批判思考的數學基礎 回顧批判思考 歷史故事 探究大眾需要 抽樣可靠度 解讀新聞報導 期中報告舉例
回顧批判思考 Critical Thinking
二分法思考 過度簡化事實。 重要的問題很少能以簡單、斬釘截鐵的「是」或「否」回答。
細究方知有問題
歷史故事： 品酒引發知識革命
不愛出風頭的釀酒師，創造了統計學上的大理論 — 曾志朗 不愛出風頭的釀酒師，創造了統計學上的大理論 — 曾志朗 如何品嚐葡萄酒： 以礦泉水漱口。 晃杯讓酒香發出來，鼻子在杯口聞吸。 舉杯含一大口，讓酒在口腔裡滾動，用力沖擊舌頭四周，四、五次之後，慢慢的將整口酒喝下去，閉目回憶一番。
舌頭中間無好味覺 大部份的味覺是集中在舌頭周邊 甜感在舌尖 酸辣分在舌頭兩側前後 苦感在舌根後部。
酒的製程很複雜，陽光、土壤、水分、發酵技術、香料調配、空氣溼度、儲存條件等 誰有能力決定某一成品和另一成品有「顯著」的不同？ 只憑幾位品酒師，能一嚐定酒質嗎？判定的效度又如何呢？ 樣本小，也就沒有足夠的代表性，其中的誤差又將如何校正呢？
t 分配 1908年，愛爾蘭金氏釀酒廠的 葛賽特（Gosset），提出“The probable error of a mean”，推導出小樣本的 t分配，以得是否統計顯著。 t-檢定（t-test）影響了百年來的生物、社經、心理、教育等的研究。 很謙虛的筆名“Student”發表論文。 （曾志朗，科學人2005年10月號）
探究大眾需要 抽樣小眾
有偏 抽樣法 方便抽樣：選最容易取得的 自發性回應樣本：回應由某訴求，如寫應（write-in）、叩應（call-in）、在購物中心訪談
「寫應」意見調查 美專欄作家Ann Landers：「若可重來，您要孩子嗎？」 一萬份回覆中的70%說「不」。 可下結論：社會的七成父母後悔有孩子嗎？
通常對某議題有強烈感的人（尤其有負面感者）較易不嫌麻煩地寫信回應。 隨機：母體中任一個體被抽中的機率均相同
Ann：「一萬份回覆中的70%說No」 （讀者回應） Newsday：「91%要孩子」 （全國普查）
母體（population） 樣本（sample） 參數（parameter） 描述母體的數字。p 統計量（statistic） 描述樣本的數字。Þ（p hat） 以統計量p估計參數Þ。
母體：所有父母 樣本：1373位父母 要孩子：1249位父母 Þ = 1249 ÷ 1373 = 0.91
抽樣變異：Þ值會隨樣本而變 從母體中選取1000個（size = 1373人）隨機樣本 第一個樣本中有1100人認真 Þ ＝ 1100 ÷ 1373 ＝ 0.802 第二個樣本中有1090人認真 Þ ＝ 1090 ÷ 1373 ＝ 0.7939
抽樣分布：圖1-1
節省 → 代價（圖1-2）
節省 → 代價（圖1-3）
誤差 偏差：↓隨機抽樣 欠精確：↑夠大的樣本
精確性和母體大小無關 -1 只要母體比樣本大得多，隨機樣本的統計量之精確性和母體的大小無關。 和母體比起來，1373是1%（百中取一）或0.001%（萬中取一）均無妨。
精確性和母體大小無關 -2 收成玉米中取樣：不管勺子插入一代玉米或一卡車玉米。 只要玉米混得均勻，抽樣結果的變異性只由勺子的大小決定。
抽樣可靠度
抽樣多可靠？ 相當有信心 接近真正值
若從母體抽取許多類似的樣本（勺子取1000次）？
抽樣分布（圖1-4）
「1000勺」大小為1373顆玉米的樣本 1000勺中有950勺的樣本Þ值在0.78和0.82之間 95%樣本的結果在母體真正值的 ± 0.02範圍內
真正的抽樣分布不是從1000勺樣本導出 而由數學算得
解讀新聞報導
新聞報導 美國人望向2006年，預期日子更好。 1234個受訪者中，77%（950人）答是，此調查的誤差界限是正負4個百分點（加減）。
誤差界限（margin of error）-1 在所有可能的樣本中，有95%的樣本比例Þ值會在真正值p的 ± 0.04之內。
誤差界限（margin of error）-2 在95%的信心下，認為2006年日子更好的人之比例落在此範圍內 統計量 ± 誤差界限 0.77 ± 0.04
95%的信心-1 我們使用的方法對所有可能的樣本驗證時，可使95%的樣本得出的結果是正確的。
95%的信心-1 新聞報導只說了「誤差界限是正負4個百分點」，省略了「所有樣本中只有95%能符合這樣的誤差界限」。
信賴敘述 誤差界限：統計量離參數多遠 信賴水準：所有樣本中有多少滿足這樣的誤差界限
有5%的樣本與真實值 差距超過了誤差界限 不知：此樣本是在95%「中」組，或5%「沒中」那組？ 只知：有95%的把握中了。
解讀信賴敘述-1 信賴敘述針對母體而非樣本。 我們對母體的結論永遠不會是完全確定的。 報告誤差界限時，用「95%的信賴水準」是普遍的。
解讀信賴敘述-2 若要求99%的信賴水準，則需接受比95%信心時大的誤差界限：「能將參促估算得多準（誤差界限）」vs. 「樣本能符合誤差界限有多大信心」：無法同時兼顧。
解讀信賴敘述-3 想在同樣信賴水準下要求較小的誤差界限嗎？取大些的樣本。（抽樣6萬人而非1234人）
期中報告舉例 按指紋核發身分證 贊成 反對 利弊得失 大眾的立場…