第7章 多元函数微分法及其应用 一、内容提要 （一）主要定义 第7章 多元函数微分法及其应用 一、内容提要 （一）主要定义 1．二元函数的极限 设函数z= f (x, y)在点P0(x0, y0)的附近有定义(点P0可除外), 点P0的任一个邻域内都有使z有定义的点P(x, y)异于P0, 当点P以任意方式趋近于P0时, 函数f (x, y)相应地趋于一个确定的常数A, 则称A为f (x, y)当x→x0, y→y0时的极限, 记作 2．二元函数在一点连续 设函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某领域内有定义, 则称函数z=f (x, y) 在点P0处连续.

3．偏导数 设函数z=f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域内有定义, 如果极限 存在, 则称此极限为z=f (x, y)在点P0处对x的偏导数, 称极限 为f (x, y)在P0处对y的偏导数. 分别记作

4．全微分 如果函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)处的全增量 z=f (x0+x, y0+ y) - f (x0, y0) 可表示为z=Ax+By+o(), 其中A, B不依赖于x, y, 则称z=f (x, y)在点(x, y)处可微. 此时表达式 Ax+By叫做z=f (x, y)在点(x0, y0)处的 全微分, 记作dz, 即dz=Ax+By或dz= Adx+Bdy. 可以证明dz=fx(x0, y0)dx+fy(x0, y0)dy.

5. 方向导数 设z=f (x, y)在包含P(x, y), P(x+x, y+y)的邻域内 有定义, l =(x, y), 则f (x, y)在P(x, y)处沿l方向的方向 导数定义为 类似地可以定义空间上的方向导数为

6. 梯度(gradient) 设函数z=f (x, y)在点P(x, y)的某邻域内有连续的 一阶偏导数, 则向量 称为z=f (x, y)在点P(x, y)处的梯度, 记作gradf(x, y), 即

（二）主要结论 1. 可微与可偏导的关系 函数z=f (x, y)在点P0(x0, y0)处可微, 则必可偏导,即fx(x0, y0), fy(x0, y0)存在, 反之不真. 特别地, 即使fx(x0, y0), fy(x0, y0)存在, 函数z=f (x, y)在点P0(x0, y0)处也不一定连续, 当然也不一定可微. 2. 多元复合函数求导法则 (1)如果u=u(x, y), v=v(x, y)在点(x, y)处有偏导数, z=f (u, v)在点(u, v)处有连续偏导数, 则z=f [u(x, y), v(x, y)]在点P(x, y)处也有关于x或y的偏导数, 则

(2)若z=f (u, v, w), u=u(x, y), v=v(x, y), w=w(x, y), 则 在相应的条件下, 还有下列求导公式: (2)若z=f (u, v, w), u=u(x, y), v=v(x, y), w=w(x, y), 则 (3)若z=f (u, x, y), u = u(x, y), 则 , (4)若z=f (u, v, w), u=u(t), v=v(t), w=w(t), 则

3. 隐函数的求导公式 (1)设y=y(x)是由方程F(x, y)=0所确定的隐函数. 且二元函数F(x, y)有连续的偏导数, Fy(x, y)≠ 0, 则 (2)设z=z(x, y)是由方程F(x, y, z)=0所确定的隐函数, 三元函数F(x, y, z)有连续的偏导数, 且Fz(x, y, z)≠0, 则

(3)方向导数的计算公式 函数z=z(x, y)(或u=f (x, y, z))在其可微点处沿任何 方向l 的方向导数都存在, 且有下列计算公式 空间为 其中, 为l与x轴和y轴正向的夹角; , , , 为 方向l 的方向角.

（三）结论补充 在P0(x0, y0)点连续, 则z=f (x, y)在P0(x0, y0) 处全微分存在. 2. 在P0(x0, y0)处 连续, 则二者相等. 3. z=f (x, y)在P0(x0, y0)某邻域内连续, 且有一阶及 二阶连续偏导数, 又fx(x0, y0)=fy(x0, y0)= 0. 记u(x, y)=fxx fyy-fxy2, 则 u(P0)> 0, fxx(P0)< 0时取极大值; u(P0)> 0, fxx(P0)> 0时取极小值； u(P0)< 0时不取极值； u(P0)= 0时不能断定.

