第三章 时域分析法 本章主要内容 一、典型输入信号 二、一阶系统的时间响应 三、二阶系统的时间响应 ※ 四、高阶系统的时间响应 第三章 时域分析法 本章主要内容 一、典型输入信号 二、一阶系统的时间响应 三、二阶系统的时间响应 ※ 四、高阶系统的时间响应 五、误差分析和计算 六、稳定性分析

第三章 控制系统的时域分析法 教学目的： 1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响应和时域性能指标。 第三章 控制系统的时域分析法 教学目的： 1.掌握一阶、二阶系统在典型输入信号作用下的时域响应和时域性能指标。 2.了解高阶系统时域响应的特点。 3.掌握系统误差的概念和计算稳态误差的方法。 4.掌握系统稳定的概念和分析、判别系统稳定的方法。 重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。 难点：二阶系统时域响应的数学表达式。

时域分析的目的 §3.1 典型输入信号 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。 优点：直观、简便 §3.1 典型输入信号 在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。

一、典型输入信号

二、对典型输入信号的要求 常用的典型输入信号的数学表达 能够反映系统工作在最不利的情形； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。 常用的典型输入信号的数学表达 Asint 正弦信号 1 (t)，t=0 单位脉冲信号 单位加速度信号 t， t0 单位速度(斜坡)信号 1(t)，t0 单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称

三、典型输入信号的选择原则 脉冲信号：模拟系统突遭脉动电压、机械碰撞、敲打冲击等； 阶跃信号：实际系统的输入具有突变性质，例：模拟电源突然 接通、负荷突然变化、指令突然转换等； 速度信号：实际系统的输入随时间逐渐变化（匀速变化）。 　　保证典型输入信号与实际输入信号有着良好的对应关系，且代表最恶劣的输入情况，因此，当系统的设计基于典型信号来进行时，那么在实际输入的情况下，系统响应特性一般是能够满足要求的。 注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。

§3.2 一阶系统的时间响应 一阶系统： 凡是能够用一阶微分方程描述的系统。 典型形式： 极点（特征根）：-1/T §3.2 一阶系统的时间响应 一阶系统： 凡是能够用一阶微分方程描述的系统。 典型形式： 极点（特征根）：-1/T 一、一阶系统的单位阶跃响应

xo(t) t 斜率=1/T 1 4T 98.2% 5T 99.3% 99.8% 6T 3T 95% B 2T 86.5% 1T 0.632 A 63.2%

一阶系统单位阶跃响应的特点 响应分为两部分 表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程） 表示t时，系统的输出状态。 xo(0) = 0，xo() = 1 无稳态误差；随时间的推移， xo(t) 指数增大，且无振荡。 xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。 将一阶系统的单位阶跃响应式改写为： t ln[1-xo(t)] 即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。 　　该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。

二、一阶系统的单位速度响应

一阶系统单位速度响应的特点 经过足够长的时间(稳态时，如：t 4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t – T，即输出相对于输入滞后时间T； 系统响应误差为：

三、 一阶系统的单位脉冲响应

一阶系统单位脉冲响应的特点 瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0； xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减； 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。

一阶系统的时间响应 时间响应：系统在典型输入信号的作用下之输出。 1.单位阶跃响应 2.单位速度响应 3.单位脉冲响应

系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。 四、线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。 注意到： 即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。 这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。

§3.3 二阶系统的时间响应 二阶系统： 其中：T 为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。  称为阻尼比； §3.3 二阶系统的时间响应 二阶系统： （凡是能够用二阶微分方程描述的系统） 其中：T 为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期。  称为阻尼比； n＝1/T 为系统的无阻尼固有频率。 一、二阶系统的特征方程： 极点（特征根）：

1. 欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0<<1 具有一对共轭复数极点： 2. 临界阻尼二阶系统： ＝1 具有两个相等的负实数极点： 3. 过阻尼二阶系统：  > 1 具有两个不相等的负实数极点：

4. 零阻尼二阶系统：＝0 具有一对共轭虚极点： 5. 负阻尼二阶系统： < 0 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。

由传递函数的定义可得到二阶系统的输出为： 二、二阶系统的单位阶跃响应 输入信号：单位阶跃 1(t), 其拉氏变换为： 由传递函数的定义可得到二阶系统的输出为： 1. 欠阻尼（0< <1）状态

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 式中，

5 10 15 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 xo(t) t =0.2  =0.4  =0.6  =0.8  欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线

