第1章 波函数与Schrödinger方程

1.1.1 实物粒子的波动性 在Planck-Einstein的光量子论（光具有波粒二象性）的启发下，面对Bohr的原子的量子论取得的成功和碰到的困难，de Broglie(1923)提出了实物粒子（静质量 的粒子，例如电子），也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设. 即 与动量为 和能量为 的粒子相应的波的波长 和频率 为 并称之为物质波.

粒子的双缝干涉是最直观地展现波粒二象性的实验,也是量子力学中最难理解的现象. We can not explain how it works; We will just tell you how it works. 粒子的双缝干涉是最直观地展现波粒二象性的实验,也是量子力学中最难理解的现象. 为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现 的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子 弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验 的结果。

图 中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝.当只开缝 时，靶子上子弹的密度分布为 . 1.3(a) 图 中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝.当只开缝 时，靶子上子弹的密度分布为 .

当只开缝 时,靶上子弹的密度分布为 ； 当双缝齐开时，经过缝 的子弹与经过缝 的子弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子弹密度的分布简单地等于两个密度和 结论 子弹经过缝 的运动轨道, 与缝 存在与否，并无关系.

1.3(b) 图 给出声波的双缝干涉图像. 表示一个具有稳定频率 的声源,声波经过一个具有双缝的隔音板,在它后面有一个“吸音板”,到达板上的声波将被吸收,并把声波强度分布表示出来.

当只开缝 时，显示出声波强度分布用 描述.当只开缝 时,强度分布用 描述.当双缝齐开时，强度分布用 描述. 实验表明 当只开一条缝时声音很强的地方（例如 点和 点）,在双缝齐开时,声音可能变得很弱. 原因是由于出现了声波的干涉现象. 下面通过对其干涉项的研究,来具体找出经典 和量子的区别!

设分别打开缝 和缝 时的声波用 和 描述，双缝齐开时的声音则用 描述 ，因此声波强度分布为 波的相干叠加性 由于干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒子的密度分布大不相同.

人们应如何理解在干涉实验中 分子所展现出的这种波粒二象性呢？ 人们可以设想，如在图 所示实验中，用 分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应该没有什么差异.但此时波的强度是代表被测到的 人们应如何理解在干涉实验中 分子所展现出的这种波粒二象性呢？

1.1.2 波粒二象性的分析 人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrödinger, de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度.

稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。例如，在非相对论情况下，自由粒子能量 利用de Broglie关系，可得 所以波包的群速度（见附录 ）为 即经典例子的速度.但由于 依赖于

自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包很窄,在经历一段时间后,也会扩散到很大的空间中去;或者形象地说,随时间的推移,粒子将越来越“胖” 自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包很窄,在经历一段时间后,也会扩散到很大的空间中去;或者形象地说,随时间的推移,粒子将越来越“胖”.这与实验是矛盾的. 物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的。 与物质波相反的另一种看法是:波动性是由于大量电子分布于空间形成的疏密波.它类似于空气振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形成的一种分布.这种看法也与实验矛盾.

实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射电子流极其微弱. 电子几乎一个一个地通过仪器. 但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样 实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射电子流极其微弱.电子几乎一个一个地通过仪器.但只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样.这表明电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时才呈现的现象.单个电子就具有波动性.事实上,正是由于单个点在具有波动性,才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象. 因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一面,而实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性.

然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？“电子既不是粒子,也不是波”. 更确切地说,它既不是经典例子,也不是经典的波 然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？“电子既不是粒子,也不是波”.更确切地说,它既不是经典例子,也不是经典的波.我们也可以说,电子既是粒子,也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念中的粒子. 在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体上去 然而究竟应该怎样理解波粒二象性呢？

1.1.3 概率波，多粒子体系的波函数 仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的概念有必然的联系.而电子呈现的波动性，也只不过是波动最本质的东西——波的相干叠加性，但并不一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起. § 把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M.Born(1926)提出的概率波.

