3．2　 二倍角的正弦、余弦、正切 一、素质教育目标 (一)知识教学点 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导． (二)能力训练点 1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导，提高学生的变形能力． 2．通过综合运用公式，使学生掌握有关的技巧，提高学生分析问题、解决问题的能力． (三)德育渗透点 通过学习使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导． 2．教学难点：公式的应用． 3．教学疑点：二倍角的正切公式是有条件的，使用时要先考虑公式是否有意义，再选择恰当的公式．

三、课时安排 建议1课时． 四、教与学过程设计 (一)复习引入 师：上一节我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切，我们大家一起回忆六个公式． 生：(板书) sin(α±β)=sinα·cosβ± cosα·sinβ 师：对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去识记它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆．我们还要注意公式的正用、逆用和变用．今天我们要继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式．

生：(板书) sin(α+α)=sinαcosα+cosα·sinα 得　 sin2α=2sinα· cosα． cos(α+α)=cosα·cosα-sinα·sinα 得　 cos(α+β)= cos2α-sin2α 师：这样我们很轻松地得到二倍角的三个公式，但对于公式tg2α= 生：要使tg2α有意义及1-tg2α≠0，tgα有意义．

生：利用诱导公式． 师：下面请同学想想看公式 cos2α= cos2α-sin2α还有没有其它的形式？ 生：有．(请这位同学板书) ∵ 　sin2α+cos2α=1， ∴　 sin2α=1-cos2α或 cos2α=1-sin2α． ∴　 cos2α=2cos2α-1 =1-2sin2α． 师：(板书三个公式，并告诉学生公式记号分别为S2α、C2α、T2α，C2α的另外两种形式叫做升幂公式．再通过变形为，cos2α=

意以下问题(板书)1° 用sinα和cosα表示sin2α、cos2α．用 tgα表示tg2α． 即用单角的三角函数表示复角的三角函数． α°C2α 有求和形式，T2α是有条件的． (三)应用举例 的值． 师：要求sin2α必须知道sinα和cosα，要求tg2α必须知道tgα，故我们可先求cosα与tgα，请同学们阅读课本P．216的解答． 例2　 (1)用sinθ表示sin3θ， (2)用cosθ表示cos3θ． 师：我们没有关于3θ的公式，但我们可以将3θ表示为2θ+θ的形式，请同学们按刚才的思路自己完成这两道题(教师巡视，及时提醒同学，只能用sinθ表示sin3θ，也只能用cosθ表示cos3θ)．

例3　 求证[sinθ(1+ sinθ)+ cosθ(1+cosθ)]． [sinθ(1-sinθ)+cosθ(1-cosθ)]=sin2θ． 思考题：请同学们比较式子两边的结构提出证题的方向？ 生：左边都是单角的三角函数，右边是二倍角，因为左边比右边明显复杂的多，所以应由左边证向右边，注意把单角的三角函数变为二倍角． 师：(板书) 证明：左边=(sinθ+ sin2θ+cosθ+cos2θ)(sinθ-sin2θ+cosθ-cos2θ) =(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=( sinθ+cosθ)2-1 = 2sinθ·cosθ = sin2θ=右边． ∴　 原式成立．

师：这道题大家都会感到无从下手，很难看出有什么公式可以直接使用，两个角50°与10°似乎还有一线希望，但由于受函数限制难以沾边(正弦与正切)所以很难发挥它的作用．大家来想想看有什么办法可以打破这一僵局(让学生讨论)． 生：可以尝试把正切化弦看看有否公式可用． 师：好的(板书)．

小结：本道题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后，果然获得成功，其实把正切化为弦就是一条重要的思路，请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律吧！另外本题的解答过程还反映了逆用公式的重要性，希望大家一并记下． 例5　 把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？ 问题1．要使横断面面积最大矩形与圆有什么关系？(让学生讨论) 生：矩形应内接于圆． 师：既然矩形内接于圆，那么矩形的对角线就是圆的直径长度为2R． 问题2．怎样表示矩形的面积？(引导学生要注意引入辅助量)

生乙：设对角线(即直线)与矩形一边的夹角为θ，则矩形的两边长分别是2R·sinθ和2R·cosθ，于是S= 4R2·sinθ·cosθ． 师：对于甲同学提供的方案暂不评说，但乙同学提供的方案却能很快求出问题的解．(教师板书)S=4R2sinθ·cosθ= 2R2·sin2θ． ∵　 sin2θ≤1，∴　 S≤2R2． 当 sin2θ= 1时，S取最大值 2R2． 所以，当2θ=90°时，即θ=45°时，圆内接矩形的面积最大，这时圆内接矩形为内接正方形． 小结：甲同时提供的方案也可以解决问题，但要用到二次函数求最佳的方法，比较烦，课后大家可尝试．但是以角做为辅助量，在一些场合却给大家带来许多便利，望大家能好好掌握．

(四)总结 本课结合公式Sα+β，Cα+β和Tα+β是α=β，得到二倍角公式，大家要注意C2α 有三种形式，而 T2α 是有条件的公式，在使用的过程中要注意正用、逆用和变用，做到灵活应用． (五)练习 课本P．219中练习1、2、3、4、5、6． 第7题做课外练习． 五、作业 P．225中习题十六：1、2、3． 六、板书设计