第七章 线性定常系统的状态 空间分析与综合

本 章 内 容 7.1 控制系统的状态空间表达式 7.2 状态空间表达式的解 7.3 控制系统的能控性与能观性 7.4 状态反馈与状态观测器

经典控制理论和现代控制理论之间的区别： 经典控制理论 现代控制理论 研究方法 ①传递函数（或微分方程）； ②研究输入-输出的关系； ③经验方法； ①状态空间分析； ②研究输入-状态变量-输出的关系； ③解析法、最优法； 研究问题 ①线性定常系统； ②单输入-单输出； ①线性（定常、时变连续、离散）、非线性； ②多输入-多输出；

7.1 控制系统的状态空间表达式 7.1.1 控制系统的状态空间表达式 1、基本概念 1）状态变量：能够完全确定系统运动状态的最小 7.1 控制系统的状态空间表达式 7.1.1 控制系统的状态空间表达式 1、基本概念 1）状态变量：能够完全确定系统运动状态的最小 个数的一组独立变量。 注：①n阶系统（即用n阶微分方程描述的系统） 有n个独立变量； ②状态变量不是唯一的，但数目是唯一的，用 表示。

由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即： 2）状态矢量 由n个状态变量x1(t),x2(t)…xn(t)组成的矢量x(t)称为状态矢量，即： 或 简记

3）状态空间和状态轨迹 以n个状态变量为x1,x2…xn为坐标轴所构成的n维 空间称为状态空间。 为状态空间的一个初始点， 为状 态空间中对应t时刻的一个点。当t由 时 在状态空间中形成点的轨迹，称为状态轨迹。 4）状态方程 由系统状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。

例7.1 建立如图所示R-L-C网络的状态方程。 解：选取uc和i为状态变量，则由电路原理得： 写成状态变量的导数在等式左端，状态变量在右 端的标准形式，即状态方程为：

若令 ， 写成矩阵形式： 或 其中

列写状态方程的一般步骤如下： ① 确定状态变量（完全、确定的描述系统 的最少独立变量个数）； ② 由物理规律写出关于状态变量的一阶微 分方程组； ③ 化成标准形式：状态变量的导数在等式 左端、状态变量在等式右端。

5）输出方程 反映系统输出于状态变量间的函数关系式称为输出方程。 例7.1中，若输出用 表示，确定 作为输出，则输出方程为： 或 写成矩阵形式： 或 式中

列写输出方程的步骤： ①写出输出与状态变量的表达式； ②将该表达式写成矩阵形式。 6）状态空间表达式 状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空 间表达式。

7）状态变量的非唯一性和状态方程的非唯一性 在例7.1中，取 和 两个状态变量 经过一系列化简得： 可见，①在同一系统中，状态变量选取不同时， 状态方程也不同； ②状态变量的非唯一性，如果是状态矢量，只要 阵P是非奇异的（满秩），那么也是状态矢量。

2、单输入-单输出系统状态空间表达式的一般形式 设状态变量为 ，则状态方程的一般 形式为： 输出方程式一般为：

写成向量矩阵形式的状态空间表达式为： 式中: 为n维状态矢量 为(n×n)的系统矩阵，反映 系统内部联系

为（n×1）维矩阵（列阵）,即为输入矩阵 或控制矩阵 为（1×n）的输出矩阵（行阵），建立输出和状态的关系 。

3、多输入-多输出系统状态空间表达式的一般形式 若系统具有r个输入，m个输出，则状态方程为：

输出方程一般为： 其状态空间表达式的矢量矩阵形式为：

式中：x和A同单输入系统 为r维输入矢量； 为m维输出矢量 为 维输入矩阵

为 维输出矩阵 为 维直接传递矩阵

多输入-多输出系统的模拟结构框图： 一般地（除特别说明），为简单起见，令 ，即不考虑输入矢量的直接传递作用。

4、状态空间表达式的模拟结构图 方框图：经典控制理论中以传递函数表示系统信号之间传递关系； 模拟结构图：现代控制理论中用积分器表示的系统信号之间传递关系； 积分器：框图内传递函数为 ，其个数等于状态变量的个数，即积分器的输入端为 ，输出端为 ，用图示表示为： 或

模拟结构图的绘制步骤： ①确定积分器的数目，积分器的数目等于状态变量的数目或微分方程的阶数； ②每个积分器的输出表示相应的单个状态变量，输入为状态变量的导数； ③根据微分方程或状态方程和输出方程，确定加法器和比例器，并用箭头将这些元件（积分器、加法器和比例器）连接起来。