4. 可微函数z=f (x, y)在可微函数(x, y)=0条件下 取极值的必要条件是, 令F(x, y)=f (x, y)+(x, y), 满足 5. 曲线 在P0(x0, y0, z0)处的切线方程和 法平面方程分别为：

6. 曲面F(x, y, z)=0在P0(x0, y0, z0)处的切平面方程 和法线方程分别为： 7. 全微分的几何意义 曲面z=f (x, y)在点M0(x0, y0, z0)处切平面上z坐标的 增量就是全微分. 注 切平面z-z0=fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0), 记x=x-x0, y= y-y0, 则全微分dz=fx(x0, y0)x+fy(x0, y0)y 8. 由两空间曲面决定的空间曲线

9. 记e=cos i+cos j, , 为l的方向角, 则 10. 设u, v都是x, y, z的函数, u, v具有各连续偏导数, f 可导, 则有 (1) grad (u+cv) = gradu + cgradv； (2) grad (uv) = vgradu + ugradv；

二、归类解析 （一）求导运算 1. 分段函数 例7-1 设 试讨论f (x, y)在 二、归类解析 （一）求导运算 1. 分段函数 例7-1 设 试讨论f (x, y)在 点(0, 0)处的连续性. 偏导数存在性及函数的可微性. 例7-2 试讨论f (x, y)在(0, 0)处的连续性与偏导数存在性

例7-3 设 试求fxy(0, 0)和fyx(0, 0). 例7-4 证明: f (0, 0)在(0, 0)处偏导数不连续但可微分.

2. 复合函数 例7-5 z=f(x2-y2, xy), 求 已知f (u, v)二阶偏导数连续. 例7-6 设 f与g都具有连续二阶 偏导数, 求 例7-7 设w=f (u)二阶可导, 且 例7-8 设函数f(,)具有二阶连续偏导数, 且满足 拉普拉斯方程 试证: 函数z=f(x2-y2, 2xy) 也满足拉普拉斯方程

3. 隐函数 例7-9 设z=z(x, y)由方程 所确定, 且F(u, v)具有连续偏导数, 则 例7-10 设x2+2y2+3z2+xy –z=0, 当x=1, y=-2, z=1时 例7-11 z=x2 + y2中y=y(x)由方程x2-xy+y2 = 1定义, 例7-12 设 确定y与z为x的函数,

4. 全微分与全导数 例7-13 例7-14 例7-15 设 试讨论f (x, y)在点M0(0, 0)处的可微性及偏导数的连续性. 例7-16

（二）几何应用 1. 空间曲线的切线与法平面 例7-17 求曲线 在t=0处的切线方程和法平面方程. 例7-18 求曲线 在点P(-2, 1, 6)的切线方程和法平面方程.

例7-19 求曲线 在点P(1, 1, 1)的切线方程和法平面方程. 例7-20 试证螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (a>0, b>0) 上任一点的切线与z轴成定角.

2. 空间曲线的切平面和法线 例7-21 在椭圆抛物面 上求一点P, 使 过点P的切平面与平面2x+y+z=0平行, 并求过P点的切平 面与法线. 例7-22 在椭球面 上, 求一个截取各坐 标轴正半轴为相等线段的切平面. 例7-23 证明曲面xyz=a3的切平面与三坐标面围成的 四面体的体积为一定常数.

3. 方向导数与梯度 例7-24 求函数u=x+y+z在点M0(0, 0, 1)处沿球面 x2+ y2+ z2 =1的外法线方向的方向导数. 例7-25 设有数量场 问a, b, c, 满足什么条件时才能使u(x, y, z), P(x, y, z)处 (x2+y2+z20)沿矢径方向的方向导数最大？ 在点P(1, 1, 1) 例7-26 求函数 处的梯度, 并求梯度的大小和方向余弦.

