欧氏几何回顾

开篇： 2 欧几里德的第五公设“也许是科学史上最重要的一句话” C.J.Keyser 十九世纪最富有启发性和最值得注意的成就就是非欧几里德几何的发现。 D.希尔伯特 2

开篇： 欧氏几何是我们中学时期数学学习的一部分，我们已经非常熟悉它的内容，例如：两点决定一条直线，三点决定一个平面，勾股定理等；我们已经很习惯的认为我们所生活的空间是欧氏几何空间。今天我们要讨论欧氏几何的地位和作用，以及它的主要成果是什么？它的主要缺陷是什么？非欧几里德几何是如何产生的和发现的。 3

§8.1欧几里得几何 8.1.1欧氏几何的诞生 公元前7世纪左右，希腊著名数学家泰勒斯（公元前625—公元前574年）把埃及的数学知识传到希腊，他极力主张对几何学上的陈述不能凭直觉上的貌似合理就予以接受,相反必须经过严格的逻辑证明。

8.1.1欧氏几何的诞生 泰勒斯对几何学作出巨大的贡献,第一个证明了下列几何性质: 1)对顶角相等 2)三角形内角和等于两直角之和. 3)等腰三角形的两个底角相等 4)半圆上的圆周角是直角

8.1.1欧氏几何的诞生 毕达哥拉斯研究了五种正多面体、黄金分割、比例中项定理等，其中影响最大的有毕达哥拉斯定理和无理数的发现。 雅典学派的希波克拉底、柏拉图、欧多克索斯提出几何三大问题：三等分任意角的问题、立方倍积问题、化圆为方问题，对几何学的发展有很大的贡献。 柏拉图把逻辑思想引入几何学，使几何系统逐渐严格化。

8.1.1欧氏几何的诞生 约在公元前300年，欧几里得按照逻辑系统对几何学进行了整理，完成了数学史上最光辉的著作《几何原本》。 《几何原本》不仅仅是数学定理及其证明；欧几里得对命题作了辉煌的公理化演译，他成功的将零散的数学理论编为一个从基本假定到复杂结论的连续网络，所有这些都使之成为其后所有数学著作的范本。 欧氏几何的诞生是人类文明史上一个具有划时代意义的伟大事件。

整理、充实、连续 8.1.2《几何原本》的历史背景 8.1.3欧氏几何的内容 《几何原本》共13卷，除其中第5，7，8，9，10卷讲授比例和算术理论外，其余各卷都是讲授几何内容的。 第1卷：平行线、三角形、平形四边形的定理； 第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；

8.1.3欧氏几何的内容 第3卷：圆的定理； 第4卷：圆的内接与外切多边形定理； 第6卷：相似形的定理； 最后3卷是立体几何。 《几何原本》是由定义、公设、公理组成的演绎推理体系。第1卷开始首先提出23个定义。

8.1.3欧氏几何的内容 前6个定义是： 点没有大小 线有长度而没有宽度 线的界是点 直线上的点是同样放置的 面只有长度和宽度 面的界是线

8.1.3欧氏几何的内容 公设 给定两点，可连接一线段 线段可无限延长 给定一点为中心和通过任意另一点可以作一圆 所有直角彼此相等 如一条直线与两条直线相交，并且在同侧所交出的两内角之和小于两个直角，则这两条直线无限延长后必在该侧相交。

8.1.3欧氏几何的内容 公理 与同一个东西相等的东西彼此也相等 等量加等量，其和相等 等量减等量，其差相等 彼此重合的东西相等 整体大于部分 欧几里德工具：圆规和无刻度的直尺

8.1.3欧氏几何的内容 第五公设与“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行”相等价。 现在把后一命题叫做欧几里德平行公理。 19世纪，它导致了数学发展史上一些非常重要的结果，这就是非欧几何的诞生。

8.1.4欧氏几何的优缺点 《几何原本》是最早一本内容丰富的数学书，为所有的后代人所使用，它对数学发展的影响超过任何一本别的书。读了这本书之后，在对数学本身的看法，对证明的思索方法，对定理按逻辑顺序的排法等方面，都会学到一些东西。它的内容也决定了其后数学思想的发展。 《几何原本》的缺陷 不够严格、在有限和无限的问题上含糊 希尔伯特1889年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里德完整的公理体系。他把公理分为五类，分别处理关联、顺序、全等、平行和连续性。

8.1.5欧氏几何的历史地位 《几何原本》被称为数学家的圣经，在数学史乃至人类科学史上都具有无以伦比的崇高地位。 成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。 对命题作了公理化演绎。从定义、公理、公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。 几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。

8.1.6几何学在数学教育中的地位 随着代数的出现，笛卡尔将其应用于几何，以及随后微积分的发展，改变了数学的整个特征，数学变得更加符号化，更抽象了。几何学在课程中的核心地位开始衰落。 几何学不只是一个数学分支，而且是一种思维方式，它渗透到数学的所有分支。

