第五章 角动量·关于对称性 动量定理 建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面（平动效应），而不是全貌。 例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。 角动量（动量矩）定理: 则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律（转动效应）。

§5.1 质点的角动量 一、质点的角动量（又叫动量矩） 设质点Q某瞬时的动量为mv，质点Q 相对点O的位置用矢径 r 表示。 §5.1 质点的角动量 一、质点的角动量（又叫动量矩） 设质点Q某瞬时的动量为mv，质点Q 相对点O的位置用矢径 r 表示。 定义质点Q的动量对于点O的矩为质点对于点O 的角动量： 1、矢量性 方向：垂直于矢径r与mv所形成的平面，矢量指向符合右手法则； 大小：

2、相对性 (1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。 (2)原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。 3、 的直角坐标系中的分量式 1)、做圆周运动质点 m 对圆心O 的角动量 方向： 与 同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成右手螺旋关系 结论：做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。

2)、作直线运动质点的角动量 质量为m 的质点作直线运动。 1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则 2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量． t 时刻质点对O点的角动量为： 大小： 方向：由右手螺旋定则确定。 质点对O’点的角动量为： 说明 3）若O 取在直线上，则：

二、力对一参考点的力矩 定义：作用于质点上的合外力对一参考点的力矩 单位：牛·米（N·m） 1、大小： d 为力臂。 方向：由右手螺旋定则确定。 2、在直角坐标系中

3、相对性：依赖于参考点O 的选择。 4、作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩。 力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力矩的矢量和（合力矩）等于各个力的合力的力矩。 二、质点对参考点的角动量定理和守恒定律 1、质点对参考点的角动量定理 将角动量 对时间求导，可得：

质点对一参考点的角动量定理 说明 质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率。 和 是对同一惯性系中同一参考点而言的 （1）、质点角动量微分形式 （2）、质点角动量定理积分形式 角动量定理∶质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。 力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。

例题5.1 质量为m、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求: ①摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； ② 摆球到达点 B 时，角速度的大小。 解 ①任意位置时受力为：重力；拉力。 重力对O 点的力矩为： 方向：垂直于纸面向里。 拉力对O 点的力矩为零。 由角动量定理： 瞬时角动量： 8

9

2、 质点对一参考点的角动量守恒定律 若质点所受的合力矩 若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。 ———质点的角动量守恒定律 注意： 并不等于： 讨论 1、有心力， 与位矢 在同一直线上，从而 。 例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。 2、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。

例题5.2 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度)是常量。 解 如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，Δt时间内行星径矢扫过的面积 面积速度: 由于行星只受有心力作用，其角动量守恒 11

解 卫星轨道如图所示．由于卫星所受地球引力为有心力，所以卫星对地球中心的角动量守恒． 例题5.3 我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行．已知卫星近地点的高度h1=226km，远地点的高度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期 （地球半径R=6.37×103km）． 解 卫星轨道如图所示．由于卫星所受地球引力为有心力，所以卫星对地球中心的角动量守恒． 若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大小为 在远地点时，位矢的大小为 12

设卫星在远地点时的速率为v1,且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律可得 故有 设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为dS/dt，则卫星的运动周期 a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为 可得 13

因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，则力 对O 点的力矩： 例题5.4 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动， 其半径为r0 ，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。 解 选取平面上绳穿过的小孔O为原点。 因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，则力 对O 点的力矩： 所以小球对O 点的角动量守恒。 14

四、质点对轴的角动量定理和守恒定律 1、质点对轴的角动量 定义：质点对轴上任意点的角动量，在轴上的投影（矢）为该质点对该轴的角动量。 O . 注意：矢量性、瞬时性、相对性 方向：用右手螺旋定则判定 。 在直角坐标系中

定义：力对轴上任意点的力矩，在轴上的投影（矢）为该力对该轴的力矩。 2、力对轴的力矩 定义：力对轴上任意点的力矩，在轴上的投影（矢）为该力对该轴的力矩。 O . 注意：矢量性、瞬时性、相对性 h  A 方向：用右手螺旋定则判定 。 基点O

微分形式： 积分形式： 3、质点对轴的角动量定理及角动量守恒定律 ⑴、质点対轴的角动量定理 或 ⑵、质点对轴的角动量守恒定律 当质点所受到对某轴的力矩为零时，其对该轴的角动量守恒。