4. 极值与最值 例7-27 求由方程x2+y2+z2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0所 确定的变量x与y的隐函数z的极值. 例7-28 平面 截三轴于 A, B, C. P(x,y,z)为ABC上一点, 以OP为对角线, 以三 个坐标面为三面作一个长方体, 试求其最大体积. 例7-29 求内接于椭球面 的体积最大 的长方体. 例7-30 在椭圆x2+4y2=4上求一点, 使其到直线 2x+3y-6=0的距离最短.

例7-31 求二元函数z=f (x, y)=x2y(4-x-y) 在直线 x+y=6, x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大与最小值. 例7-32 设有一小山, 取它的底面所在的平面为 xOy坐标面, 其底部所占的区域为D={(x, y)x2+y2-xy75}. 小山的高度函数为h(x, y)=75 -x2-y2+xy. (1)M(x0, y0)为区域D上一点, 问h(x, y)在该点沿平面 上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大 值为g(x0, y0), 试写出g(x0, y0)的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 需要在山脚寻找 一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就是说, 要在 D的边界曲线x2+y2-xy=75上找出使(1)中的g(x, y)达到 最大值的点. 试确定攀登起点的位置.

三、同步测试 测试7-1 (一)、填空题（3分4=12分） 则f (x, y)= 3. 设f (x, y, z)=exyz, 则 三、同步测试 测试7-1 (一)、填空题（3分4=12分） 则f (x, y)= 3. 设f (x, y, z)=exyz, 则 在点P(1, 1, 1)处的切线方程为

(二)、选择题（4分3=12分） 1. 设有二元函数 则[ ]. 答案：(B) 存在, 但f (x, y)在(0, 0)处不连续; 不存在, f (x, y)在(0, 0)处不连续; 存在, f (x, y)在(0, 0)处连续; 不存在, f (x, y)在(0, 0)处连续;

2. 函数f (x, y)在P(x0, y0)连续是f (x, y)在P(x0, y0) 各一阶偏导数存在的[ ]. 答案：(D) (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非必要条件也非充分条件. 3. 点O(0, 0)是函数z=xy的[ ]. 答案：(B) (A) 极小值点; (B) 驻点但非极值点; (C) 极大值点; (D) 最大值点.

(三)、计算题（6分5=30分） 求f (x, y)各一阶偏导数. 求此函数在点P0(1,1)处的全微分. 3. z=f (x, y)由方程z+x+y-ez+x+y=0所确定, 求dz.

式中f, 具有各二阶 连续偏导数, 求 f具有各二阶连续偏导数, 求

(四)、综合题（8分4=32分） 在平面上, 而平面 1. 设直线 与曲面z=x2+y2相切于点M(1, -2, 5), 求a, b的值. 2. 设n是曲面3x2+3y2+z2=6在点P(1, -2, 5)处指向 外侧的法向量, 求函数 在点P处沿 方向n的方向导数.

3. 试分解正数a为三个正数之和, 而使它们的倒数和为最小. 4. 研究函数 是否有极值. 答案:函数无极值

(五)、证明题（7分2=14分） 1. 设函数 试证: f (x, y)在P(0, 0)处不可微分. 2. 设, 都具有连续一阶和二阶各偏导数, 且 试证:

测试7-2 (一)、填空题（3分4=12分） 答案: 1 则fx(0, 1)= 3. 设函数z=z(x, y)由方程x2+2y2+3z2=18所确定, 则全微分dz= 在点(1, 1, 1)处的切线方程为

(二)、选择题（4分3=12分） 在(0, 0)点处[ ]. 答案:(D) (A) 极限值为1; (B) 极限值为-1; (C) 连续; (D) 无极限. 2. 函数f (x, y)在P(x0, y0)处fx(x, y), fy(x, y)存在是 函数在该点可微分的[ ]. 答案:(A) (A) 必要条件; (B) 充分条件; (C) 充要条件; (D) 既非必要条件也非充分条件. 3. 曲面ez-z+xy=3在P(2, 1, 0)的切平面方程为[ ]. (A) 2x+y-4=0; (C) 2x+y-z=4; 答案:(C) (C) x+2y-4=0; (D) 2x+y-5=0.

