概念要深化 方法要拓展 内容要增加

rA rB A B

运动学 运动的合成与分解 在研究物体的复杂运动时，通常可把复杂运动分解为两个或多个简单的分运动，这称为运动的分解与合成，包括物体的位移、速度及加速度的合成与分解等。相关物理量的分解与合成遵守平行四边形定则。 相对运动、牵连运动与绝对运动 通常把物体相对于基本参照系(如地面等)的运动称为“绝对运动” ；把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为“牵连运动” 。而物体相对于运动参照系的运动称为“相对运动”。 三者关系： v绝＝v相＋v牵，或v甲对地＝v甲对乙＋v乙对地 位移、加速度也有类似的关系。

一半径为R的圆环沿水平直线作纯滚动（即圆环与地面间无相对滑动），环上一点p绕过圆环中心O，且与环面相垂直的水平轴线以确定的角速度w转动。（1）求p点的运动方程；（2）设圆环与水平面的接触点为p，，证明任一时刻环上除p，外的任意点在任一瞬时都绕p，点以角速度w 转动（取坐标如图，并设t = 0时p点在坐标原点）。 O O， p′ x y R r p p O O， p’ x y R r r′ Rw v0 wt v w 设p点坐标为x，y 圆环作纯滚动 Rw=v0 当v与r′垂直时应有 设p点速度分量为vx，vy

设r′的分量为x′，y′，由几何关系得 p O O， p’ x y R r r′ Rw v0 wt v w

A滑到水平面所需时间 t1=vA/gsinq 如图所示，在倾角为q的光滑斜面顶端有一质点A自静止开始自由下滑，与此同时在斜面底部有一质点B自静止开始以匀加速度a背离斜面在光滑的水平面上运动。设A下滑到斜面底部能沿着光滑的小弯曲部分平稳地朝B追去，为使A不能追上B，a的取值范围为多少？ A B q A滑到水平面所需时间 t1=vA/gsinq A恰能追上B所需满足的条件： (1)又经t2后A与B在水平面上运动距离相等，即vAt2=a(t1+ t2)2/2 (2)A追上B时，B速度恰为vA，即vA= a(t1+ t2) 由上面三式解得：t1= t2，vA= a(t1+ t2)=2at1，a=gsinq /2 结论：为使A不能追上B，必须满足a>gsinq /2

另解：利用v—t图 vA= gsinq t1 A：t1—t2，B：0—t2，面积相等 vA(t1+ t2)/2= vAt2 得：t1= t2 O v t t2 vA A B vA= gsinq t1 A：t1—t2，B：0—t2，面积相等 vA(t1+ t2)/2= vAt2 得：t1= t2 vA= a(t1+ t2)=gsinq t1 a=gsinq /2

如图所示，一条形磁铁置于水平转台上随转台一起作匀变速转动，一磁传感器位于转台边缘。从而可以获得传感器所在位置的磁感应强度随时间的变化曲线如图。图中横坐标为时间轴，读数为3秒/每格，纵坐标为磁感应强度。求： （1）转台在测量期间的平均角速度； （2）转台的角加速度。 传感器 示波器 作w - t图，直线的斜率即为角加速度

在水平面OB上有一A点，OA＝L，在A点以速度v0抛出一小球，在不被倾角为a的OC面板弹回的前提下，问小球的最大射程是多少？ 轨道方程 O x OC线方程 取q＝45° 为使小球不被OC面板弹回，方程应无解

此时最大射程 若 q < 45° 但q >a 为使小球不被OC面板弹回，方程应无解或只有一解，整理得 ∵q >a

此时最大射程 若 q < 45° 但q >a 为使小球不被OC面板弹回，方程应无解或只有一解，整理得 ∵q >a ∴最大射程

牛顿定律 应用牛顿第二定律解题的基本步骤 （1）确定研究对象； （2）对相关物体进行隔离、单独进行受力分析； （3）选取合适的坐标系； （4）列出各相关物体的动力学方程； （5）根据物体运动间的联系列出约束方程； （6）求解并讨论所得结果。 惯性力 在非惯性系应用牛顿第二定律，除了要考虑物体受到的真实力外，可假想有一个惯性力作用在物体上，即 则在非惯性参考系中，牛顿第二定律在形式上成立。

所有接触无摩擦，求各物体加速度 m1 m2 m3 F m1 m1g N1 T m2 m2g N2 T a2x a2y a1 N1 T m3 T F N2 a3 m3g N3

q A B 一轻绳两端分别连接小球A和小环B，球与环质量相等，环B可在拉紧的水平钢丝上作无摩擦的滑动。现使小球在钢丝所在的竖直平面内摆动。求小球摆离铅锤线最大角度q 时小环和小球的加速度。 B在水平方向运动方程T sinq= maB 以B为参照系F惯 = maB 在最大摆角处A加速度沿圆弧切线方向,运动方程为 T+F惯sinq-mgcosq = 0 mg sinq+F惯cosq = ma’A

