汽车可靠性技术 第五讲 主讲教师：杨志发　　　　　　　　　　　　　　　　学时：32

汽车可靠性理论基础

内 容 提 纲 概率统计基础知识 可靠性函数 可靠性理论分布 可靠性数据分布 3/106

一、概率统计基础知识

从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。 1、总体与样本 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。 从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。 5/106

样本：来自总体的部分个体X1， … ， Xn 如果满足： （1）代表性： Xi，i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： 6/106

？ 总体、样本、样本观察值的关系 理论分布 总体 样本观察值 样本 统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体 7/106

2、随机事件及概率 随机现象 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的试验结果 随机事件间相互关系 在一定条件下，并不总出现相同结果的现象 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的试验结果 随机事件间相互关系 事件包含关系 和事件示意图 8/106

积事件示意图 差事件示意图 互不相容事件示意图 对立事件示意图 9/106

汽车可靠性技术 第六讲 主讲教师：杨志发　　　　　　　　　　　　　　　　学时：32

基本定理 两事件不独立 概率加法定理 概率乘法定理 概率互补与全概率公式 两事件不相容 两事件相容 两事件独立 10/106 互不相容则是说Ａ发生则Ｂ必不发生；相互独立，是指一个事件的发生不会使另一个事件的发生增加或减少可能。 10/106

11/106

步骤 步骤 未 步骤 12/106

3、统计特征数 平均值 中位数 n个数据从小到大排列，居于中央位置的数，称为中位数。当n为奇数时，中位数 ；当n为偶数时，中位数是 和 的均值。 众数 在一批数据中，出现次数最多的一个数。 13/106

表示离散程度的特征数 1.样本极差 14/106

汽车可靠性技术 第七讲 主讲教师：杨志发　　　　　　　　　　　　　　　　学时：32

二、可靠性函数

1）可靠度函数的定义 n(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。 2.1 可靠度函数 可靠度(Reliable)的定义：产品在规定的条件下，在规定的时间内完成规定功能的概率，称为可靠度。这种用概率来度量可靠度的函数，称可靠度函数，简称可靠度，用R(t)表示。 式中 N0 — t=0时，在规定条件下进行工作的产品数； n(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。 16/106

2）可靠度函数的含义 产品在规定的时间内是否失效? 2.1 可靠度函数 2）可靠度函数的含义 产品在规定的时间内是否失效? 是一种随机现象以用概率来度量产品在某一时刻的可靠性。可靠度是时间t的函数，取值在0与1之间。 T为产品固有寿命? t为规定时间 17/106

2.2 失效概率分布函数 定义 失效概率，就是产品在规定的条件下，在规定的时间内未完成规定功能的概率，也称不可靠度 F(t) ；通常用累积故障概率的分布函数来表示，这种函数，称不可靠度函数或累积失效概率分布函数，简称失效概率分布函数。 含义 设有N件产品，在规定的条件下工作到规定的时间T,发生故障（失效）的件数为n(t),仍有（N－n）个产品继续工作，如果产品总数N足够大时，则可靠度近似为 则失效概率近似为 18/106

2.2 失效概率分布函数 显然，以下关系成立： 失效概率密度函数f(t) f(t)的量纲为时间的倒数，是一个广义的时间。 19/106

可靠度函数与失效概率分布函数的性质 2.2 失效概率分布函数 与 的性质如下表 所示： 取值范围 [0，1] [0，1] 单调性 非增函数 与 的性质如下表 所示： 取值范围 [0，1] [0，1] 单调性 非增函数 非减函数 对偶性 20/106

2.2 失效概率分布函数 21/106

工作到某时刻尚未发生故障的产品，在该时刻后单位时间内发生故障的概率，称之为产品的故障率。 2.3 失效率函数 故障率 工作到某时刻尚未发生故障的产品，在该时刻后单位时间内发生故障的概率，称之为产品的故障率。 用数学符号表示为： Λ(t)dt代表寿命为t的设备在一个很小的时间间隔内t到t+dt失效的概率。 Λ(t)是条件概率密度 式中 ——故障率； ——t 时刻后， 时间内故障的产品数； ——残存产品数，即到t 时刻尚未故障的产品数。 22/106