(三)、计算题（6分5=30分） 求fx(x, y)和 fy(x, y).

2. 设z=f [(x)- y, (y)+x], f具有连续的二阶偏导数, ,  可导, 求 确定函数u=u(x, y), v=v(x, y),

式中f 二阶可导, 求 5. 设u=f (x, y), g(x, y, z)=0, h(x, z)=0. 各函数都 具有连续的一阶偏导数, 且gy0, hx0, 求

(四)、综合题（9分2=18分） 1. 利用变换=x+ay, =x+by把方程 化简为 试求a, b的值. 2. 求曲线 在P0(1, 2, 3)处的切线方程. 3. 求函数u=xy2z在点M0(1, -1, 2)处, 从M0指向M1(2, 1, -1)方向的方向导数, 并求函数在M0点处的最大方向导数. 4. 试求底边平行于椭圆x2+3y2=12的长轴的内接 等腰三角形面积的最大值.

(五)、证明题（7分2=14分） 1. 试证: 曲面z=x+f (y-z)上任一点处的切平面 都平行于一条直线, 式中f 连续可导. 2. 试证: 在点(0, 0)处连续, 偏导数存在 但是不可微分.

例7-1 设 试讨论f (x, y)在 点(0, 0)处的连续性. 偏导数存在性及函数的可微性. 解  >0, 取 =2, 当 时, 恒有 故f (x, y)在点(0, 0)处连续. 类似地 fy(0, 0)= 0. f (x, y)在(0, 0)处不可微, 详见教材.

例7-2 试讨论f (x, y)在(0, 0)处的连续性与偏导数存在性 解 显然 故f (x, y)在(0, 0)处连续 故fx(0, 0)不存在. 类似可知fy(0, 0)也不存在.

例7-3 设 试求fxy(0, 0)和fyx(0, 0). 解 容易求得fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0. 当y≠0时 当x≠0时 类似于fxy(0, 0)的求法, 得fyx(0, 0)=1.

例7-4 证明: f (0, 0)在(0, 0)处偏导数不连续但可微分. 证 类似地 fy(0, 0)=0;

不存在, 故偏导数不连续. 故可微分.

例7-5 z=f(x2-y2, xy), 求 已知f (u, v)二阶偏导数连续. 解 设u=x2-y2, v=xy, 则 注意到 仍然是u与v的函数. 于是 类似的可求得

例7-6 设 f与g都具有连续二阶 偏导数, 求 解

例7-7 设w=f (u)二阶可导, 且 解 令 于是u=lnr, 则 由对称性, 有

例7-8 设函数f(,)具有二阶连续偏导数, 且满足 拉普拉斯方程 试证: 函数z=f(x2-y2, 2xy) 也满足拉普拉斯方程 证 令 =x2-y2, =2xy, 则z=f(,). 类似地有

类似地有

例7-9 设z=z(x, y)由方程 所确定, 且F(u, v)具有连续偏导数, 则 证 令 则F(u, v)= 0,

于是

例7-10 设x2+2y2+3z2+xy –z=0, 当x=1, y=-2, z=1时

再将x=1, y=-2, z=1, 代入式(3), (4)及(5)

例7-11 z=x2 + y2中y=y(x)由方程x2-xy+y2 = 1定义, 解 将x2-xy+y2=1两边对x求导数, 得 将z=x2+y2两边对x求导数, 得 再将 表示式代入此式, 得

例7-12 设 确定y与z为x的函数, 解 将上面方程两边对x求导, 得

例7-13 解

例7-14 解

例7-15 设 试讨论f (x, y)在点M0(0, 0)处的可微性及偏导数的 连续性. 解 同样fy(0,0)=0.

