库存水平：(inventory position) 定量订货模型 思想：是确定特定的一个点R，当库存水平到达这一点时，就应当进行定购且该订单的数量为Q。（订购点R往往是一个既定的数） 库存水平：(inventory position) 可定义为目前库存量加上已订购量减去延期 交货量。

模型假设特征 产品的需求是固定的，且在整个时期内保持一致。 提前期（从订购到收到货物的时间）是固定的。 单位产品的价格是固定的。 库存持有成本以平均库存为计算依据。 订购或生产准备成本固定。 对产品的所有需求都必须满足（不允许延期交货） 提供研究的起点，使问题简单化

基本的定量订货模型 Q-模型 Q Q Q Q 持有库存 R L L L

函数关系式 年总成本=年采购成本+年订购成本+年持有成本 TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H (1-1) 式中：TC——年总成本 Q——订购批量｛最佳订购批量称为经济订购批量 (economic order quantity) EOQ或Qopt｝ S——生产准备成本或订购成本 R——再订购点 L——提前期 H——平均库存水平下，单位产品的持有和存储成本

图13-3基于定购量的年产品成本 Qopt 定购批量（Q) TC QH/2 成本 DC DS/Q

确定订购批量Qopt，使总成本最小 在上图中，总成本最小点出现在使曲线斜率为零的地方。利用微积分我们将总成本对Q求导数，并令其等于零。 计算： TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H dTC/dQ=0+(-DS/ )+H/2=0 Qopt= (1-2) ——因为该模型假定需求和提前期都不变，即无需安全库存，则再订购点R可简单表示为： R= L （1-3） 式中： ——日平均需求量（常数） L ——用天表示的提前期（常数）

例1经济订购批量与再订购点 题：求经济订购批量和再订购点， 已知： 年需求量（D）=1000单位 日平均需求量（d）=1000/365 订购成本 (S）=5美元/次 持有成本（H）=1.25美元/单位.年 提前期（L）=5天 单价（C）=12.50美元 问：该订购多少批量？

解： 最优订购批量为： Qopt= = = =89.4单位 再订购点为： R= L=1000(5)/365=13.7单位 年总成本为： 通过取近似数，可指定如下库存政策：当库存水平降至 14单位，则应再订购89单位的产品。 年总成本为： TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)H =1000(12.50)+1000(5)/89+89(1.25)/2 =12611.81美元

建立安全库存水平 安全库存（safety stock). ——可定义为超出预期需求之外的附加库存。 确定标准： 一：简单规定该存储几周的供应量作为安全库存。 二：使用一种能跟踪需求的变化幅度的方法。 ——如：概率方法

使用安全库存的定量订货模型 定量订货系统对库存水平进行连续监控，且当库存量将至一定水平R时，就进行新的采购。在该模型中，缺货的风险只发生在订购提前期中，即在订购的时刻与收到货物的时间之间。 对于定量订购模型，需求量确定与不确定的主要区别在于再订购点的计算，对于这两种情况的订购批量是相同的。求解安全库存适应考虑需求不确定的因素。

再订购点的计算公式为： R= L+ZóL (1-4) 式中：R——以单位产品记的再订购点 ——日平均需求量 L ——以天计的提前期（下达订单与收到货 物之间的时段） Z——某服务水平之下的标准差个数 óL——提前期中使用量的标准差 ZóL为安全库存量 注意：如果安全库存量为正，则在订购的时间应当提前。 R的值扣除安全库存量就是提前期内的平均需求量。 如果订货提前期期间的使用量为20单位，计算出的安全库存量为5单位，那么就应在库存剩余5单位时发出订单。

计算 、ÓL和Z 订货提前期内的需求量只是从发出订单到货物接收之间库存用量的一个估计值或预测值。他可能是一个简单的数，或者是提前期内每天预期需求量的总和。 计算日需求量： = (n为天数） (1-5) 日需求量的标准差： ód= (1-6)