可按下式进行工程计算： 2.3 失效率函数 式中 —— 时刻后， 时间内故障的产品数； ——所取时间间隔； ——残存产品数。 式中 —— 时刻后， 时间内故障的产品数； ——所取时间间隔； ——残存产品数。 对于低故障率的元部件常以 为故障率的单位，称之为菲特（Fit）。 23/106

产品的寿命为非负连续型随机变量x，失效概率分布函数为F(t)．失效概率密度函数为f(t)时，定义 为失效率函数 2.3 失效率函数 故障率数学定义 产品的寿命为非负连续型随机变量x，失效概率分布函数为F(t)．失效概率密度函数为f(t)时，定义 为失效率函数 故障率含义 24/106

2.3 失效率函数 故障率与可靠度、故障密度函数的关系 由于 ，所以： 故障率的含义 25/106

2.3 失效率函数 26/106

2.3 失效率函数 平均故障前时间(MTTF) 27/106

2.3 失效率函数 平均故障间隔时间(MTBF) 一个可修产品在使用过程中发生了N0次故障 28/106

某微型计算机的MTBF=10000小时，是否意味着该计算机每工作10000小时才出一次故障？ 2.3 失效率函数 某微型计算机的MTBF=10000小时，是否意味着该计算机每工作10000小时才出一次故障？ 29/106

汽车可靠性技术 第八讲 主讲教师：杨志发　　　　　　　　　　　　　　　　学时：32

2.3 失效率函数 寿命特征 30/106

2.3 失效率函数 31/106

首翻期、翻修间隔期和使用寿命 2.3 失效率函数 λ(t) 首次翻修期 翻修间隔期 规定的故障率 A B λ(=1/MTBF) t 使用寿命 32/106

可靠性参数分类 可靠性参数分为基本可靠性参数和任务可靠性参数 2.3 失效率函数 基本可靠性反映了产品对维修人力费用和后勤保障资源的需求。 确定基本可靠性指标时应统计产品的所有寿命单位和所有的故障。 任务可靠性是产品在规定的任务剖面中完成规定功能的能力。 确定任务可靠性指标时仅考虑在任务期间那些影响任务完成的故障(即致命性故障)。 33/106

可靠性参数的相关性 2.3 失效率函数 平均故障间隔时间(MTBF)与平均故障间隔飞行小时(MFHBF) 任务成功概率与致命故障间的任务时间 34/106

2.3 失效率函数 思考问题 失效率是概率值么？ 故障率有量纲么？ 故障率和失效率有什么关系？ 35/106

2.4 直方图 分布状态描述——频数直方图 1、概念：频数直方图是通过对随机收集的样本数据进行分组整理，并用图形描述总体分布状态 的一种常用工具 2、绘制程序 3、 频数直方图、频率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线 4、 频数直方图的应用 36/106

2、绘制程序 2.4 直方图 例 从一批螺栓中随机抽取100件测量其外径数据如下表所示，螺栓外径规格为 ，试绘出频数直方图。 单位：mm 例 从一批螺栓中随机抽取100件测量其外径数据如下表所示，螺栓外径规格为 ，试绘出频数直方图。 单位：mm 7.938 7.930 7.914 7.924 7.929 7.928 7.920 7.918 7.923 7.925 7.913 7.926 7.922 7.915 7.919 7.927 7.931 7.935 7.939 37/106

2.4 直方图 绘制步骤 1）收集数据，并找出数据中最大值xL和最小值xS数据个数应≥50，并将数据排成矩阵形式。本例数据个数n=100。最大值xL=7.938，最小值xS=7.913。 2）计算极差 3）确定分组组数k k值的选择一般参考下表给出的经验数值确定本例选择k=10 4）确定组距h 5）计算各组的上、下边界值 6）计算各组的组中值xi 7）统计落入各组的数据个数，整理成频数表 8）作直方图 数据量与分组数对照表 n K 50-100 6-10 100-250 7-12 250以上 10-20 38/106