例7.2 画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图 解：①微分方程为三阶，故有3个积分器，先画出3个积分器； ②将微分方程写成最高导数项在等式左端的表达式，即为

③其余导数项前的系数分别为各比例器的数值， 输入变量前的系数为输入比例器的数值，等式 右端为4项的代数和，即加法器有4个分支输入。 可得出相应的模拟结构图：

例7.3 画出以下状态空间表达式描述系统的 模拟结构图： 解：先画出3个积分器，由状态方程所确定的关 系连接有关积分器，最后画出输出方程的关系， 即得

7.1.2 建立状态空间表达式 状态空间表达式建立的3种方法： ①由系统的方块图，根据系统各个环节的实际连结求出； ②由（物理、化学、电子等）机理出发进行推导求得； ③由系统运动的微分方程和传递函数。 本小节介绍前两种方法

1、由系统框图建立状态空间表达式 步骤：①由框图转化为模拟结构图； ②取每个积分器的输出作为一个状态变量； ③根据模拟结构图实际连接写出状态空间表达式。 例7.4 系统的方块图如下图所示，试求其状态 空间表达式。

解：利用方框图的等效简化原则，将传递函数化成包含积分器的负反馈回路表达形式： 以第一个框图为例：

等效 依次类推，可求出第二、第三个方块图对应的包 含积分器的负反馈回路形式的表达式。

从图可得状态方程： 输出方程 ：

写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为： 注：对于含有零点的环节，先展开成部分分式，即

2.从系统的机理出发建立状态空间表达式 例7.5 试列写下图所示的RLC网络，以i2为输出的状态空间表达式。 分析：此网络中含有 储能元件，可以选择 它们的电流或电压作 为状态变量，但需注 意必须保证状态变量的独立性（即线性独立性）。

解：根据基尔霍夫定律列写网络的两回路和 一节点方程： 考虑到这三个变量 相互之间是线性独立的， 故可以确定为系统的状态变量，即令

代入整理得状态方程为： 因 指定为输出，故输出方程为：

例7.6 试列写图9.8所示机械系统以质量块 的位移 为输出的状态空间表达式。 解：此系统为单输入/单输出系统， 由图得系统微分方程 这是一个二阶系统，意味着该系统包 括两个积分器，定义状态变量：

于是得到： 即： 输出方程为： 写成矩阵形式为 ：

7.1.3 传递函数与状态空间表达式的等价转换 对于一个单输入单输出线性定常系统，它的运动 方程是一个 阶线性常系数微分方程： 传递函数为： 状态空间表达式为： 问题：对于同一系统，前两者与第三者如何实现 等价转换？

注意：（1）实现转换存在条件是 ： ①当 时，状态空间表达式中 ； ②当 时， ,在这种情况下传递函数可 写成: （2）若传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现零极点对消，转换是严格等价的； （3）实现转换是非唯一的， 有各种形式， 对应得到各种不同的状态空间表达式。

1.由传递函数求状态空间表达式 1）传递函数无零点时的实现（无输入导数项） 此时，系统的微分方程为： 传递函数为：

法Ⅰ：微分方程整理可得： 令： ， ，…， ， 则： ， ，…， ， 输出方程为：

矩阵形式为： 阵为友矩阵，即主对角线上方元素为1， 最后一行元素可取任意值，其余元素均为零。

法Ⅱ：先画出模拟结构图，由模拟结构图求状态 空间表达式。 步骤： ①首先将传递函数化成 的形式； ②将H所表示的和式画成并联的形式； ③相加点移动； ④写出表达式。