ód指的是一天的标准差，如果提前期为若干天，可以利用统计学：即一系列独立事件的标准差等于各方差之和的平方根。 所以普遍公式为： = (1-7) 例如：我们计算日需求标准差为10单位，且提前期为5天，因为每天都可以看作是独立的，所以5天的标准差为： óL= =22.36 接下来，我们求Z，也即安全库存的标准差的倍数。 可以由概率方法依据不缺货概率查表得数值。 如：概率为95%对应Z值为1.64

安全库存计算： SS=ZóL 以前述为例，有： SS=ZóL =1.64×22.36 =36.67

例2经济订购批量 题：考察一个经济订购批量的案例。 已知年需求量D=1000单位， 经济订购批量Q=200单位， 不出现缺货的期望概率P=0.95. 提前期内需求的标准差ÓL=25单位， 提前期L=15天， 求 ： 再订购点。 假设需求在工作日发生，而该年度工作日为250天。

解： 本例中， =1000/250=4，提前期为15天， 利用公式可得：R= L+ZóL =4(15)+Z(25) 本例中，Z的值等于1.64 解此关于R值的式子，得： R=4（15）+1.64（25） =60+41 =101单位 这就是说，当库存降至101单位时，就应再订购200单位

例3订购量与再订购点 题： 某产品的日需求量服从均值为60，标准差为7的正态分布。供应来源可靠，提前期固定为6天，订购成本为10美元，年持有成本为每单位0.50美元。不计短缺成本，订货时的订单将在库存补充之后得到满足。 假设销售全年365天都发生。 求：提前期内能满足有95%的概率，不出现缺货的订购量与再订购点 。

解： 本题中，我们需要计算出订购批量Q和再订购点R。 已知： =60 S=10美元 ód=7 H=0.50美元 D=60(365) L=6 则最优订购批量为： Qopt = = =936单位

为了求出再订购点，要先求出提前期内的使用量，然后再与安全库存相加。 6天的提前期内的需求标准差可以根据每天的需求方差来求得，因为每天的需求是独立的， 所以：óL= = =17.5 和刚才一样，Z等于1.64 有：R= L+Z óL =60（6）+1.64（17.15） =388单位 上面这两个例子的区别是： 例2种需求变化是用整个提前期内的标准差来表示 例3中则以每日的标准差来表示

定期订货模型 特点： 只在特定时间进行盘点（如每周一次或每月一次）； 每期定购量不尽相同，大小取决于各时期库存使用率； 安全库存应保证在盘点期内和从发出定单到收到货物的提前期内都不发生缺货。

使用安全期库存的定期订货模型 订购 持有库存量 缺货 安全库存 L T 时间 订购量=此空缺期内的平均需求量+安全库存-现有库存（如果有的话，还要加上已订购量）

使用安全期库存的定期订货模型 q—订购量 T—两次盘点的间隔天数 L—提前期的天数（下订单与收到货物之间的时段） — 预测的日平均需求量 订购量=此空缺期内的平均需求量+安全库存-现有库存（如果有的话，还要加上已订购量） q—订购量 T—两次盘点的间隔天数 L—提前期的天数（下订单与收到货物之间的时段） — 预测的日平均需求量 —盘点周期与提前期期间需求的标准差 I—现有库存水平（包括已订购而尚未到达的） 注：需求量、提前期、盘点期等可以使用日、周、年等任意时间单位， 只要整个公式中单位一致就行。 需求量可采用预测值，或年度平均值，服从正态分布。 z值取决于缺货发生概率。

例:订购量 某一产品 日需求量为10单位 标准差为3单位 盘点周期为30天 提前期为14天 管理部门已经制定的需求政策时要满足98%地对库存物品的需求 在盘点周期开始时，库存中有150单位产品。 求订购量。

例:订购量 解：d=10 =3 T=30 L=14 P=0.98 I=150 因为每日的需求是独立的，且 是固定的，所以， 因为每日的需求是独立的，且 是固定的，所以， 对应于P=0.98的z值为2.05。

例:订购量 因此，订购量为： 所以，要满足98%的不出现缺货的概率,应当在该盘点期订购331单位产品.