由上两式可得 例5.5：根据卢瑟福粒子散射实验估算原子核的半径 能量守恒定律 角动量守恒定律 （舍去负号） Rｍ=3×10-14 m （金） Rｍ=1.2 ×10-14 m （铜） 10-14 m 10-15 m

例题5.6 质量为m的小球A,以速度v0沿质量为M半径为R的地球表面切向水平向右飞出，地轴OO’与v0平行，小球A的运动轨道与轴OO’相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球A在点C的速度与OO’轴之间的夹角θ。 解∶ 取小球与地球为系统，机械能守恒。 由角动量守恒得 联立解得

作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。 §5.2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 一、质点系对一参考点的角动量定理及守恒律 1、质点系对一参考点的角动量： 系统的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和： 2、质点系对一参考点的角动量定理： 作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。

作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。 设： 方向：垂直板面向外，大小： 方向：垂直板面向里，大小： 21 21

质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率 — 质点系的角动量定理。 质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率 — 质点系的角动量定理。 1、微分形式： 2、积分形式： 质点系对一参考点角动量的增量等于系统对同一参考点合外力矩的角冲量。 说明 只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关， 内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量。 22 22

当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒。 3、质点系对一参考点的角动量守恒定律： 当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒。 — 角动量守恒定律 说明 1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定 合外力矩等于零。 例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。 2、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。 3、适用于惯性系，也可适用于微观现象。 23 23

大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。 4、力偶 力偶矩 大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。 合力矩： 24 24

例题5.7 两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳， 绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？ 解 选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。 系统所受外力如图。 产生力矩的只有重力。 25 25

由角动量定理： 即两人同时到达顶点。 26 26

1、若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量 无贡献，因而角动量守恒。 法二: ( 角动量守恒 ) 系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒。 讨论 1、若其中一个人不动，外力矩情况依然，内力矩对角动量 无贡献，因而角动量守恒。 2、若m1≠m2，则 即轻者先到达。 27 27

例题5.8 如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆 和 的小球，系统 的小球 l/3 处的O 点在水平面桌面上转动． 的小球以水平速度 沿和细杆垂直方向与 的小球作对心碰撞，碰后以 求碰后细杆获得的角速度． （质量忽略不计）两端分别固定质量为 可绕距质量为 今有一质量为 质量为 /2的速度返回， 解 取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零。O点对细杆的作用力对点的力矩为零．系统所受的合外力矩为零．所以，系统的角动量守恒． 28 28

例5.9一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1 ，另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。 求：碰撞后杆的角速度ω l m1 O  v0 m2  解： 选m1（含杆）+ m2为系统 碰撞时重力和轴力都通过O， 对O 力矩为零，故角动量守恒。 有 解得：

作用力和反作用力对同一轴或点力矩的矢量和等于零。 二、质点系对轴的角动量定理及角动量守恒定律 1、质点系对轴的角动量： 系统的角动量等于各个质点对同一轴的角动量之和： 2、质点系对轴的角动量定理： 作用力和反作用力对同一轴或点力矩的矢量和等于零。

当质点系所受合外力矩对某轴为零时，质点系的角动量对该轴守恒。 3、质点系对轴的角动量守恒定律： 当质点系所受合外力矩对某轴为零时，质点系的角动量对该轴守恒。 内力矩可影响质点系中某质点的角动量，但合内力矩等于零，对总角动量无影响。 31 31

若质点系各质点绕 z 作圆周运动 讨论 例如花样滑冰等.

§5.3 质点系对质心的角动量定理与守恒定律 一、 质心系 质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系不一定是惯性系。 §5.3 质点系对质心的角动量定理与守恒定律 一、 质心系 质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系不一定是惯性系。 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 在质心系中考察质点系的运动。 各质点相对于质心的运动—— 二、质心系的基本特征 1、质心系是零动量参考系。

· m1v1 m2v20 m1v10 m2v2 z vi vi Fi ri vC rC x y O 质心系中看两粒子碰撞 两质点系统在其质心系中，总是具有等值、反向的动量。 2、质心系中的角动量定理 vi vC C  × y x O rC ri vi Fi z ⑴、质心系中的角动量 O 是惯性系中的一个定点 C 是质心兼质心坐标系原点 对质心 对O点 O系为惯性系 C 对O