其振幅衰减的快慢由 和wn决定。阻尼振荡频率为： 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点 xo(t) = 1，无稳态误差； 瞬态分量为振幅等于 的正弦振荡。 其振幅衰减的快慢由 和wn决定。阻尼振荡频率为：  振荡幅值随 减小而加大。 

2. 临界阻尼（ = 1）状态 具有两个相等的负实数极点： 特点 1 ●单调上升，无 振荡、无超调； ● xo (t) = 1， 无稳态误差。 t

3. 过阻尼（ > 1）状态

3. 过阻尼（ > 1）状态 特点 xo (t) = 1，无稳态 该分量影响大 当大于 1.25时，可忽略。 单调上升，无振荡，过渡过程时间长。 xo (t) = 1，无稳态 误差。

4. 无阻尼（ = 0）状态 特点 频率为wn的等 幅振荡。 xo(t) 2 1 t

几点结论 1. 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性： ▲  < 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定； ▲  = 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长； ▲ 0<<1时，有振荡， 愈小，振荡愈严重，但响应愈快。 ▲  = 0 时，出现等幅振荡。 　　工程应用中，除了有些场合不允许产生振荡（如指示和记录仪表系统等）外，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择0.4～0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。 　　一定时，wn 越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。

三、二阶系统的单位脉冲响应  > 1：   = 1：  0<<1：   = 0： 

四、二阶系统的单位速度响应 > 1：   = 1：  0<<1：  = 0：

参考内容 高阶系统的时间响应 高阶系统的单位阶跃响应 考虑系统：

假设系统极点互不相同。 其中，a, aj为Xo(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数； bk、ck是与Xo(s)在极点处的留数有关的常数。

通过拉氏反变换，其输出为： 高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。

§3.4 二阶系统的性能指标 一、控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。 §3.4 二阶系统的性能指标 一、控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有： 〇 上升时间tr 〇 峰值时间tp 〇 调整时间ts 〇 最大超调量Mp 〇 振荡次数N

二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算 1. 上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 欠阻尼二阶系统的阶跃响应为： 根据上升时间的定义有：

t x0(t) tr 1 显然， 一定时，wn越大，tr 越小； wn一定时， 越大，tr 越大。

2. 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。

2. 峰值时间tp 可见，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。  一定，wn越大，tp越小； wn一定， 越大，tp 越大。

3. 最大超调量 Mp 定义：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。

3. 最大超调量 Mp 通常用百分数表示: 显然，Mp仅与阻尼比 有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 = 0.4~0.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%~1.5%。

二阶系统 Mp —  图 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。 4. 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。 单位阶跃响应： 对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线： 当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。

当 一定时，wn 越大，ts 越小，系统响应越快。 因此利用： 可得： 当0<<0.7时， 当 一定时，wn 越大，ts 越小，系统响应越快。 由上式求得的ts包通常偏保守。

N仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。 越大，N越小，系统平稳性越好。 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的2%或5%）内所需的时间。 实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。 x0(t) ±⊿% t ts N仅与 有关。与Mp 一样直接说明了系统的阻尼特性。 越大，N越小，系统平稳性越好。

结 论 二阶系统的动态性能由wn和决定。 增加 可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数N ，但系统快速性降低，tr、tp 、ts 增加； 一定，wn 越大，系统响应快速性越好， tr、tp、ts 越小。 通常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整wn以获得合适的瞬态响应时间。 tr、tp、ts 反映系统响应快速性 Mp 、N 反映系统响应平稳性

§3.5 误差分析和计算  一、控制系统的偏差与误差 偏差信号(s) §3.5 误差分析和计算 一、控制系统的偏差与误差 偏差信号(s) 考虑图示反馈控制系统 Xi(s) Xo(s) ɛ (s)  G(s) B(s) H(s) 偏差信号ɛ(s)定义为系统输入Xi(s)与系统主反馈信号B(s)之差，即： ɛ(s)= Xi(s)－B(s)＝ Xi(s)－H(s) Xo(s)

 误差信号E(s) 误差信号E(s)定义为系统期望输出Xor(s)与系统实际输出Xo(s)之差，即： Xi(s) ɛ (s) Xo(s)  G(s) E(s)= Xor(s)－ Xo(s) B(s) H(s) 控制系统的期望输出Xor(s) 为偏差信号ɛ(s)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出： Xo(s)＝Xor(s)