即： 对比得： （n项串联） （n项并联，注意引出点位置）

系统的模拟结构图如图所示：

例7.7 系统的微分方程为 ， 写出其状态空间表达式。 解：系统的传递函数为： 其中：

画出相应的模拟结构图：

将分支点相应前移： 由结构图可得状态空间表达式为：

2）传递函数中有零点时的实现（含有输入导数项） 系统的微分方程为： 传递函数为： 以三阶系统为例进行分析 ：

令 则 再令

对 式子进行串联分解，引入中间变量 ， 可得下图： ⑴ ⑵

法Ⅰ： 步骤：① 利用传递函数无零点的转换方法求式⑴的状态方程即输出方程： 对应的微分方程为： 即：

取 则 ②消去中间变量 ： 对式⑵取拉氏反变换得： 而 则

③综合可得最后状态空间表达式：

法Ⅱ： 步骤：①采用传递函数无零点时的转换方法， 画出 对应的模拟结构图：

②画出 对应的模拟结构 图：（注意 ） 即： ③由整图可得状态空间表达式。

对于n阶系统类似地有： 对比传递函数无零点与有零点时的状态空间表达 式可知：两者的状态方程相同，而输出方程不同， 可根据传递函数写出表达式。

试写出其状态空间表达式。 例7.8 已知系统的输入输出微分方程为 解 由微分方程得 状态方程表达式为

2.由状态空间表达式求传递函数 1）单输入--单输出系统 设系统的状态空间表达式为： 设初始条件为零，进行拉氏变换得： 整理可得传递函数： 可见，此时传递函数为一标量。

2）多输入—多输出系统 仿上可以求得多输入多输出系统传递函数阵为： 可见，此时传递函数为一（m×r）的矩阵。 3）传递函数阵的不变性 即状态空间表达式不是唯一的，但传递函数不变。 可以进行以下简单的证明。

已知系统的状态空间表达式为： 令 ，则 那么 可见，对同一系统，其传递函数阵是唯一的。

7.1.4状态空间表达式变换为对角线和约旦标准型 1.系统状态空间表达式的非唯一性 选择不同的状态变量，可以得到不同的状态空间 表达式。不同的状态变量可以通过非奇异相互变 换，这样可以转换成标准形式使后面的研究简化。 设系统为： 对于任意状态变量x进行非奇异转换，令 即 ，其中T为转换矩阵。

代入整理得： 令 则 由于T为任意选取的非奇异转换矩阵，故状态空间 表达式形式不唯一。

为了介绍转换矩阵的求法，先来研究系统特征 值、特征矢量的求法。 2.系统特征值的不变性及系统的不变量 系统特征值的概念 系统矩阵A的特征值，即特征方程 的特征很。 若A为n×n方阵，则A有n个特征值。

2)系统的不变量与特征值的不变性 定理：系统 经非奇异变换后， 特征值不变且特征多项式 的系数 ， ,‥, ， 也不变。 证明：设转换矩阵T非奇异，经X=TZ转换后， 系统变为： 其特征多项式为：

而 可见，系统特征值不变，而特征值完全由特征 方程的系数决定，则它们也是系统的不变量。

3）特征矢量 设 为A的一个特征值，若存在某个非零矢量 ， 满足 ，则称 为的对应于 的特征矢量。 3、 状态空间表达式变换为对角线标准型 和约旦标准型 1）系统矩阵A具有任意形式 定理7.1 ①对于线性定常系统，如果其特征值 互异，则必存在非奇异矩阵T，经过变换 ，将原状态空间表达式化为对角线

标准型。即 ，经过变换 ，化为 式中

②如果特征值包含有q个重根 时，则将原状态 方程化为约旦标准型：

变换步骤： 当特征值互异时： ①由特征值求得∧阵； ②求出各个特征值对应的特征矢量 ，由于 互异，则 线性无关； ③找非奇异转换矩阵 ，求 ； ④求 ， 。

当特征值包含q重特征值 时： ①求约旦阵J； ②找 ，其中 对应（n-q）个单根矢量，求法同前；q个 重特征值的各向量 如下求解： 其中 为对应 的特征矢量， 为广义特征矢量； ③求 。

例7.9 试将下列状态空间表达式化为约旦标准型。 解：先求出A的特征值： 解得：

设对应重根 的特征向量为 由 得: 即 ,取 则得

设 ，由 得： 取 ，则得 设 ，由 得：

得到变换矩阵： 变换后的矩阵分别为：

2) A为友矩阵 定理7.2 对线性定常系统，如果特征值互异， 且系统矩阵A具有友矩阵形式时，则将系统原状 态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵T可取如 下形式（称为范德蒙德Vandermonde矩阵）

当A的特征值包含q重根时，

4.传递函数的并联型实现 传递函数的极点即系统的特征值，包含两种情况： ①所有特征值互异；②包含重特征值。分别讨论： 1）特征值互异 其中： 为系统的特征值

部分分式展开： 对应的模拟结构图有两种情况：

对于左图对应的状态方程及输出方程为： 左图对应的矩阵形式为： 右图对应的矩阵形式为： 可以看出两者均为对角线标准型，其实现是并联的。

2）包含重特征值 设系统有一个q重特征值 ，其余的 为互异根。此时，部分分式展开为： 分析： 前q项： 积分器串联 后（n-q）项： 积分器并联 两者为并联

以 为例，可由模拟结构图得到状态空间表达式为： 矩阵形式为：

7.2 状态空间表达式的解 7.2.1 齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程：输入向量为零时的状态方程，即 。 7.2 状态空间表达式的解 7.2.1 齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程：输入向量为零时的状态方程，即 。 定理7.3 若初始时刻t0时的状态为 ，则齐次状态方程 有唯一解 若初始时刻从t=0开始，即 ，则解为 。