C 是质心兼质心坐标系原点 利用关系： vi vC C  × y x O rC ri vi Fi z O系为惯性系

即

⑵、质点系对质心的角动量定理： 即有 —— 质心系中质点系对质心的角动量定理

尽管质心系可能不是惯性系，但对质心来说，角动量定理仍然成立。这再次显示了质心的特殊之处和选择质心系来讨论问题的优点。 若质心系是非惯性系，则外力矩中应包括惯性力对质心的力矩： 设质心加速度为 则有 这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。

质点系对质心的角动量守恒定律 当 如跳水运动员等在空中翻筋斗.

3、 质心系中的功能关系 ⑴、克尼希定理 S（质心系）： S（惯性系）：

//  — 克尼希定理 ⑵、质心系中的功能原理 可以证明，质心系中功能原理仍然成立： （微分形式） （积分形式）

· S S′ mi vC ri ri′ rC （1） Fi O （2） （1） 证明 （内力成对出现） S系 ： × C （2） 势能变化与参考点无关 S系 ： （1） mi · Fi ri O S S′ ri′ × vC rC C （2） （2） S 系： （1）

于是有 质心系中的功能原理成立，也可以简单地做如下的证明： 若质心系是惯性系，则功能原理必然成立。 若质心系是非惯性系，则还需考虑惯性力的功。 即： 设质心加速度为 则 于是有

质心系中机械能守恒定律： 不管质心系是否为惯性系，功能原理和机械能守恒定律都与惯性系中形式相同。 ⑶、质心系中两质点系统的动能 惯性系 S：

质心系S ： =  令 — 相对速度 — 约化质量 则有

Me >> m，  = m， 则 若 例如对物体（m）─ 地球（Me）系统： 地球 — 物体质心系中，地球和物体总动能为： 此即地心系中物体的动能，这就是我们讨论地球 — 物体系统的能量问题时，可以不考虑地球动能的道理。

r e mp [例5.12]已知：质子间相互作用电势能为 k为常量。两个质子从相距很远处分别以速率v0 和 2v0 相向运动。 ● 求：二者能达到的最近距离 rmin 解：两质子间只有保守内力作用，动能和静电势能之和守恒（忽略万有引力）。 在质心系中两质子达到最近距离时，全部动能转化为静电势能。 （在实验室系如何？）

§5.4　对称性、对称性与守恒定律 一、自然界中的对称性 对称是自然界固有的一种属性。如球体关于球心对称；圆柱体关于轴对称；人和动物“左、右”对称；花、草有对称性；各种建筑物也“左、右”对称，等。人们也习惯了“对称”之美。

我们要给对称性下一个较严格的定义：若对某一几何形体施行某种操作后会使其状态与初态完全相同，则称它具有对称性。常见的对称性有: 平移对称性：如果一个形体发生一平移后，它和原来一模一样，那么该形体具有空间平移对称性。 转动对称性: 如果一个形体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样,则称它具有转动对称性。 左右对称又称镜象对称性: 人们照镜子时，镜中的像与你实际上是不同的，你的像将你的左、右对换了。所以镜象对称操作也称为空间反演变换。

二、物理定律的对称性 物理学中讨论的对称性要比上述形体上的对称性有更深的内涵。物理学家认为，若某一事物、某一性质、某一规律在某种变换之后仍保持不变，就称其具有对称性，也称为在这种变换下的不变性。由于事物在变换后完全复原，因而在变换前、后是不能区分的，也无法作出辨别性的测量。故物理学中将对称性、在变换下的不变性、不可区分性和不可测性四者给予相同的涵义。 物理学中也研究几何对称性，但更重要的是物理定律的对称性，即物理定律在某种变换下的不变性。这些变换包括：时间平移、空间平移和转动、空间镜像、惯性系坐标变换等。

物理定律的时间平移不变性：无论是过去、现在还是将来，物理定律都不会改变。一个实验只要不改变实验条件和使用的仪器，不管是昨天、今天还是明天去做，都应得到相同的结果。这一事实表明物理定律具有时间平移的对称性。或者说对物理定律而言，时间有均匀性。 物理定律的空间平移不变性：物理定律在空间中任何位置上都相同。这一性质称为物理定律的空间平移对称性，即对物理定律而言，空间具有均匀性。 物理定律的空间转动不变性:物理定律在空间所有方向上都相同, 不管将实验仪器在空间中如何转向, 只要实验条件相同, 就应得到相同的实验结果。这一性质称为物理定律的空间转动不变性，或者说对物理定律而言，空间为各向同性。