现在来分析电子的双缝干涉实验，设入射电子流很微弱，电子几乎是一个一个地经过双缝，然后在感光底片上被记录下来 现在来分析电子的双缝干涉实验，设入射电子流很微弱，电子几乎是一个一个地经过双缝，然后在感光底片上被记录下来.起初，当感光时间较短时，底片上出现一些点子，它们的分布看起来没有什么规律.当感光时间足够长时，底片上感光点子愈来愈多，就会发现有些地方点子很密，有些地方几乎没与点子.最后，底片上的感光点子的密度分布将构成一个有规律的花样，与X光衍射中出现的花样完全相似，就强度分布来讲，与经典波（例如声波、压强波）是相似的，而与机枪子弹上的密度分布完全不同.这种现象应怎样理解呢？

原来，在底片 点附近干涉花样的强度 在 点附近感光点子的数目 在 点附近出现电子的数目 电子出现在 附近的概率 设干涉波波幅用 描述，与光学中相似，干涉花样的强度在空间的分布则用 来描述.但这里干涉强度 的意义与经典波根本不同，它是刻画电子出现在 附近的概率大小的一个量.

更确切的说， 表示在 点处的体积元 中找到粒子的概率.这就是Born提出的波函数的概率诠释. 根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为 ，即要求波函数 满足下列条件. 这称为波函数的归一化条件.但应该强调，对于概率分布来说，重要的是相对概率分布.

不难看出， 与 （ 为常数）所描述的相对概率分布是完全相同的。因此在空间任意两点 和 处， 描述的粒子相对概率为 与 描述的相对概率完全相同.换言之， 与 描述的是同一个概率波.所以，波函数有一个常数因子不定性.在这一点上，概率波与经典波有本质的差别.一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波动的能量将为原来的4倍，因而代表完全

不同的波动状态.正因为如此，经典波根本谈不上“归一化”，而概率波则可以进行归一化.因为，假设 则显然有 但 与 描述的同一个概率波. 没有归一化，而 是归一化的. 称为归一化因子.

波函数归一化与否，并不影响概率分布有何变化. 还应提到，即使加上归一化条件，波函数仍然有一个模为1的相因子的不定性，或者说，相位不定性.因为，假设 是归一化的波函数，则 （为常实数）也是归一化的，而 与 描述的是同一概率波. 以上讨论的是单个粒子的波函数.设一个体系包含两个粒子，波函数用 表示，其物理意义是

表示测得粒子 1 在空间体积元 中、同时粒子 2 在空间体积元 中的概率. 注意 描述的不是 维空间中某种实在 物理量的波动，而是 维空间中的概率波.这个 维空间只不过是标记一个具有 个自由度的体系的坐标的抽象空间. 对于 个粒子组成的体系，它的波函数表示为

其中 分别表示各粒子的空间坐标.此时 表示 粒子1出现在 中， 同时粒子 2 出现在 中， 同时粒子N出现在 中，

归一化条件表示为 所以 描述的是抽象的 维位形空间（configuration space)中的概率波. 以后，为了表述方便，引进符号 其中 代表对体系的全部坐标空间进行积分.

对于一维粒子 对于三维粒子 对于N维粒子组成的体系 这样，归一化条件就可以简单表示为

1.1.4 动量分布概率 按照已为衍射实验证实的de Broglie关系，若 为一个平面单色波（波长 ，频率 ），则相应的粒子动量为 ，能量为 .在一般情况下， 是一个波包，有许多平面单色波叠加而成，即含有各种波长（频率）的分波.因而相应的粒子动量（能量）有一个分布，与测量的位置相似，也可以设计某种实验装置来测量粒子的动量，晶体衍射实验就是其中的一种. 不难想象，与 表示粒子在坐标空间中的概率密度相似， 表示粒子的动量分布的概率密度.

这里 是 按平面波展开（Fourier展开）的波幅，即 其逆表示为 注意 代表 中含有平面波 的成分，所以粒子动量为 的概率与 成比例是自然的，即粒子动量在 范围中的概率为 .

不难证明 因为利用公式 及Fourier积分公式，可得

下面来分析电子衍射实验（图 ）.设电子（动量为 ）沿垂直方向射到单晶表面，即入射波具有一定波长 的平面波，则衍射波将沿一定的角度 出射， 由下式（Bragg公式）决定 式 给出了衍射角 （特别是 ）与入射粒子动量 的确定关系.如果入射波是一个波包，它的每一个Fourier分波（平面波）将各自按照一定的角分布 出射.