式中 可展开成： 证明：令 则 代入方程 ，对应各项得：

若令t=0，则 那么 分析：① ：矩阵指数函数，是一个 的变函数矩阵，其元素是时间t的函数；

：状态转移矩阵，反应了状态变量从初始 时刻的 到任意时刻 的状态变量 的矢量变换关系，从而实现状态转移，记 ③若初始时刻 ，初始状态 ，则齐次方程的解为 。

7.2.2 状态转移矩阵 1、性质 1）组合性质（几何意义）： 在二维空间的二维状态矢量：初始时刻 的状态矢量 ， 时的状态矢量分别为 ，且已知 ，则

由 到 ： 由 到 ： 由 到 ： 那么 意义：状态变量的取值与过程无关，只与所处状态有关。 另一种形式：

2） 证明： 所以 意义：状态矢量从时刻t又转移到时刻t，则状态 矢量不变

3）可逆性： 证明： 则 4）

证明：根据矩阵指数函数的定义 ：

由于t为标量，则

5）传递性： 证明： 6）对 ，当且仅当 时，有 ，那么当 时， 。 意义：除非 可交换，否则它们矩阵指数函数之积不等于它们和的矩阵指数函数。

2、计算 1）根据定义： 2）利用变换为对角线标准型、约旦标准型计算： （1）若 为对角线矩阵，即 ，则 。

证明：

（2）若 可通过非奇异变换予以对角线化，即存在非奇异变换矩阵 ，使 ，则 证明：由 可得

（3）若 为约旦矩阵（对应 重根 ），即 ，则

⑷若 可化为约旦标准型，即存在非奇异变换矩阵 ，使 ，则 。 ⑸若 矩阵是约旦阵，即 式中 为约旦块， 则

3）利用拉氏变换法计算： 证明：设齐次微分方程 。 两边取拉氏变换得： 取拉氏反变换对比得：

4）基于凯莱-哈密顿定理计算 ①凯莱-哈密顿定理是指矩阵 满足其自身的特 征方程 ，即 ，那么 即 是 的线性组合。同理：

依次类推 均是 的线性组合。 在 的幂级数表示法中，利用上述线性组合， 关系消去 及其以上的幂次项，可得： 说明：系数 是关于t的各次 幂的多项式； 系数 均是无穷项和。

的求法： 第一种情况： 的特征值 互异。 由于 与 可以互换，则 也满足特征方程： 写成矩阵形式：

第二种情况： 的特征值含有 重根

例如：A的特征值有三个，两个都为 ，另一个为 则 从而

例7.10 已知 ，求 。 解：法一：定义 法二：化标准型 先求特征值，由 得：

为友矩阵，则 法三：拉氏变换法

法四：凯莱哈密顿定理 其中

7.2.3 非齐次状态方程的解 非齐次状态方程： 所谓非齐次，即 ，此时线性定常系统在控制 作用下的响应做强迫运动。 定理7.4 若初始时刻 ，初始状态 时；状态方程 的解为 当初始时刻为 ，初始状态为 时，其解为

即由两部分组成，等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二项表示由控制激励作用引起的强制运动。 证明：对 两端同时左乘 ： 在 间积分：

若初始时刻为 ，初始状态为 时，在 间积分有 说明：该定理还可以使用拉氏变换法进行证明。

7.3 控制系统的能控性与能观性 能控性是指状态变量能否都由输入量控制，即 能否控制 ；能观性是指输出量能否反映所有状态变量，即 能否反映 。两种性能是状态反馈、状态观测器及最优控制的基础。 7.3.1 能控性的定义及判别准则 1、定义： 主要考察输入量 能否控制状态变量 ，而与输出 无关。

定义7.1 状态能控：对于状态方程为 的线性定常连续系统，如果存在一个分段连续的输入 ，能在 有限时间区间内，使系统由某一状态 转移到任意终端状态 ，则称此状态是能控的。 系统能（可）控：若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是能（可）控的；或使系统由任意初始状态 转移到任意终端状态 ，则称此系统是能（可）控的。