故f (x, y)在M0(0, 0)处可微分. 当(x, y)≠(0, 0)时, 沿直线y=0, 令x→0, 有 不存在. 故fx(x, y)在M0(0, 0)处不连续. 类似地可证fy(x, y)在M0(0, 0)处也不连续.

例7-16 解法一 解法二 先将x =sint, y = t 3代入 再对t 求导, 有

例7-17 求曲线 在t=0处的切线方程和法平面方程. 解 当t=0时, 对应Γ上点P(0, 1, 2). 切向量为 所求切线方程为 所求法平面方程为x+2(y-1)+3(z-2)=0, 化简为x+2y+3z-8=0.

例7-18 求曲线 在点P(-2, 1, 6)的切线方程和法平面方程. 解 记F=2x2+y2+z2-45, G=x2+2y2-z则切向量为 可取T1=(25,28,12)作为切向量. 所求切线方程为 所求法平面方程为25x+28y+12z-50=0.

例7-19 求曲线 在点P(1, 1, 1)的切线方程和法平面方程. 解 将曲线方程对x求导, 得 切线向量为(1, 9/16, -1/16)或(16, 9 -1). 则切线方程为 法平面方程为16x+9y-z-24=0.

注 此处使用的曲线的切向量为 这使得运算十分简便, 但当 需选用其他变量为参数, 例如: 求曲线 处的切线方程及法平面方程时, 故改选y为参数, 经计算可得

可得切线方程为 法平面方程为 使用此方法避免了许多繁琐的计算, 不妨用求 的方法试试看, 一经比较, 便知优劣.

例7-20 试证螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (a>0, b>0) 证 切向量T=(-asint, acost, b), z轴由s=(0, 0, 1)表示, 设交角为 , 则有 故交角为 常数, 有

例7-21 在椭圆抛物面 上求一点P, 使过点P的切平面与平面2x+y+z=0平行, 并求过P点 的切平面与法线. 解 曲面上任一点P(x0, y0, z0)处的法向量为 已知平面的法向量为n2=(2, 1, 1). 当且仅当n1//n2, 即当 时, 两平面平行. 将x0=-1, y0=-2, 代入椭圆抛物面方程中, 得z0=1. 满足条件的点是P(-1, -2, 1). 所求切平面方程为 2x+y+z+3=0. 所求法线方程为

例7-22 在椭球面 上, 求一个截取各 坐标轴正半轴为相等线段的切平面. 切点为M0(x0, y0, z0), 切平面方程为 各轴上的截距为 依题意应有x=y=z=k (k>0),

代入切平面方程, 有

例7-23 证明曲面xyz=a3的切平面与三坐标面围成 的四面体的体积为一定常数. 证明 过M0(x0, y0, z0)的 切线平面方程为 在三坐标轴上的截距为

例7-24 求函数u=x+y+z在点M0(0, 0, 1)处沿球面 解 显然球面在点M0处的外法线即是OM. (O为 坐标原点O(0, 0, 0)). 即n=(0, 0, 1), cos=cos=0, cos=1.

例7-25 设有数量场 问a, b, c, 满足什么条件时才能使u(x, y, z), P(x, y, z)处 (x2+y2+z20)沿矢径方向的方向导数最大？ 点P(x, y, z)的矢径为r=OP=xi+yj+zk. 只有当r//gradu时, 才取最大值. 即 即当a = b = c时,

在点P(1, 1, 1) 例7-26 求函数 处的梯度, 并求梯度的大小和方向余弦. 所求梯度为

其大小为 方向余弦为

例7-27 求由方程x2+y2+z2-xz-yz+2x+2y+2z-2=0所 由轮换对称性, 有 得驻点

进一步可求得 在P1处AC-B2=1/6>0, A<0, 故P1 为极大值点, 类似地P2为极小值点. 极大值为 极小值为

A, B, C. P(x,y,z)为ABC上一点, 以OP为对角线, 以三 例7-28 平面 截三轴于 A, B, C. P(x,y,z)为ABC上一点, 以OP为对角线, 以三 个坐标面为三面作一个长方体, 试求其最大体积. O z y x P(x, y, z) (a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c) 解法一 如图所示 设长方体体积为V, 则V= xyz, 限制条件为

