第三章 量子力学初步 内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 第三章 量子力学初步 内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、测不准原理 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述 1900年，普朗克，黑体辐射，辐射能量量子化 1905年，爱因斯坦，光电效应，光量子 1913年，玻尔，氢原子光谱，量子态

§3.1 微观粒子的波粒二象性 一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 §3.1 微观粒子的波粒二象性 一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子 ------光的波粒二象性

二、德布罗意关系式 微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为： ----德布罗意关系式。 与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德布罗意波长。 德布罗意关系式还可以写成 式中， ：角频率； ：传播方向上的单位矢量

：波矢量 粒子的德布罗意波长： 1．当 时， 2．当 时， 经过电场加速的电子： 适用条件：(1)电子，(2)非相对论(U不能太大)。

三、德布罗意假设的实验验证 1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。 1．实验装置

2．实验结果 (1)当U不变时，I与的关系如图 不同的，I不同；在有的上将出现极值。 (2)当不变时，I与U的关系如图 当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化

3．实验解释 晶体结构：

波程差： 当 时加强----布拉格公式。

可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。 对于通过电压U加速的电子： 当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大 值。 实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意 公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、 中子、质子等都具有波动性。

观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993

§3.2 测不准原理

一、电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出) 电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过 狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置： x方向上，粒子坐标的不确定度为 粒子动量的不确定度为 又

狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。 如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量 就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。

二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：

三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子 2． 例1:设电子与 的子弹均沿x方向运动， ， 精确度为 ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。 电子： 子弹： 2．

§3.3 波函数及其物理意义 一、波函数 自由粒子  平面波 设一平面波沿速度 的方向传播，该方向的单位矢量 §3.3 波函数及其物理意义 一、波函数 自由粒子  平面波 设一平面波沿速度 的方向传播，该方向的单位矢量 为 ，即 ， 时刻，波面AB上O点的振动： 时间后，波面传到A`B`，其上任一点P的振动和时间前AB上任一点O的振动相同：

―沿 方向传播的、波长为、频率为的平 面简谐波方程。 欧拉公式： 取“＋” ―沿 方向传播的、波长为、频率为的平 面简谐波方程。

用波方程来描写实物粒子，根据德布罗意关系： ――自由粒子的波函数，描写动量为 、能量为E 的自由粒子。 经典力学  位置和速度 量子力学  波函数 波函数体现了波粒二象性，其中的E 和 是描写粒子性 的物理量，却处在一个描写波的函数中。

二、波函数的统计解释 干涉图像的出现体现了微观粒子的共同特性，而且它并不是由微观粒子相互作用产生的而是个别微观粒子属性的集体贡献 用粒子的观点，极大值处意味着到达的电子多，极小值处意味着到达的电子少。 从波的观点来看，极大值处表示波的强度大，极小值处表示波的强度小。 玻恩的观点就能将粒子和波的概念统一起来。波函数代表发现粒子的几率 电子衍射的强度分布图

即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现 电子的几率密度。如果 大，则电子出现几率大， 2 ) , ( t z y x 表示t时刻、（x、y、z）处、单位体积 内发现粒子的几率。 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现 电子的几率密度。如果 大，则电子出现几率大， 因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之， 如果 小，则电子出现几率小，电子出现的数目也少，此处为衍射极小值处。

讨 论 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒子的几率密度。 t时刻、x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz、的体元 内发现粒子的几率： 讨 论 1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一 2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率 3.单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验

三、波函数的标准条件及归一化 1．波函数必须单值、有限、连续 单值：在任何一点，几率只能有一个值。 有限：几率不能无限大。 连续：几率一般不发生突变。 2．归一化条件 由于粒子总在空间某处出现，故在整个空 间出现的 总几率应当为1：

STM 观测到的量子围栏（quantum corral） M.F.Crommie--1993

§5.4 薛定谔波动方程 一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程 对t求一次偏导： 对x、y、z分别求二次偏导：

三者相加： 拉普拉斯算符： 自由粒子: ――自由粒子的薛定谔方程。

2．一般粒子的薛定谔方程 一般粒子常受到力场的约束，用 表示力场，则 粒子在力场中受到的力为： ，假设处于这种 一般粒子常受到力场的约束，用 表示力场，则 粒子在力场中受到的力为： ，假设处于这种 力场中的微观粒子的波函数为 ，假设 仍满 足方程： 但此时 则有： ――处在以势能表征的力 场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程

二、定态薛定谔方程 能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的 力场不随时间改变，即势能 中不显含时间t，将其代 入方程： 波函数分离变量： E为一常数

解出： ――定态波函数 1．定态中E不随时间变化，粒子有确定的能量 2．定态中粒子的几率密度不随时间变化 3． 定态薛定谔方程

4．态迭加原理 如果 、是方程的解，那么它们的的线性组 合 也是方程的解， 为任 意常数。 即如果 、是体系可能的状态，那么它 们的的线性组合 也是体系一个可能的状态

三、薛定谔方程的讨论 1．薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势 场 中随时间变化 的规律。 2．薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基 本的假设中推导出来。它的正确性只有通过与实验结果 相一致来得到证明。 3．具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给 出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒

子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 。 4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数 形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、 在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态 随时间变化的规律，是一种统计规律。 5．在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所

以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 的粒子，这是方程的局限性。

例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 解：由于粒子做一维运动，所以有 由于势能 中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。 因此一维定态薛定谔方程为 方程的解为定态解

1．方程的通解 (1) 粒子不可能跑到阱外去， 所以波函数为零，即 ， 方程为 (2) 时， 令 二阶齐次微分方程，它的通解为 式中A、B为两常数。

2．常数的确定及能量量子化 根据波函数的标准条件，波函数应连续，  ，( ？) 当 时， 表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。

波函数的归一化：  能量是量子化的 3．讨论 (1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。

(2)波函数的物理意义 处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。 (3)实际意义： 金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。

例2 势垒贯穿 粒子受到的势能为： 粒子具有的能量为E， 计算粒子在三个区出现的几率。 解：设粒子在I、II、III区的波函数分别为 ，它们满足的薛定谔方程为： 令

方程的解为： 根据波函数的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图：

可见，虽然， 粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为

扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscopy—STM) STM原理 . 0.1nm, 0.01nm 1986年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。

§5.5 氢原子的量子力学处理 一、氢原子的薛定谔方程 电子在原子核的库仑场中运动： 定态薛定谔方程： §5.5 氢原子的量子力学处理 一、氢原子的薛定谔方程 电子在原子核的库仑场中运动： 定态薛定谔方程： 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系： 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程：

二、分离变量 1． 代入方程，并用 乘以两边： 是一个与 无关的常数。 径向方程： 角方程：

2． 代入方程，并 用乘以两边： 是一个与 无关的常数。 三、 三方程的解 1． 方程的解 方程的解为： 波函数单值： 波函数归一化：

2． 方程的解 关联勒让德方程。求解过程中发现，为了得到符合波函数标准条件的解，必须对 和 加以限制： 方程的解为关联勒让德多项式：

关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式 3． 方程的解 关联拉盖尔方程，方程的解为关联拉盖尔多项式 只要给出了 、 的一对具体的数值，就可以得到一个満足标准条件的解。 玻尔半径

四、H原子的波函数 对应一组量子数 ，就能给出 波函数的一个具体形式，因此 确定了原子的状态。

§5.6 量子力学对氢原子运动状态的描绘 一、量子数 的物理意义 1．主量子数 与能量量子化 当 时， 能量是量子化的，自然得出。 §5.6 量子力学对氢原子运动状态的描绘 一、量子数 的物理意义 1．主量子数 与能量量子化 当 时， 能量是量子化的，自然得出。 当 时， 取任何值都能使R满足标准条件的 解。所以正值的能量是连续的，相当于自由电子 与H+离子结合为原子时释放的能量。

2．角量子数 和角动量角子化 角动量是量子化的，自然得出。 旧量子论： 当角动量很大时， ， 二者一致， 所以玻尔理论给出了近似的结果。

由于薛定谔方程是非相对论的，没有导出自旋量子数 和自旋磁量子数 。

二、电子的几率分布 ：代表几率随角度的分布； ：代表几率随矢径的分布； 因此，在 附近、 内找到电子的几率为： 在球坐标中 ，

归一化：

1．几率随φ角的分布 --- 几率密度的分布绕Z轴旋转对称 2．角向分布几率 ， 之间的圆锥体的立体角 由 的值决定，对给定的 ，它有确定的值。 对不同的 、 ， 不同。

3．电子的径向分布概率 在附近 、 内找到电子的几率为： ------在离核 处的球形壳层内发现电子的几率 对于不同的 ， 不同，如图所示。

在 处有极大值。 在 处有极大值。

三、电子云 用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度 的相 对大小，概率大的地方黑点浓密，概率小的地方黑点稀 疏，称它们为“电子云” 用小黑点的密或稀形象地表示空间各处概率密度 的相 对大小，概率大的地方黑点浓密，概率小的地方黑点稀 疏，称它们为“电子云” 电子在原子核外很小的空间内作高速运动，其运动规律 跟一般物体不同，它们没有确定的轨道。因此，我们不 能同时准确地测定电子在某一时刻所处的位置和运动的 速度，也不能描画出它的运动轨迹。因此，人们常用一 种能够表示电子在一定时间内在核外空间各处出现机会 的模型来描述电子在核外的运动。在这个模型里，某个 点附近的密度表示电子在该处出现机会的大小。密度大 的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现的机会多 ；密度小的地方，表明电子在核外空间单位体积内出现 的机会少。由于这个模型很像在原子核外有一层疏密不 等的“云”，所以，人们形象地把它叫做“电子云”。

在通常状况下氢原子电子云示意图

1.量子力学的两个重要概念：量子化概念及波粒两象性概念 小 结 1.量子力学的两个重要概念：量子化概念及波粒两象性概念 2.量子力学的一个重要关系式：不确定关系 3.量子力学的一个基本原理：态叠加原理 4.量子力学的两个基本假设：波函数的统计解释及薛定谔方程 5.量子力学的关键常量：普朗克常量 6.本章介绍的三个重要实验： 电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