守恒定律 机械振动 机械波 保守力做功与势能 功能关系 机械能守恒 动量定理与动量守恒 开普勒定律 简谐振动的运动学特征 相位 功能关系 机械能守恒 动量定理与动量守恒 开普勒定律 机械振动 机械波 简谐振动的运动学特征 相位 同方向简谐振动的合成 平面简谐波的波表达式 波的叠加 干涉

万有引力的功 m a i Dri ra b rb M

势能 1、势能的引入 与物体的位置相联系的系统能量称为势能（Ep）。 保守力的功是势能变化的量度： 物体在a，b两点的势能Epa， Epb 之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功Aab。 保守力的功等于系统势能的减少。

如： 重力势能 引力势能 弹性势能

说明 势能是相互作用有保守力的系统的属性。 势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。 设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为： 空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。

质点系的动量定律 动量守恒定律 i 设 有N个质点构成一个系统， 末速度 。 第 i 个质点： 外力 ， 内力 ， 初速度 ， 质量 质点系的动量定律 动量守恒定律 i 设 有N个质点构成一个系统， 末速度 。 第 i 个质点： 外力 ， 内力 ， 初速度 ， 质量 由质点动量定理： m2 m1 其中：

质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 质点系的动量定理： 质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。 系统内质点所受外力冲量的矢量和等于系统总动量的增量。 内力对系统总动量无影响，但对每个质点的动量仍有影响 质点间通过内力的作用交换动量

动量守恒定律 说明 系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。 当 时， 常矢量。 当 时， 常矢量。 说明 (1)动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内各个质点的动量可以变化, 通过内力进行传递和交换。 (2)当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）

(3) 分量式 (4) 定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。

将一小球从某点以初速度v0竖直向上抛出，当小球落回该抛出点 时速率为vt，已知小球在运动过程中受到的空气阻力大小与小球 的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用的时间。 空气阻力正比于运动速度，物体上升与下落整个过程的速度时间曲线一定是分布于时间轴的上下两面，且由于上升与下落过程经过的距离相等，即时间轴上下两侧曲线所围的面积相等，而速度时间曲线等价于阻力时间曲线，所以在整个运动过程中空气阻力的冲量等于零。由动量定理 上升阶段： 下降阶段：

质点系的动能定理 质点动能定理 其中 对系统内所有质点求和 讨论 总动能 [例]质量为M的静止粒子A与质量为m，具有速度的粒子B碰撞，实验发现，当B的动能小于某个数值时，A、B为弹性碰撞，只有当B的动能大于此值时，A、B发生非弹性碰撞，此时B将吸收数值为DE的固定能量。计算B所应具有的这一动能值。

一对内力的功： 1. 系统内一对内力的功一般不为零 2. 一对内力做功之和与所选的参照系无关 3. 一对内力做功之和只与相对位移有关 s l 1. 系统内一对内力的功一般不为零 2. 一对内力做功之和与所选的参照系无关 3. 一对内力做功之和只与相对位移有关 [例] 一颗子弹穿入厚为l的木块后停留在木块的前部，同时木块在桌面上向前移动了s距离，求这一过程中子弹与木块之间的摩擦力所做的总功。 木块 子弹 地面参考系： 子弹 木块参考系： 木块 子弹参考系： 木块 子弹 s l 子弹 木块

长为l 的木板A的质量为M，板上右端有质量为m的物块B（不计大小），物块与木板间的滑动摩擦因数为m，它们一起静止在光滑的水平面上。 则质量为m的物块C至少以 的速率与木板左端发生完全非弹性碰撞时，方可使B脱离A板。

[例]半径为R，质量为M，表面光滑的半球放在光滑水平面上，在其正上方置一质量为m的小滑块。当小滑块从顶端无初速地下滑后，在图示q角位置处开始脱离半球。已知cosq = 0.7,求M /m。 解: 脱离瞬间N = 0 ? 以 代入后解得

[例]两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知m1=m，m2=3m） （2）弹簧的最大伸长量。 A B k 解： 设：弹簧恢复到原长时滑块B的速度为VB0 机械能守恒： A块离墙后： v1=v2=v时：

机械能守恒： 当弹簧处于最大伸长量时，必有v1=v2=v=3VB0  4 化简：

人造地球卫星(m)，圆轨道(r)。(1)总机械能；(2)受微小阻力f， 假设绕一平均圆轨道运动，求每运行一周半径的改变量Dr； (3)每运行一周动能改变量DEk。 解：(1) （2）

（3） ? 引力做功，一半用于克服阻力，一半用于增加动能。

地球可看作是半径R =6400 km的球体，卫星在地面上空h = 800 km的圆形轨道上，以 7 地球可看作是半径R =6400 km的球体，卫星在地面上空h = 800 km的圆形轨道上，以 7.5 km/s的速度绕地球运动．在卫星外侧发生一次爆炸，其冲量不影响卫星当时的切向速度vt =7.5 km/s，但使卫星获得一个指向地心的径向速度vn =0.2 km/s．求这次爆炸后卫星轨道的最低点和最高点各位于地面上空多少公里？

登陆艇(m)与飞船(m)一起绕行星(M)作圆周运动，其速率为v 。飞船上火箭作一短时间的喷射(喷出气体质量可略)，使登陆艇和飞船分离，且分离方向与速度方向平行。若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力，(万有引力恒量为G )。求： (1)刚分离后登陆艇的速率u . (2)飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能E .