说明：①任意状态不包括无穷远点； ②系统能控定义中系统的初始状态及目标 状态均为状态空间的任意有限点（指任意非零有限点及空间原点）。 ⅰ、可控性定义：对线性定常连续系统 能在 有限时间内， 将系统从任意(非零)初始状态转移到零状态，即 。 ⅱ、可达性定义：对线性定常连续系统 能在 有限时间内， 将系统从空间原点转移到任意非零有限点 ，即 。

注意：①可控性与可达性是等价的，即如果系统可控则存在 将 转移到任意 状态，同样也存在 将 转移到 状态，说明该系统也可达。 ②任意非零有限点 空间原点 任意非零有限点。 说明： ①以后讨论能控性定 ； ②主要讨论分段连续 能将 ， 哪些状态能控以及能控状态的状态空间分布。

2、能控性判别准则： 1）能控性矩阵判别准则： 定理7.5 线性定常系统 ，其状态完全可控的充要条件是由 阵所构成的能控性判别矩阵 满秩，即 式中，n是矩阵 的维数。

证明：该系统的解为： 令 ，且 其中：

应用凯莱-哈密顿定理： 代入得：

其中，为 矩阵， 为 维矢量，那么定积分 也为 维矢量，其中 。

令 ， 为 维矢量。则有 分析：①上式是具有 个变量， 个方程的线性非齐次方程组， 是 维矩阵，其元素已知；； 是给定的初始状态， 个元素已知； 是 个元素的矢量，其元素待求已知，与控制向量 有关；

④能控性问题转化成任意给定一个初始状态 ，求在 时间内将状态由 的控制向量 ，即给定 和系数矩阵 ，从该式中求出 ； ⑤由线性方程组解的定理知：有解的充要条件是系数矩阵 和增广矩阵 的秩相等，即 ，由于 是任意给定的，则必有 满秩，即 ，称 为能控性判别矩阵； ⑥特例：当 时， ，需满足 。

例7.13 判别下列系统的能控性： 解 构造并计算能控性判别矩阵 ： 故 ，而 ，所以该系统不能控。

2）约旦（包括对角线）标准化后的能控性判别准则 非奇异变换不改变系统的能控性。 证明： 经过非奇异变换 后得： 所以变换后的能控性判别阵为：

由线性代数理论可知：任意矩阵用一个非奇异矩阵左乘、右乘后秩不变。从上式说明，非奇异变换不改变系统的能控性。 定理7.6 系统 具有互异特征值，经变 换后为对角线标准型 ，式中 ， 则其状态完全可控的充要条件是 各行元素 不全为零。

注意：该定理只针对系统具有互异特征值。 定理7.7 具有多重特征值时，可转换成约旦标准型 ，式中 ，则其状态完全可控的充要条件是每个约旦块 最后一行对应的 相应各行线性无关。 注意：单特征值可看作特殊情况，所对应的 也可利用该方法； 当每个重特征值只对应一个约旦块时，只判断每个约旦块 对应的最后一行的 不全为零即可。

例7.15 判断下列系统的能控性 能控 （1） （2） 能控 （3） 不能控

实例分析： 系统1： 其模拟结构图为： 分析： 只能控制状态变量 ，不能直接制 ，由于 为对角阵时，系统之间并联关系，状态变量间相互没有影响，此时整个系统不可控。

结论：要保证系统能控，须满足： ⅰ、模拟结构图中u(t)经过所有的状态变量； ⅱ、状态方程中，每个方程右端均包含输入项，即 中所有行中元素不全为零。 系统2： 系统3：

对应的模拟结构图分别为： 系统2： 系统3：

分析：两系统均为串联结构，系统2中 通过 作用于 ，即 可控制 ，故该系统能控。 系统3中， 只能控制 ，但不能控制 ，故该系统不能控。 结论： 为约旦阵时具有串联结构，状态变量间可相互影响，要保证系统能控，须满足： ⅰ、模拟结构图中 要作用于最前端的状态变量； ⅱ、状态方程中每个约旦块最后一个方程包含输入项，即每个约旦块 最后一行对应的 元素中不全为零。

例7.16 控制系统如下，试用两种判别准则， 分别判别其能控性 解 （1）先用约旦标准化后的能控性判别准则来判别， 分三种情况分析 ⅰ 若A的特征值互异，其变换矩阵