专用模型 定量订购模型与定期订购模型假设条件的相同点: （1）单价为常数,与订购量无关; （2）在订购过程连续。 两个新模型 （1）单价随订购批量变化时对订购量的影响； （2）单周期存储模型（静态模型） ——边际分析。

1批量折扣模型（price-break model） 使用条件：产品售价随批量大小发生变化，售价变化是离散或阶跃的，非连续。 如： 螺钉1～99只 2美分/只 每100只 1.6美元 每1000只 13.5美元 求不同价格水平下相应的经济订购量和在价格变化点上的经济订购批量，不一定可行。

1批量折扣模型（price-break model） 求解原则： 将每个可行的经济订购量的总成本和相应的批量折扣订货量列成表格，能使总成本最小的订购量Q就是最优订货量。若持有成本根据单价百分比确定，则不必计算每个价格水平下的经济订购量 求解步骤： （1）求出最大的订购量Q（相应于最低的单价），如果Q可行，则它就是答案。 （2）若Q不可行，计算次大的订购量Q（相应于第二个最低价格）。若可行，则把相应与Q的成本同相应于比Q大的价格变化临界点的成本进行比较，根据成本最小原则确定最优订购量。

例：折扣问题 考虑这样一个案例，有关数据如下： D——10000件（年需求量） S——20美元（每次订购成本） i——20%（年持有成本占单价的20%，包括存储、利息以及过时成本） C——单位成本（依订购批量而定。批量为0～499件，每件5美元；500～999件，每件4.5美元；1000件以上，每件3.90美元） 最有订购量为多少？

例：折扣问题 可用定量订货基本模型求解，适用以下公式：TC=DC+(D/Q)S+(Q/2)iC 结果如下： 当C=3.9美元时，Q=716，不可行； 当C=4.5美元时，Q=666，可行， 总成本=45599.7美元； 当Q=1000时，总成本=39590美元，所以是最优解。

例：折扣问题 C=5美元时 Q=633 C=4.5美元时 Q=666 C=3.9美元时 Q=716 价格变化临界点 持有成本 （Q/2）iC （666/2）*0.20*4.50 =299.70美元 （1000/2)*0.20*3.90=390美元 订购成本 （D/Q）S 不可行 10000*20/666=300美元 10000*20/1000=200美元 持有+订购成本 599.70美元 590美元 货品成本 DC 10000（4.50) 10000（3.90) 总成本 45599.70美元 39590美元

2单周期存储模型 单周期存储问题——决策仅涉及一个需求周期，或者物资只在很短的时间内能够销售而且有经常的中断。 求解方法——边际分析 当订购量再增加一件时，订购该件物资产生的收益会小于因订购带来的成本。 比较持有成本与缺货成本，或者比较边际收益与边际损失。

2单周期存储模型 存货直接用于销售时，存储数量应满足： 销售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出时所带来的损失: MP≥ML MP——第n件产品售出时所带来的收益； ML——第n件产品未售出时所带来的损失。

2单周期存储模型 引入概率P后 P(MP)≥(1-P)ML P——该件产品售出的概率 1-P——该件产品未售出的概率 解得：P ≥ML/(MP+ML) 表明，应该不断增加存储量，直至增加的最后一件的售出概率等于或大于 ML/(MP+ML)。

例：含残值的问题 某产品售价为100美元，成本为常数，每件70美元。未售出产品每件残值为20美元。未来一段时间的需求量预计在35至40件之间，35件肯定能出售，40件以上一定卖不出去，需求概率以及相关的累积概率分布(P)在表中给出。 每件产品的边际收益等于售价减去成本， 即MP=100-70=30美元 如果产品未售出，边际损失等于单位成本减去残值， 即ML=70-20=50美元 试问应该订购多少件？

例：含残值的问题 最后一件产品售出的最佳概率应该满足以下关系：P ≥ML/(MP+ML)=50/(30+50)=0.625 需求单位数 此需求的概率 产品序号 售出概率 35 0.10 1到35 1.00 36 0.15 0.90 37 0.25 0.75 38 0.50 39 40 41 41或更多

例：含残值的问题 售出最后一件产品的概率应大于或等于0.625，所以应该存储37件。 第37件产品的售出该律师0.75.存储第37件产品的净收益等于期望边际收益减去相应的期望边际损失。 Net=P(MP)-(I-P)(ML) =0.75(100-70)-(1-0.75)(70-20) =10美元