质量为m1，速度为v1的粒子被一静止的核俘获后，产生一质量为m2的粒子，沿垂直于v1的方向射出，余下的核的质量为m3，在此过程中有量值为Q的非机械能转化为机械能，求新粒子的动能。

简谐振动的运动学特征 一、周期 频率和角频率 周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T 一、周期 频率和角频率 周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T  ：角频率 （或称圆频率）

T、 n 或w分别称为谐振子的固有周期、固有频率和固有角频率 故： 其中A即位移的最大值，称为振幅 T 的单位：秒(s) 、n 的单位：赫兹(Hz) w 的单位：弧度每秒(rad/s)

二、相位 (1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2)  是t =0时刻的相位 ——初相位 由t=0；x=x0，v=v0 得

三、旋转振幅矢量 旋转矢量A在x轴上的投影点 P 的运动规律： P0 P x P" 投影点P " 的运动与 简谐振动的运动规律 相同。

相位差  =(2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动  =2-1 初相差 同相和反相 当 = 2k ， ( k =0, 1, …)，两振动步调相同，称同相 当 = (2k+1) ，( k =0, 1,…)， 两振动步调相反，称反相 o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相 t x x o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T t 反相

若 =  2- 1>0，则 x2 比 x1较早达到正最大，称x2比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。 超前和落后 若 =  2- 1>0，则 x2 比 x1较早达到正最大，称x2比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后)。 A1 x1 T x t o A2 - A2 -A1 超前、落后以 < 的相位角来判断

[例题] 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：1. 振动式。2 [例题] 一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t=0时, 位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：1. 振动式。2. 如果在某时刻质点位于x=-6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 [例题] 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。

如图所示，有两个悬挂在同一点的完全相同的等长度单摆。设开始时，两个单摆分别向左右两侧分开，与自由悬挂位置的夹角分别为q 和2q（2q < 5º）。若把两个单摆从静止时同时释放，设经历t0时间后发生第一次完全弹性的对心碰撞。从发生对心碰撞开始计时，则左右两个单摆摆动到各自与竖直方向间夹角为q 的位置时所经历的时间分别为 ， 。 单摆做简谐振动，周期相等。且T=4t0 弹性对心碰撞，速度交换。 右摆最大摆角为q，经历了1/4周期 即t0 左摆最大摆角为2q，周期仍为4t0 由旋转矢量图可得，由平衡位置运动到q 需1/12周期 t0/3

-Gsinasinq = ma 摆球m固定在轻质等边三角形框架定点A，可绕BC摆动，a很小，求T。 B O A a l G2=Gsina C G2sinq G2 q

a

a a g'=gcosa g'=gsina r r0

质量为M的圆盘悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，一套在弹簧上质量为m的圆环从离盘高h处自由下落，落在盘上后随盘一起作简谐振动，问：环碰到盘后多久到达最低点？ 初始条件 O x x0 x0 j

平面简谐波 简谐波：波源作简谐振动，在波传到的区域，媒质中的 质元均作简谐振动 。 下游质点的运动落后于上游质点 y x o 波速 任一点p 图中p点比o点落后时间： 频率、波长和波速三者关系： 或

[例]已知 t=0时的波形曲线为Ⅰ，波沿x方向传播，经t=1/2s后波形变为曲线Ⅱ。已知波的周期T>1s，试根据图中条件求A点的振动式。 y(cm) x(cm) 1 2 3 4 5 6 Ⅰ Ⅱ A -1 解： 波速：

原点振动： 初始条件： y(cm) x(cm) 1 2 3 4 5 6 Ⅰ Ⅱ A -1

A点振动比O点滞后，落后的时间 若O开始振动时刻t=0，则A在t=Dt时刻的振动状态与O在t=0时刻的振动状态相同 A点振动式：

如图，一列沿x轴正方向传播的简谐横波，振幅为2cm，波速为2m/s，在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0 如图，一列沿x轴正方向传播的简谐横波，振幅为2cm，波速为2m/s，在波的传播方向上两质点a、b的平衡位置相距0.4m（小于一个波长）．当质点a在波峰位置时，质点b在x轴下方与x轴相距1cm的位置．则 （A）此波的周期可能为0.6s （B）此波的周期可能为1.2s （C）从此时刻起经过0.5s，b点可能在波谷位置 （D）从此时刻起经过0.5s，b点可能在波峰位置 x a b O 0.4m a在波峰位置时，b在x轴下方与x轴相距1cm的位置可能有二个 2 y/cm x/m O a b 图1 图2 -2 0.1

再过 图1： b运动至波峰位置 经0.5s(5/6T)，b运动至波谷位置 再过 b运动至波峰位置 图2： 经0.5s(5/3T)，b运动至波谷位置 A、C、D 2 y/cm x/m O a b 图1 图2 -2 0.1