变换后系统矩阵为对角阵，而 阵各行元素均不为零，由定理9.6，系统状态完全能控。

ii 若A阵具有两重特征值 则可变换为约旦标准型，变换矩阵为 而变换后系统矩阵 两个约旦块最后一 行对应的 阵相应 行各个元素不为零， 故能控。

ⅲ 若A的特征值具有三重根 则变换矩阵 变换后系统矩阵为一个约旦块，对应 最后一行的元素不为零，故系统亦为状态完全能控。

（2）用能控性矩阵判别准则判别 显见，不论 取值如何，A都满秩，系统可控

7.3.2 能观性的定义及判别准则 1、能观性的定义： 通过有限时间内的输出值，能否观测系统的所有状态变量。 已知系统 解 式可得解： 则由 式可得输出：

说明：上式中 均已知，右端后两项由引出的输出可计算，故能观性的研究可只从齐次方程出发。 定义：线性齐次状态空间表达式 状态 能观/可观：对任意给定的输入 ， 在有限观测时间 ，根据 期间的输出 能唯一确定系统在初始时刻时的状态 ，则称 是能观的。 状态完全能观/可观：系统的每个状态变量都是能观的，则称该系统完全能观。

说明：①定义中把能观性定义对初始状态的确定， 因为一旦确定初始状态，便可求出各个瞬时状态； ② ，一般 。 2、能观性判别准则： 1）能观性矩阵判别准则： 定理7.8 线性定常连续系统 ， 系统完全能观的充要条件是其能观判别矩阵 满秩，即 。

证明：状态方程的解为： 则输出为： 由凯莱-哈密顿定理知：

也可写作： 分析：上式可看成一个含有 个未知量 的 个方程组称的线性方程组。当 时，方程组无唯一解，为了解出 个初始状态变量，必须由 个不同时刻 的输出值组成具有 个方程式的线性方程组。即

即： 由线性方程组解的定理知，要使 有唯一解，其充要条件是系数矩阵 和增广矩阵 秩均为 ，即 则要求 维矩阵 满秩，即 另记 。

2）约旦/对角线标准化后的能观性判别准则： 定理7.9 线性定常系统 ，具有互异特征值，则其状态完全能观的充要条件是经非奇异变换后的 中所有各列元素不全为零。 定理7.10 包含重特征值的 阶系统，经非奇异变换后为约旦标准型： 其状态完全能观的充要条件是每个约旦块（相同特

征值分布在同一个约旦块）首列所对应 的相 应各列元素不全为零。更一般地，充要条件是 即每个约旦块的首列所对应 的各列线性无关。 注意：非奇异变换不改变系统的能观性。 实例分析： 系统1：

解状态方程及输出方程得： 模拟结构图为：

分析：由图中可看出，若满足系统完全能观，则 中每一列元素不能全为零，即图中 至少有一个不为零，若 ，则输出 中不包含 ，由于对角线标准型对应的模拟结构图呈并联结构，即 间不存在相互影响，则 中只能考虑是否直接包含 即可。 结论：ⅰ、模拟结构图中所有状态变量至少流向 的一个分量； ⅱ、状态方程中每个状态变量至少在输出方程出现一次，即 中各列元素不全为零。

系统2： 则，

由上式可知，当且仅当 中第一列元素不全为零时， 中总包含 ， 阵其他列可全为零，故 为约旦阵且相同特征值分布在一个约旦块内时， 输出阵中与约旦块最前一列对应的列不全为零。

7.3.3 能控性与能观性的对偶关系 1、定义： 系统 ，若满足 ， ，则称 互为对偶。 2、特性： 1）对偶系统传递函数阵间的关系 结论：互为倒置。

2）对偶系统特征方程间的关系 结论：特征方程相同，特征值不变。 3、对偶原理： 定理7.11 系统 互为对偶，则若 是状态完全能控的（能观的），则 是状态完全能观的（能控的）。 证明：对 ：

若 ，则 ，即 可控等价 可观。 7.3.4 能控标准型与能观标准型 （1）同一系统状态空间表达式不唯一，通过非奇异变换，不改变系统的能控/能观性，通过非奇异变换：化为约旦标准型-方便状态转移矩阵计算 化为能控标准型-便于实现状态反馈 化为能观标准型-便于设计状态观测器 （2）前提：只有系统完全能控/能观，才能化成相应的标准型。

问题的提出：对于系统 如果系统能控，需满足 上式中有且仅有 个 维列向量线性无关，在 个列向量中选取 个线性无关的列向量，那么以某种线性组合仍能导出一组 个线性无关的列向量 ，从而导出状态空间表达式的某种能控标准型。