Xi(s) ɛ (s) Xo(s)  G(s) B(s) H(s) 偏差信号ɛ (s)与误差信号E(s)的关系

二、稳态误差及其计算 稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t→无穷）下的差值，即误差信号e(t) 的稳态分量： 当sE(s)的极点均位于 s 平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的终值定理，有：

显然，系统稳态误差决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的性质及系统的结构和参数。 偏差传递函数 G(s) — H(s) 1 — H(s) G(s) 显然，系统稳态误差决定于输入Xi(s)和开环传递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的性质及系统的结构和参数。

例1 某系统方框图如图所示，当系统输入的控制信号为： 求系统的稳态误差。

三、稳态误差系数 1. 稳态误差系数的概念 （1）稳态位置误差系数 单位阶跃输入时系统的稳态系数 令： 称为稳态位置误差系数。 1. 稳态误差系数的概念 （1）稳态位置误差系数 单位阶跃输入时系统的稳态系数 令： 称为稳态位置误差系数。 对于单位反馈系统，

（2） 稳态速度误差系数 单位速度输入时系统的稳态误差 其中， 称为稳态速度误差系数。 易知： 对于单位反馈系统，

结论：当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。 （3）稳态加速度误差系数 单位加速度输入时系统的稳态误差 其中， 易知： 称为稳态加速度误差系数。 对于单位反馈系统， 结论：当输入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。

根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类型，当 r = 0, 1, 2, …时，系统分别称为0型、I型、Ⅱ型、……系统。 2.系统类型 将系统的开环传递函数写成如下形式： 根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类型，当 r = 0, 1, 2, …时，系统分别称为0型、I型、Ⅱ型、……系统。 0型系统： I型系统： Ⅱ型系统：

3. 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差 (1) 0型系统 单 位 负 反 馈 0型系统只能跟踪阶跃信号，且有稳态误差。

I型系统准确地能跟踪阶跃信号，也能跟踪速度信号，但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。 单 位 负 反 馈 I型系统准确地能跟踪阶跃信号，也能跟踪速度信号，但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。

Ⅱ型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号， 也能跟踪加速度信号，但有稳态误差。 (3) Ⅱ型系统 单 位 负 反 馈 Ⅱ型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号， 也能跟踪加速度信号，但有稳态误差。

表1、系统的稳态误差系数及稳态误差 K2 无穷 II型 K1 I型 K0 0型 单位加速度输入 单位速度输入 单位阶跃输入 Ka Kv Kp 稳态误差 稳态误差系数 系统类型 注意k0、k1、k2为系统的开环增益。

几点结论 不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。 在阶跃输入作用下， 0型系统的稳态误差为定值，常称为有差系统； I型系统的稳态误差为0，常称为一阶无差系统； 在速度输入作用下，II 型系统的稳态误差为 0，常称为二阶无差系统。

习惯上，称输出量为“位置”，输出量的变化率为“速度”。在此位置和速度是广义的概念。尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、 加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。 如： 总的稳态偏差：

解：如果系统的输入是阶跃函数、 速度函数、加速度函数三种输入的组 合，即： 可根据线性叠加原理，系统的稳态误差为： (a) (b) 解：如果系统的输入是阶跃函数、 速度函数、加速度函数三种输入的组 合，即： 可根据线性叠加原理，系统的稳态误差为： (1)系统(a)的开环传递函 数的时间常数表达式为：

(2)系统(b)的开环传递函数的时间常数表达式为：

表1、系统的稳态误差系数及稳态误差 K2  II型 K1 I型 K0 0型 单位加速度输入 单位速度输入 单位阶跃输入 Ka Kv Kp 稳态误差 稳态误差系数 系统类型 注意k0、k1、k2为系统的开环增益。

3.5.4 扰动引起的稳态误差和系统总误差 扰动输入作用下的偏差传递函数 1. 控制输入作用下，系统的误差： 2. 扰动输入作用下，系统的误差： 3. 系统的总误差：

§3.6 稳定性分析 一、稳定性的概念 1. 稳定性定义 自动控制系统在实际运行中，总会受到外界或内部扰动（例如负载的变化、电压的波动、参数的变化等），系统就会偏离原有的平衡工作状态，其输出量也会偏离原稳态值。 稳定性就是指系统在扰动消失后，能否在有限的时间内以足够的精度由扰动产生的偏差状态恢复到原来的平衡状态或达到一个新的平衡状态的能力。