§8.2尺规作图问题 8.2.1几何三大难题 著名的几何作图三大问题是（限制用直尺和圆规）： 1）三等分任意角 2）化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积 3）立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍

8.2.1几何三大难题 三大难题是几何作图不能解决的问题： 笛卡尔创立了解析几何，为解决尺规作图三大问题奠定了基础。 1637年，法国数学家旺策尔证明了三等分任意角和立方倍积的问题都是不能用几何作图完成的问题。 1882年法国数学有林德曼证明了∏是超越数，从而证明了化圆为方的不可能性。

8.2.1几何三大难题 三大几何难题的贡献： 两千多年来，三大几何难题引起了许多数学家的兴趣，对它们的深入研究不但给予希腊几何学以巨大影响，而且引出了大量新的发现。 如：二次曲线、三次曲线以及几种超越曲线的发现；关于有理数域，代数数与超越数、群论等的发展；化圆为方的问题促进了穷竭法的发展，而穷竭法正是微积分的先导。

8.2.2用尺规可作什么图 下面的图是用尺规可作的： 二等分已知线段 二等分已知角 已知直线L和L外一点P，过P作直线垂直L 任意给定自然数n，作已知线段的n倍，以及n等分已知线段 已知线段a,b,可作a+b,a-b,ab,a/b 已知线段a,做

8.2.3有理数域的扩张 尺规作图步骤不外是下列做法之一： 用一条直线连接两点 求两条直线的交点 以一点为心，定长为半径做一圆 求一个圆与一条直线的交点或切点 求两个圆的交点或切点

8.2.3有理数域的扩张 在假定平面上，直线方程 圆的方程具有形式 系数 假定最初只给了一个元素1，从1出发能做出整个有理数域.我们能做出新的无理数,如 ,从 出发,通过“有理”作图,可以做出所有形如 的数. 命题1 形如 的数形成一个域.

8.2.4一般讨论 代数研究的对象是数,数偶(a,b),一次方程式,二次方程式等；几何研究的对象是点，直线，圆，曲线等。我们要做的工作是将几何对象化为代数对象。 问题：用直尺圆规作出来的数是不是都在这个范围内？会不会超出这个范围？

8.2.4一般讨论 假定我们可用直尺圆规作出某个数域F中的所有数。 命题2 只用直尺做不出数域F以外的数。 命题3 用圆规只能做出形如 的数。 无论哪种情况，作图所产生的一个或两个新点的x坐标或是y坐标其量的形式都是以上的形式.

8.2.4一般讨论 小结: 1.如果开始给定一些量,那么从这些量出发,只用直尺可生成域F的所有量,但不能超出数域. 2.用圆规能把可做图的量扩充到域F的扩域F1,构造扩域的过程可不断进行,从而可得F2,F3,F4,F5…. 3.可做图的量是而且仅仅是这一系列扩域中的数. 4.可做图的数都是代数数.

8.2.5三大难题的解 1）立方倍积问题 等同于求解 2）三等分任意角 从60度角出发，假定三等分角是可能的。 而以上方程没有二次不尽根的解。

8.2.5三大难题的解 3）化圆为方问题 考虑半径为1的单位圆，它的面积等于派。 现在要求一个正方形，它的面积为派。由于 派是一个超越数，因此化圆为方问题无解。

§8.3正多边形作图 高斯定理 对奇数n,当且仅当n是一个费马素数,或者若干个费马素数的乘积时,正n边形才能用直尺和圆规作图.

§8.4非欧几何 对第五公设的研究导致了非欧几何的诞生，这段历史大致经历了四个时期： 1）寻求第五公设的证明时期 2）非欧几何的孕育期 3）非欧几何的诞生期 4）非欧几何的确认时期 多少个世纪以来，从欧几里德的其它假定推出第五公设的尝试差不多够一个军团，可惜均以失败告终。

8.4.1非欧几何的孕育时期 与第五公设等价的命题(1-8)。 多少个世纪以来，人们都在试图从欧几里德的其它假定推出第五公设。直到1733年意大利人萨谢利（G.Saccheri 1667-1733）才做了关于第五公设值得注意的研究成果。 萨谢利是第一个试图应用归缪法来证明第五公设的人，他将研究结果写在《排除任何谬误的欧几里德》一书中。

8.4.1非欧几何的孕育时期 从四边形出发来研究欧氏几何问题是非欧几何的开端,先固定两条底边,可以证明上面两个角一定相等,但是无法证明它们是直角.萨谢利分别假定上面两个角是钝角,锐角或直角,推出了一系列的结果.当假定上面两个角是直角时,平行公设定理被证明了。 A B C D