物理定律的镜像不变性：著名的物理学家费因曼讲过一个例子：若依据一只钟的镜像制作出另一只钟，并将这两只互为镜像的钟的发条上的一样紧，则这两只钟将以相同的速率走动，它们遵从相同的力学定律。类似地，若制造出两台互为镜像的电动机，这两台电动机也应遵从相同的电磁学定律。可见，物理定律在镜像变换下具有不变性，或者说对物理定律而言，空间是左、右对称的。 物理定律的惯性系变换不变性：按相对性原理，当从一个惯性系变换到另一个惯性系时，物理定律保持不变。这表明对物理定律而言，所有的惯性系是完全对称的。

物理定律的对称性都可用一种否定的形式来表述：人们无法通过任何物理实验来确定人们所处的时间绝对值、所在的空间绝对位置、空间绝对方向，也不能确定绝对的左和右。在参考系内做任何实验也无法确定参考系在空间的绝对速度。物理定律的对称性归根到底反映了我们所处时空的特性。 三、物理定律的对称性与守恒定律 由于物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制了物理定律，继而使遵循物理定律的物质体系的运动受到某种制约，这种制约就是物质体系在运动中保持某个物理量为恒量。于是物理定律的一种对称性就导致一条守恒定律，反之有一条守恒定律也必定有一种对称性与之相应。

不可测量性 物理定律变换不变性 守恒定律 时间绝对值 时间平移 能量 空间绝对位置 空间平移 动量 空间绝对方向 空间转动 角动量 空间左和右 空间反演 宇称 惯性系等价 伽利略变换 洛伦兹变换 时空绝对性 时空四维间隔 带电粒子与中性粒子的相对位置 电荷规范变换 电荷 重子与其它粒子的相对位置 重子规范变换 重子数 轻子与其它粒子的相对位置 轻子规范变换 轻子数 粒子与反粒子 电荷共轭 电荷 宇称

例 空间平移对称性与动量守恒定律 设由两个质点组成的封闭系统，二者间只存在保守内力（如引力）的相互作用，如图所示。将两个质点沿同一方向平移，二者的相互作用势能改变： 但因空间具有平移对称性，平移后两质点的相对位置不变，因而势能不变，即 　。因此有： 即

其中 分别是力 对O点的力矩。由于空间具有旋转对称性，旋转后两质点的相对位置不变，因而势能应不变。 例 空间旋转对称性与角动量守恒 设两质点位于以O点为圆心，R为半径的圆周上，二者对圆心的连线之间的夹角为θ，让两质点在此圆周轨道上沿同一方向转过的角度dθ ，如图所示。在此过程中系统势能改变量 O ， 其中 分别是力 对O点的力矩。由于空间具有旋转对称性，旋转后两质点的相对位置不变，因而势能应不变。 即　 ，

目前，人们应用对称性原理有三个逻辑步骤：⑴ 假设某个绝对量不可观测；⑵导出时空的某种对称性即物理定律在某种变换下的不变性；⑶推出某条守恒定律 四、对称性的自发破缺 一个原先具有较高对称性的体系对称性明显下降的现象。 设想将一支削得十分均匀的铅笔笔尖朝下竖立在桌面上，放手后只要有十分微小的一点点扰动，笔就会倒下，笔未倒之前，对竖直轴线具有轴对称性，倒下后这种对称性就被打破了，出现对称性的自发破缺。

这种对称性的自发破缺何时发生、在何处发生都具有偶然性。 运动的多样性的一个重要表现，是自然界同时显现出许多不同类型的对称性。这些对称性互相交织在一起，在演化过程中不断地有对称性发生破缺，同时往往又显现出新的对称性。 对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平淡而缺乏生机，真正的美正是对称与不对称的完美结合，那蜿蜒曲折、此起彼伏而又错落有致的层层山峦不正是大自然创造出的美景吗？ 对称性导致守恒而对称性的自发破缺则产生变化，二者的有机结合才有了大自然的变化莫测和多彩多姿。