例如：小球系统如图 a)、b)、c) （1）当扰动消失后，随着时间的推移，系统能够以足够的精度恢复到原来的平衡状态或达到一个新的平衡状态，则称系统为稳定系统。 （2） 当扰动消失后，随着时间的推移，系统偏离工作状态越来越远，不能够恢复到平衡状态，则称系统为不稳定系统。 不稳定系统无法正常工作，是不可取的系统。

（3）临界稳定 临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。 处于临界稳定或接近临界稳定状态的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。 经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。

二、 系统稳定的条件 设线性系统具有一个平衡点。对该平衡点，当：xi(t)=0时，系统的输出信号x0(t)=0。 稳定性可由实验确定，也可用描述系统的数学模型——如微分方程或传递函数进行分析。 设线性系统具有一个平衡点。对该平衡点，当：xi(t)=0时，系统的输出信号x0(t)=0。 当干扰信号n(t)作用于系统时，其输出信号将偏离工作点。如果取干扰信号消失瞬间为t =0，因此，系统的输出x0(t)即为控制系统在初始偏差影响下的过渡过程。 若系统稳定，则输出信号x0(t)就会随着时间的推移，x0(t)→0，即：系统恢复到原来平衡工作点；若系统不稳定，则输出信号x0(t)≠0，系统不能恢复到原来平衡点。

思路 根据系统稳定性的定义，可用脉冲信号作为干扰输入信号，考察系统的脉冲响应。 显然，系统的响应决定于系统闭环传递函数的极点——系统稳定性决定于系统的固有特性。

稳定的条件 考虑系统 其特征方程为： 1. 对于特征方程的单实根-pi ， 相应瞬态输出为：

1. 对于特征方程的单实根-pi ， 2. 对于特征方程有复根 ，相应瞬态输出为： 当-pi< 0时，该输出分量指数单调衰减。 2. 对于特征方程有复根 ，相应瞬态输出为： 当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为等幅振荡。

3. 对于r 重实根-pr，相应的时域分量为： 当 -pr < 0时，该输出分量指数单调衰减。 当 -pr > 0时，该输出分量指数单调递增。 当 -pr = 0时，该输出分量多项式递增。 综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面——[s]平面的左半平面。 稳定性与零点无关。

三、劳斯（Routh）稳定性判据 1.系统稳定的必要条件 系统的特征方程为： 显然，要判断系统是否稳定，如果根据上述定义及分析方法，则需把系统的特征方程的根求解出来，再根据根的情况来进行判断。 如果不直接求解特征方程，就能判定系统的稳定性，那么在工程上就有现实意义。为此形成了一系列稳定性判据，其中最重要的是（1884年）劳斯(Routh)判据。 1.系统稳定的必要条件 系统的特征方程为：

由根与系数的关系可知： 若使全部特征根 -pi均具有负实部，系统必须满足以下条件： 需指出的是：若特征方程不满足上述条件，系统一定不稳定;若特征方程满足上述条件时，系统仍然可能是不稳定的，即：满足上述条件是系统稳定的必要条件。

2. 系统稳定的充要条件——劳斯稳定判据 考虑系统的特征方程： 　　其中，ai >0 (i= 0, 1, 2, …, n)，且特征方程也不缺项，即满足系统稳定的必要条件。 　劳斯稳定判据： 　　劳斯阵列中第一列所有元素的符号均为正号。 如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

劳斯阵列: sn a0 a2 a4 a6 … sn-1 a1 a3 a5 a7 … sn-2 b1 b2 b3 b4 … sn-3 c1 c2 c3 c4 … sn-4 d1 d2 d3 d4 … s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1 劳斯阵列第1列元素 如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、…的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。

…… 每一行计算到元素到0为止。 sn a0 a2 a4 a6 … sn-1 a1 a3 a5 a7 … sn-2 b1 b2 b3 b4 … sn-3 c1 c2 c3 c4 … sn-4 d1 d2 d3 d4 … s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1 …… 每一行计算到元素到0为止。

例 设控制系统的特征方程为： 试判断系统的稳定性。 解：由方程系数可知，ai > 0，满足稳定的必要条件。 列出劳斯阵列 由由劳斯阵列的第一列可看出：第一列元素的符号不全为正，且从+1→-2 →+3，改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定。