同理，可导出相应的某种能观标准型。 对于单输入单输出系统，在 中只有唯一的一组线性无关的向量，因此，一旦组合律确定，其能控/能观标准形式是唯一的。 对于多输入多输出系统，在 中选择 个独立变量的取法不唯一，则标准型也不唯一。 故本节仅讨论单输入单输出系统的能控标准型及能观标准型。

1、单输入系统的能控标准型 1）能控标准型Ⅰ型 定理7.12 若线性单输入系统 能控，则存在线性非奇异变换 ，式中 将原状态空间表达式变换为如下能控标准Ⅰ型：

式中 其中， 为特征多项式 的系数， 是 相乘的结果

证明：已知系统 是能控的， 则有 ，即 个列向量 线性无关，则由它们构成的 个新矢量 ：

取 则

……

可见 是两矩阵相乘而得，当然其 也存在。 求 ：由 知，先求 ，而求 比较困难，采用迂回方法： 分析：由上式可看出，只要等式右端变换为 乘以某个矩阵，那个这个矩阵就是 。 由凯莱-哈密顿定理知：前 项为零，

则 同理： 代入得：

整理得： 再求 ： ，仿 求法：

求 ： 令 2）由能控标准Ⅰ型得 求系统的传递函数阵 其中

第二列乘以 、第三列乘以 、…、第n列乘以 均加到 第一列得

求 ： 在 中 ，那么 只需求出 中的最后一列元素，即对应 中最后一行的代数余子式：

3）能控标准Ⅱ型 定理7.13 若线性定常单输入系统 能控，则存在线性非奇异变换 ，其中 ，将原表达式变换为能控标准Ⅱ型： 式中 其中 是 的特征多项式系数。

2、单输出系统的能观标准型 1）能观标准Ⅰ型 定理7.14 若系统 能观，则存在非奇异变换 ， 将表达式变换为能观标准Ⅰ型： 式中 可看出，能观标准Ⅰ型与能控标准Ⅱ型互为对偶。

2）能观标准Ⅱ型 定理7.15 若系统 能观，则存在非奇异变换 ，式中 将表达式变换为能观标准Ⅱ型：

式中 可看出，能观标准Ⅱ型与能控标准Ⅰ型互为对偶。 可写出系统的传递函数：

例题7.17 写出该系统的能控标准型及能观标准型。 解：能控标准型： 判别系统的能控性： 由于 ，所以系统能控。

特征多项式： 能控标准Ⅰ型： 即

能控标准Ⅱ型： 即

判断能观性： 由于 ，则该系统能观。 则由对偶原理可得相应的能观标准型。

7.4 状态反馈及状态观测器 7.4.1 状态反馈 1、概念：对系统 状态反馈：将系统的每个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减，其差形成的控制规律，作为受控系统的输入。 对于 个状态变量 ，引入状态反馈系数矩阵 ，则有

作为反馈与 相减而成新的输入结构图如图所示： 2、状态反馈系统的状态空间表达式 将 代入得：

反馈前后表达式进行比较： ①系统维数没有改变； ②系统的特征多项式由 变 为 ； ③通过改变 各分量，可以调节系统极点分布，从而进行性能分析。 以下分析只对于单输入单输出系统。

3、状态反馈系统任意配置极点的条件： 定理7.18 如果原受控系统能控，则对其进行状态反馈可任意配置极点。 证明：设系统 引入 后， 目的：求 的根，即特征值（极点） 方法： 能控系统 经变换 得能控标准型

其中， 引入状态反馈系数矩阵 后，系统的能控性不变。

经过非奇异变换 后的系统 即 其中

若已知系统要求配置的极点/特征值为 那么希望的特征多项式为 则由 对比系数可得： 即得 ，那么 得证。

注意：非奇异变换不改变系统的特征值及极点 状态反馈不改变系统的能控性 4、状态反馈系数 的计算 系统 引入状态反馈后为 1） 为任意形式：直接求 步骤： ⅰ、判断系统能控性； ⅱ、

ⅲ、求希望特征多项式： 如果要求系统希望特征值为 则 ⅳ、对比系数求得 ： 由 得： 继而求得：

例7.22 对系统 设计 ，使闭环极点分布在 。 解：①能控性： 由于 ，则 ，那么该系统能控。

②设 ③希望特征多项式为：

④由 对比系数得： 引入 后，系统的模拟结构图为：

2） 为能控标准型 步骤：ⅰ、判断能控性； ⅱ、系统的特征多项式：

ⅲ、希望特征多项式： ⅳ、由 对比系数可得：

例7.23 受控系统为能控标准型 设计状态反馈系数矩阵K，将系统的闭环极点 配置到 -2，-2，-1 解 ⑴因为系统本身为能控标准型，故系统能控。 设状态反馈系数矩阵