做辅助函数, 有 从前三式得 利用最后一式, 得

解法二 此题还可以利用初等方法求解. 记x=a, y=b, z=c, 则V=abc . 当== =1/3时 的等号成立.

例7-29 求内接于椭球面 的体积最大 的长方体. 解 设长方体的长、宽、高分别为2x, 2y, 2z, 则体积v=8xyz, 取u=v2=64x2y2z2, 设x=a, y=b, z=c, 则问题转化为u=64x2y2z2 22 2在条件 2+2+ 2=1 下的极值. 当>0, >0, >0时 时, 等号成立, u取最大值 时, V 取最大值

例7-30 在椭圆x2+4y2=4上求一点, 使其到直线 2x+3y-6=0的距离最短. 解 如图所示x2+4y2=4化成 O x P(x, y) 1 2 3 解 如图所示x2+4y2=4化成 直线2x+3y-6=0的斜率为y=-2/3. 椭圆x2+4y2=4上一点P(x, y) 处的切线的斜率为y=-x/4y. 求出切点 显然P1为所求点.

例7-31 求二元函数z=f (x, y)=x2y(4-x-y) 在直线 x+y=6, x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大与最小值. 解 先求函数在D内的驻点(2, 1), 解方程组 得x=0, (0y6)及点(4, 0), (2, 1), 函数在D内有唯一 驻点(2, 1), 在该点处f (2, 1)=4. 再求f (x, y)在D的边界上的最值. 在边界x=0, (0y6)和y=0, (0x6)上f (x, y)=0.

在边界x+y=6上, y=6-x. 代入f (x, y), 得 f (x, y)=x2(6-x)(-2)=2x2(x-6), f x=4x(x-6)+2x2=6x2-24x=0. 解出x=0和x=4, 从而 y=6-xx=4=2, f (4, 2)=x2y(4-x-y) (4, 2)= -64 比较后可知, f (2, 1)=4为最大值, f (4, 2)=-64为最小值.

例7-32 设有一小山, 取它的底面所在的平面为 xOy坐标面, 其底部所占的区域为D={(x, y)x2+y2-xy75}. 小山的高度函数为h(x, y)=75 -x2-y2+xy. (1)M(x0, y0)为区域D上一点, 问h(x, y)在该点沿平面 上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大 值为g(x0, y0), 试写出g(x0, y0)的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 需要在山脚寻找 一上山坡度最大的点作为攀登的起点. 也就是说, 要在 D的边界曲线x2+y2-xy=75上找出使(1)中的g(x, y)达到 最大值的点. 试确定攀登起点的位置.

解 (1)由梯度的几何意义, h(x, y)在点M(x0, y0)处 沿梯度grad h(x, y) (x0, y0)= (y0-2x0)i+ (x0-2y0)j方向的 方向导数最大, 方向导数的最大值为该梯度的最大值, 所以

(2) 令f (x, y)= g2(x, y)= 5x2+5y2-8xy, 由题意, 只需求f (x, y)在约束条件75 -x2-y2+xy=0 下的最大值点. 令L(x, y, )= 5x2+5y2-8xy+(75 -x2-y2+xy), 则 式(1)式(2)相加可得(x+y)(2-)=0, 从而y=-x或=2.

若=2, 则由式(1)得y=x, 再由式(3)得 若y=-x, 则由式(3)得, 于是得到4个可能的极值点为 由于f(M1)=f(M2)=450, f(M3)=f(M4)=150, M1(5, -5) 和M2(-5, 5)均可作为攀登的起点.