3. 低阶系统的稳定性条件 （1）二阶系统

（2） 三阶系统

例：已知单位反馈系统的开环传递函数为： 解： 用劳斯判据确定系统能稳定工作时开环增益K的取值范围。 控制系统为单位反馈系统，故闭环传递函数为：

4. 劳斯阵列的特殊情况 劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不等于零或不全为零。 处理方法：用一个很小的正数 ɛ 代替该行第一列的零，并据此计算出阵列中的其余各项。然后令 ɛ= 0，按前述方法进行判别。 如果零(ɛ )上、下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临界稳定状态；如果零 (ɛ )上下两项的符号不同，则表明有一个符号变化，系统不稳定。

例1： 设控制系统的特征方程为： 试判别稳定性。 解：列劳斯阵列 由于第一列中各元素的符号不全为正，所以系统不稳定。

例2： 设控制系统的特征方程为： 试判别稳定性。 由于第一列中各元素除 外均为正，故没有正实部根，s1 行为零，说明有虚根存在。 １　１　０ ２　２ 0 系统为临界稳定。

劳斯阵列表某一行全为零 　　劳斯阵列出现全零行，表明系统在s平面有对称分布的根，即存在大小相等符号相反的实根和（或）一对共轭虚根和（或）对称于实轴的两对共轭复根；或存在更多这种大小相等，但在s平面位置径向相反的根。  j -a a   j -ja ja  j -a a -jb jb      处理方法：利用该零行上面一行元素构成辅助多项式，取辅助多项式导数的系数代替该零行，继续计算劳斯阵列中其余各项。

例： 设控制系统的特征方程为： 试判别稳定性。 由于第一列各元素中符号改变次数为1次，系统包含一个具有正实部的特征根，故系统不稳定。

小结 典型输入信号：单位脉冲、单位阶跃、单位速度和单位加速度信号。 对典型输入信号的要求、选择原则。 时间响应 系统输出随时间变化的特性。时间响应由稳态分量和瞬态分量组成。 1.一阶系统的时间响应 单位脉冲响应 单位阶跃响应 单位速度响应 一阶系统时间响应的性质： (1) 时间常数T反映了系统的固有特性，其值越小，响应越快。一般以3T或4T为调整时间。

1.一阶系统的时间响应 (2) 一阶系统响应脉冲和阶跃信号，其输出无稳态误差；响应速度信号，其输出有稳态误差，且T越小误差越小。 (3) 如果系统的输入信号之间存在微分和积分关系，则系统的时间响应也存在对应的微分和积分关系。 2.二阶系统的时间响应（重点掌握单位阶跃响应） 二阶系统时间响应的性质： (1)二阶系统在欠阻尼状态下的单位阶跃响应曲线，是一条以ωd为频率的衰减振荡曲线；且ξ越小，其振荡幅值越大，而响应则越快。如果ξ在0.4～0.8之间，其响应曲线能较快地达到稳态值，同时振荡也不严重。 当 ξ一定时，ωn越大，响应的快速性越好。 (2)当ξ≥1时，系统响应不存在超调，没有振荡，但过渡过程时间较长。 (3)当ξ=0 时，系统响应出现等幅振荡。 (4)当ξ<0 时，系统响应呈发散状，系统不稳定。

二阶系统的时域性能指标： 上升时间tr 峰值时间tp 调整时间ts 最大超调量Mp 振荡次数N 上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts 反映系统响应的快速性。 最大超调量Mp、振荡次数N则反映系 统响应的平稳性。

 稳态误差分析 稳态误差ess是系统误差信号e(t)的稳态值，即： 它是对系统稳态控制精度的度量，是系统的稳态性指标。 稳态误差的计算 (1)一般方法 (2)稳态误差系数法 II型  I型 0型 单位加速度输入 单位速度输入 单位阶跃输入 系统 类型

稳定性分析、劳斯稳定判据 稳定性：就是指动态过程的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。 （1）稳定的条件 系统稳定的充分必要条件是系统的全部特征根都必须具有负实部。 （2）稳定的判别 系统特征方程的各项系数均必须大于零。 如果劳思阵列是第一列所有元素的符号均为正号，则系统稳定 如果第一列的元素的符号出现负号，则系统不稳定。 稳定性是系统自身的固有特性，它只取决于系统本身的结构和参数，而与初始条件、外作用无关；稳定性只取决于系统极点（特征根），而于系统零点无关。