§1．9　 直线和平面垂直的判定与性质 教学目的 1．进一步理解直线与平面垂直定义的两种用法； 2．理解并掌握直线与平面垂直的判定定理2； 3．理解并掌握直线与平面垂直的性质定理． 教学重点和难点 这节课的重点是使学生进一步理解、掌握直线和平面垂直的定义和判定定理．这节课的难点是直线和平面垂直的性质定理的证明． 教学设计过程 一、复习，讲练上节课所留的作业 师：先请一位同学讲他所做的第32页习题四中的第1题．（教师写出已知、求证并画出直观图）

已知：△ABC，l⊥AB，l⊥AC．（如图1） 求证：l⊥BC． 生：因为l⊥AB，l⊥AC， 所以  l⊥平面ABC．（线面垂直的判定定理） 故  l⊥BC．（线面垂直的定义） 师：对，在上一节我们讲直线和平面垂直的定义时，就强调过在立体几何中这是一个很重要的定义，我们一定要很好地理解、应用．线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，在线面垂直判定定理的证明思路就是回到定义去．关于这一应用在上节课中已经做了详细的说明．线面垂直的定义又是线面垂直的最基本的性质，当我们知道直线和平面垂直后，这平面的垂线就和平面内任何一直线都垂直，所以应用线面垂直的定义是证明两直线垂直常用的方法之一．

师：现在我们来看第32页习题四的第2题．请一个同学回答．（写出已知、求证和根据已知条件而画的直观图，我们叫它为起始图） 已知：直线a∥平面α，直线b⊥平面α．（如图2（1）） 求证：b⊥a． 生：过a作平面β，设β∩α＝c，因为a∥α，所以a∥c．（线面平行的性质定理） 又因为b⊥α，因此b⊥c，故b⊥a． 师：我们怎样想到要过a作平面β的呢？ 生：这是线面平行的性质定理的要求．因为在线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．在图中没有这条交线，所以我们就要作平面β∩α＝c，作出这条交线，以满足定理的要求a平行交线c．

师：这是定理要求我们作辅助面．在立体几何解题过程中，我们经常要作辅助线、辅助面，我们根据什么原则来作辅助线、辅助面呢？有两条原则：一是用概念来指导作图，这在求异面直线所成的角时，我们曾反复强调；二是用定理来指导作图．这就是今天我们在证明这个题时要明确的．这是在立体几何中作辅助线、辅助面的两条基本原则，遵循这两条原则就说明解题的思路是正确的，就使解题的正确性有了基本的保证；反之，如果违背了这两条原则，那就说明了第一步就走错了方向．这一题肯定不可能做对．所以作辅助线、辅助面这两条原则我们一定要理解、记住，并且在解题过程中应用．当然，以后随着课程内容不断的展开，我们还会反复强调这两条原则． 以前我们还讲过要使直观图有好的视觉效果，还要注意视角的选择，这一题的起始图（根据已知条件所画出的直观图）看起来它的视觉效果并不好，但当我们证完这道题，看到它的终止图（解完题后的直观图）视觉效果就比较好，所以视角选择好与不好要以终止图的视觉效果好与不好为标准．这样在解完一道题后，有时要重新设计起始图的画法，以保证终止图有最好的视觉效果．

二、直线与平面垂直的判定定理2． 师：这是课本第25页的例1，我们把它正式升格为判定定理2．我们来看下面的模型就很容易了解定理的内容．（这时拿出两根小棍平行地放在课桌面上，并使其中一根与桌面垂直，让学生观察另一根与桌面的关系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b与平面α是什么关系？ 生：b也垂直平面α． 师：这就是线面垂直的判定定理2． 判定定理2  如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面． 已知：a∥b，a⊥α．（如图3） 求证：b⊥α． 师：判定定理1、判定定理2，这里的1，2不是人为的排列，而是有它内在的逻辑关系，也就是说我们可以应用判定定理1来证明判定定理2，那么我们如何用判定定理1来证明判定定理2呢？

生：为了用判定定理1，我们可以首先在平面α内作两条相交直线m，n． 因为  a⊥α， 所以  a⊥m，a⊥n．（线面垂直的定义） 又因为  a∥b， 所以  b⊥m，b⊥n．（一条直线垂直于平行线中的一条也就垂直于另一条） 故  b⊥α．（线面垂直的判定定理1） 三、直线和平面垂直的性质定理 师：现在我们来研究直线和平面垂直的性质定理，先来看模型．（这时教师用两根小棍都垂直于桌面，让学生观察、回答） 生：这两直线平行． 师：这就是直线和平面垂直的性质定理． 直线和平面垂直的性质定理  如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

已知：a⊥平面α，（如图4）b⊥平面α， 求证：a∥b． 师：我们讲过了线面垂直的判定定理1、2．也曾经在讲线面垂直的定义时，把课本中的两句话（第24页）升格为两个定理，即： 定理  过一点有且只有一条直线和一个平面垂直． 定理  过一点有且只有一个平面和一条直线垂直． 现在可以根据上述定理来证明线面垂直的性质定理：

四、两个定义 1．点到平面的距离  从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离． （教师可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后给点到平面的距离下定义，下完定义后可指出，点到平面的距离可转化为两点间的距离，即这个点和垂足之间的距离） 2．平行的直线和平面的距离  一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离． （教师可先用一根小棍和平面平行，演示让学生观察，如何给平行的直线和平面的距离下定义，定义给出后，教师可指出平行的直线和平面的距离可能转化为点到平面的距离，当然也就可转化为两点间的距离） 师：在这定义中，是这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离，那会不会因在直线上所取的点不同，而使距离不同呢？ 生：不会，它们之间的距离都相等． 师：对，但为了在理论上说明这个定义的合理性，我们来看下面这个例题．

例  已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如图5） 生：因为AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性质定理），所以过AA′，BB′作平面β，设β∩α＝A′B′，因为l∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行线间的距离处处相等） 师：通过这个例题的证明，我们就了解了定义的合理性．可以在直线上任意取点．这对于以后我们求平行的直线和平面的距离，提供了很好的思路． 今天我们讲了直线和平面垂直的第2个判定定理，讲了直线和平面垂直的性质定理，在这个基础上还讲了点到平面的距离、平行的直线和平面的距离两个定义． 作业 课本第32页习题四第3，5，8题．