从而 欲将系统的闭环极点配置到 -2，-2，-1 则希望特征多项式为 令 对比系数即得

3） 为任意矩阵 先得能控标准型 ，计算 ，再求 。 步骤： ⅰ、判断能控； ⅱ、求 的特征值，转换为能控标准型； ⅲ、引入 后的特征多项式： ⅳ、希望特征多项式： ⅴ、由 对比系数得 ； ⅵ、由 得 。

例7.24 同例7.22 解 能控性判别同例7.22 先求系统的不变量 得到系统不变量为 设反馈矩阵为

在例7.22已求得 令 得 由 再求 因此，

5、引入状态反馈后系统的能控性及能观性 1）能控性不变 2）不能保证系统能观性不变

7.4.2 状态观测器 1、概念： 状态变量不总能直接得到，那么要实现状态反馈，就要采用一种间接方法，即根据系统能够测量到的一些变量（如输出量）来构造状态变量（即状态变量的估计值），使其逼近真实状态变量。 定义：能够根据测量得到的输入和输出量，重造系统状态估计值的动力学系统。

2、结构 利用原系统的 ，构造一个模拟系统： 分析：只有当模拟系统与受控系统初始状态变量相同，且在同一输入作用下，才有 。但实际上 与 间存在很大差别，且由此产生对应输出

与 的误差，这样，可以利用 与 间的误差对 进行修正，使 逼近于 。 方法：将 通过 阵控制模拟系统的状态变量 。模拟结构图如下图示：

状态观测器的状态空间表达式为： 如何确定 阵，使 尽快趋于 。

设初始条件为 ，则齐次状态方程的解为： 分析： ①当 时， ，即 可代替 ； ②当 时，若使 ，须满足 的特征值（系统极点）分布在 平面左半平面，即具有负实部；

③ 趋于 的速率取决于 特征值的分布，那么通过选择 阵，使 的特征值任意配置； ④状态观测器可任意配置极点的条件：原系统能观 的特征值= 的特征值 = 的特征值 记 系统 完全能控时，存在一个状态反馈阵 使系统极点可任意配置， 即系统 完全能控等价系统 完全能观

结论：若系统 完全能观，则存在 阵使状态观测器极点可任意配置。 设计状态观测器步骤：对系统 ①判断能观性； ②对单输出系统，设状态反馈阵 ， 得状态观测器特征多项式： ③由题意得希望特征多项式： ④对比系数得 阵 ⑤写出状态方程。

例7.25 对系统 设计状态观测器，使极点分布在 。 解：判断能观性： 由于 ，则系统完全能观。 设 ， 则

希望特征多项式： 对比系数得： 状态方程为：

3、降维状态观测器 全维状态观测器：维数与受控系统维数相同，即 也是 维矢量。 降维状态观测器：维数低于受控系统维数。 由于输出矢量可测量，那么可以从 中直接获取部分状态变量，从而降低观测器维数。 若系统状态完全能观，且输出矩阵 的秩是 ，则由 可直接得到 个状态变量，因此只需重构不能从 中得到的 个状态变量，即 维。

7.4.3 带状态观测器的闭环控制系统 1、系统的结构与状态空间表达式 利用状态观测器得到的 构成状态反馈，形成闭环控制系统。 对系统 构成的闭环控制系统如图所示：

状态反馈系统方程： 状态观测器方程：

2、分离特性： 分离定理：受控系统能控且能观时，利用状态观测器估计值形成状态反馈时，其复合系统的状态反馈设计与观测器设计可分别独立进行。 例7.27 给定系统的状态空间表达式为 试设计状态观测器反馈阵 ，将观测器极点配置在-5和-5处；设计状态反馈矩阵 ，使反馈系统的极点配置在 。

解：⑴ 判断能控性和能观性。 能控性判别阵： 能观性判别阵： 由于 ，系统即能控也能观，因此可以任意配置系统极点和观测器极点。

⑵ 设计状态观测器的反馈阵 设观测器反馈阵 ，则 而观测器期望的特征多项式： 比较系数得：

⑶ 设计状态反馈矩阵 设状态反馈增益阵 ， 则系统的闭环特征多项式 系统期望的特征多项式为 比较系数得