8.4.1非欧几何的孕育时期 1766年，瑞士的H.兰伯特写了《平行线理论》作了类似研究。 勒让德也对平行公设做出卓越贡献，他对一特定的三角形的内角和做出三个不同的假定：等于、大于、或小于两直角。 施韦卡特1816年写了备忘录，区分了两种几何：欧几里德与假设三角内角之和不是两直角的几何。他将后者称为星空几何。 陶里努斯得出结论：只有欧几里德几何对物质空间是正确的，而星空几何只是逻辑上相容。

8.4.2非欧几里德几何的诞生： 高斯从1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯。

8.4.2非欧几里德几何的诞生： J.波尔约是预见非欧几何的第二人，他称他的非欧几何为绝对几何。 然而，真正发表此课题的有系统的著作的第一人是俄国数学家罗巴切夫斯基。 他发展的非欧几何现今被称为罗巴切夫斯基几何。他赢得了“几何学上的哥白尼”的称号。

8.4.3罗巴切夫斯基的解答： 罗马切夫斯基在他的《新几何原本》中描述了他所给出的第五公设的解答要点： “大家知道，直至今天为止，几何学中的平行线理论还是不完全的。从欧几里德时代以来，两千年来的徒劳无益的努力，促使我怀疑在概念本身之中并未包括那样的真实情况，它是大家想要证明的，也是可以象别的物理规律一样单用实验（譬如天文观测）来检验的。最后，我肯定了我的推测的真实性，而且认为困难的问题完全解决了，我在1826年写出了关于这个问题的论证。”

8.4.4罗巴切夫斯基的想象几何学 欧几里德几何第五公设成立的充分必要条件： 命题1 第五公设成立的充分必要条件是过直线外一点存在唯一的与该直线平行的直线. 命题2 第五公设成立的充分必要条件是三角形内角和等于派. 命题3 第五公设成立的充分必要条件是同一直线的垂线与斜线相交. 命题4 第五公设成立的充分必要条件是存在两个相似但不全等的三角形.

8.4.4罗巴切夫斯基的想象几何学 欧几里德几何第五公设成立的充分必要条件： 命题5 第五公设成立的充分必要条件是任一三角形存在外接圆. 命题6 第五公设成立的充分必要条件是与一直线等距且在该直线同一侧的三个点在同一条直线上. 命题7 第五公设成立的充分必要条件是角度数在大于零小于派之间的任一角内部的任一点可以引一直线,使此直线与该角的两边相交. 命题8 第五公设成立的充分必要条件是圆内接六边形的边长等于该圆半径.

8.4.4罗巴切夫斯基的想象几何学 罗巴切夫斯基几何代替第五公设的公理： 设a 是一直线,A是a外一点,在A与a所决定的平面上,过A而不于a相交的直线至少有两条. 等价于:存在内角和小于派的三角形. l命题1在平面上任一直线a外一点A,过A点与a平行的直线至少有两条. l命题2 任一三角形内角和小于派. l命题3 平面上同一直线的垂线与斜线不一定相交. l命题4 不存在两个相似但不全等的三角形.

8.4.4罗巴切夫斯基的想象几何学 l命题5 存在无外接圆的三角形.

然而 和所有先知、先觉者一样，罗巴切夫斯基得到的是冷遇和嘲讽，甚至被人称之为疯子．然而他一直执著地进行研究和著述，1837年用法文写成《虚几何学》，1840年用德文写成《平行线理论的几何研究》．去世前他已双目失明了，但仍口述完成了《泛几何学》．

8.4.5黎曼的非欧几何： 1854年，德国数学家黎曼(1826～1866)在《关于几何基础的假设》的演说中，又提出了一种既不是欧氏几何，又不是罗氏几何的非欧几例．这种几何采用公理“同一平面上任何两条直线一定相交”代替欧氏几何中的平行公理，对其余公理只是稍作改动，被称为“椭圆几何”．其中三角形的内角之和大于两直角．它和球面几何学相差无几，如果把球面的对顶点看成同一点，就得这种几何学。

§8.4.6 欧氏几何与非欧几何 命题1 三角形的内角和不等于180度。 命题2 不存在面积任意大的非欧三角形 命题3 两个非欧三角形相似就全等 毕达哥拉斯定理不成立 定理 若一个三角形分别与另一个三角形的三个角相等，则这两个三角形全等。

§8.5 三角形的内角和 命题1 三角形的内角和不超过两个直角。 命题2 若存在一个内角和为派的三角形，则一切三角形的内角和都为派。 命题3 只有两种假定是可能的;或者所有三角形的内角和都为派,或者一切三角形的内角和都小于派。 命题4 如果所有三角形的内角和都相等,则它们的内角和都为派。

§8.5 三角形的内角和 命题5 如果所有三角形的内角和小于派,那么在所有三角形中,其内角和不统一。 命题6 若A是直线a外一点,过A存在唯一的一条与a相平行直线的充分必要条件是任何三角形的内角和都为派。 命题7三角形的内角和小于派的充分必要条件是过直线a外一点A 可以引至少两条与a相平行的直线。