沿 角出射的波的幅度 正比于入射波包中相应的Fourier分波的幅度，因而沿 方向的衍射波强度

1.1.5 不确定关系 Born对波函数的统计诠释，把波粒二象性统一到概率波的概念上.在此概念中，经典波的概念只是部分地（波的叠加性）被保留下来，而另一部分内容则被摒弃.所以经典粒子运动的图像和概念对于微观粒子不可能全盘适.Heisenberg的不确定关系（uncertainty relation）对此做了做集中和最形象的概括.不确定关系Heisenberg于1927年根据逆向思维，并对一些理想实验进行分析和利用De-Broglie关系而得出的.

不确定关系表明，微观粒子的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这是波粒二象性的反映，在物理上可以如下理解：按照de Broglie关系 ，由于波长 是描述波在空间变化快慢的量，是与整个波动关系联系的量，因此正如“在空间某一点 的波长”的提法是没有意义一样，“微粒子在空间某一点 的动量”的提法也同样没有意义.这样，粒子运动轨道的概念就没有意义. 与经典不同！！

1.1.6 力学量的平均值与算符的引进 粒子处于波函数 所描述的状态下，虽然不是所有力学量都具有确定的值，但它们都有确定的分布，因而有确定的平均值.例如位置 的平均值为 这里假定了波函数已归一化.又例如势能 的平均值为

前面已提到，由于波粒二象性，“粒子在空间某一点的动量”的提法是没有意义的.因此不能像求势能平均值那样来求动量平均值，即 我们必须换一种方法来处理这问题. 按前面所述，给定波函数 之后，测得粒子动量在 中的概率为 ，其中

因此可以借助 来间接计算动量的平均值（利用式 （13）和 （14）） 注意

这样，我们就找到了用 来直接计算动量平均值的公式，而不必借助于 的Fourier变换 来间接计算（见式 ， ）.但只是就出现了一种新的数学工具—— . 算符 令 则式 可表成 称为动量算符.

上式表明，动量平均值与波函数 的梯度密切相关 上式表明，动量平均值与波函数 的梯度密切相关.这是可以理解的，因为按照de Broglie关系，动量与波长的倒数（波数）成比例，所以波函数的梯度愈大，即波长愈短（波数愈大），动量平均值也就愈大. 动能 和角动量 的平均值也可类似求出 （动能算符） （角动量算符）

是一个矢量算符，它的三个分量可以表示为

一般来说，粒子的力学量 的平均值可如下求出: 是力学量 相应的算符.如波函数未归一化，则

1.1.7 统计诠释对波函数提出的要求 统计诠释赋予了波函数确切的物理含义.根据统计诠释 1.1.7 统计诠释对波函数提出的要求 统计诠释赋予了波函数确切的物理含义.根据统计诠释 （a）根据统计诠释，要求 取有限值似乎是必要的，即要求 取有限值，但应注意， 只是表示概率密度，而在物理上只要求空间任何有限体积中找到粒子的概率为有限值即可.因此，并不排除在空间某些孤立奇点处 .例如， 是 的一个孤立奇点， 是包围 点在内的任何体积，则按统计诠释只要

r ( ) 就是物理上可以接受的.如取 （坐标原点）， 是半径为 的小球，显然，当 时,式 的积分值趋于 ，即要求 .如 时， ，则要求 就是物理上可以接受的.如取 （坐标原点）， 是半径为 的小球，显然，当 时,式 的积分值趋于 ，即要求 .如 时， ，则要求 r ( ) 2 3 r y ® （b）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）

但概率描述中实质的问题是相对概率。因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数. 例如平面波 ， 波包 但概率描述中实质的问题是相对概率。因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数.例如平面波 ， 波包.实际的波函数当然不会是一个理想的平面波或 波包，但如果粒子态可以用一个很大的波包来描述，波包的广延比所处理的问题的特征长度大得多，而且在问题所涉及的空间区域中粒子的概率密度可视为常数，则不妨用平面波来近似代替，例如在散射理论中，入射粒子态常用平面波来描述. （c）按照统计诠释，要求 单值，是否由此可得出要求 单值？否，在量子力学中还会有

在 空间不单值的波函数(例如计及自旋后的电子波函数，见第8章). （d）波函数 及其各阶微商的连续性.一般的要求 及其微商连续是不正确的（例如，见2.2节，2.3节的分析）.在学习了表现理论（特别是离散表象）之后，就会对波函数的统计诠释和量子态有更深入的理解（见第7章）.