填到相应的格子中，这便是

26 肯德尔 U 系数 例题（ p.147 ） 取值范围： 完全一致 U=1 ； 完全不一致 或 （ K 为奇数） （ K 为偶数） （ K 为奇数） （ K 为偶数） 可见一致性系数 U 的取值 “ + ”“—” 不是表示相一 致的方向，这点与一般的相关系数不同。

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28 质与量相关适用资料 两列变量求相关：一列是等比或等距的测量数据；另一列是按性质划分的类别。质与量相关包括：点二列相关二列相关多系列相关

29 关于二分变量 概念： 按事物某一性质划分的只有两类结果的 变量，称为二分变量。 分类：真正的二分变量：如男女。 人为的二分变量：本来是连续型的测量 数据，但是人为划分为两个类别，如及 格与不及格。

30 一、点二列相关 适用资料： 两列观测值一个为连续变量（点数据）， 另一个是二分称名变量（真正的二分型 数据）。 公式： 例题： p.149

31 二、二列相关 适用资料： 两列变量均属正态分布。但其中一列变 量为等距或等比的测量数据，另一列变 量虽然也呈正态分布，但它被人为地划 分为两类（人为的二分变量）。 公式： 例题： p.152

32 三、多列相关 适用资料： 两列正态变量，其中一列为等距或等比 的测量数据称为连续变量，另一列正态 变量被人为地分成多种类别，例如学习 成绩可为正态变量，被人为地划分为优、 良、中、差四类。 公式： 例题： p.155

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34 品质相关适用资料 两列变量都只划分为不同的品质类别；数据一般都是计数数据； 数据通常被列为 R*C 表的格式。

35 一、四分相关 适用资料： 两列变量都是连续变量，但每个变量都 被人为地划分为两种类型； 通常，计算四分相关的数据会整理成四 格表。 公式： 例题： p.157

36 四格表的形式（固定） A 因素 A 因素 A 非 A A 非 A B 因素 B a+b 非 B c+d 非 B c+d a+c b+d a+c b+d ab cd

37 二、 Φ 系数（ phi 系数） 适用资料：两列变量都是真正的二分变量；数据也要整理成四格表。公式：取值范围： 当 Φ<0.3 时，表示相关较弱； 当 Φ>0.6 时，表示相关较强。 例题： p.158

38 三、列联表相关 适用资料： 当数据属于 R*C 表的计数资料，欲分析 两变量之间的相关程度，就要应用列联 相关。 公式： 或

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40 一、如何选择合适的相关系数 选择计算相关系数方法要考虑的因素： 1 、要处理的数据的性质类别； 2 、某一相关系数需要满足的假设条件。 各种相关系数适用条件见表（ p.162 ）

41 二、相关系数值的解释 相关系数不是等距的测量值（无倍数关系， 不能简单求平均）。 相关系数大小与样本量有关，只有通过统 计检验才能说明含义。 两个变量之间的相关系数大小有时会受到 其他变量的影响。 相关不等于因果。

42 三、相关系数的用途 作为相关分析的指标。 高级心理统计方法中反映变量之间关 系的指标。 作为心理测量中作为信效度和区分度 的指标。