组距即每个小组的宽度，或组与组之间的间隔 2.4 直方图 4）确定组距h 组距即每个小组的宽度，或组与组之间的间隔 本例中 为分组方便，常在h的计算值基础上将其修约为测量单位的整数倍，并作适当调整。 如本例测量单位为0.001，将h修约为0.003。 39/106

5）计算各组的上、下边界值 2.4 直方图 为了不使数据漏掉，应尽可能使边界值最末一位为测量单位的1/2。 当h为奇数时， 第一组边界值应为 第一组上边界值=xS – 测量单位/2 第一组下边界值=上边界值+h 一直计算到最末一组将xL包括进去为止。 本例h为奇数，故第一组上下边界值为 其余各组的上下边界值为： 某组上边界值=上组下边界值 某组下边界值=该组上边界值+h 本例第二组上下边界值为7.9175～7.9145；第三组为7.9175～7.9205…… 依次类推，最后 一组为7.9385，包括了最大值7.938(见频数表)。  ～7.9145 40/106

2.4 直方图 6）计算各组的组中值xi 如本例 41/106

2.4 直方图 7）统计落入各组的数据个数，整理成频数表 组号i 组边界值 组中值xi 频数统计 fi 1 7.9115 ～7.9145 7.913 2 7.9145 ～7.9175 7.916 3 7.9175 ～7.9205 7.919 正 正 正 一 16 4 7.9205 ～7.9235 7.922 正 正 正 18 5 7.9235 ～7.9265 7.925 正 正 正 正 23 6 7.9265 ～7.9295 7.928 17 7 7.9295 ～7.9325 7.931 15 8 7.9325 ～7.9355 7.934 9 7.9355 ～7.9385 7.937 42/106

x 以频数为纵坐标，质量特性为横坐标画出坐标系，以一系列直方形画出各组频数，并在图中标出规格界限和数据简 历，组成频数直方图 8）作直方图 2.4 直方图 8）作直方图 以频数为纵坐标，质量特性为横坐标画出坐标系，以一系列直方形画出各组频数，并在图中标出规格界限和数据简 历，组成频数直方图 频数 f 规格要求 n=100 96.5.7～96.5.15 25 3#件 S=0.00519 20 23 15 18 16 17 15 2号机床 X=7.92524 10 5 2 2 3 4 7.913 x 7.919 7.925 7.931 7.937 7.9 7.916 7.922 7.928 7.934 7.95 43/106

3、频数直方图、频率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线 2.4 直方图 3、频数直方图、频率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线 1） 频数直方图、频率直方图、频率密度直方图和频率密度曲线图形演变 频数直方图 以样本数据表征的质量特性值为横坐标，以频数为纵坐标 作出的描述数据分布规律的图形。 频率直方图 将频数直方图的纵坐标改为频率做出的频率直方图，其形状与 频数直方图应完全一样 若将纵坐标改为频率密度，横坐标不变，直方图的形状也不变。 频率密度曲线 当样本数据的大小n→∞，组距h→0时，直方的数量将趋于∞；随机变量(即质量特征)在 某 区间h的频率密度将趋于概率密度；直方顶端联成的折线将形成一条光滑的曲线——概率密 度曲线 44/106

2.4 直方图 2）区别与联系 频数直方图、频率直方图、频率密度直方图与概率密度曲线，虽然它们的坐标不同，描述 分布状态的方式有的是折线、有的是曲线，但其大致形状是相似的。概率密度曲线表明了总 体的分布状态；而频数直方图等是对总体分布状态的描述 3）正态分布及其频数直方图的特征 实践和理论证明：当一个连 续型随机变量受到许多相互独立的随机因素的影响时，如果这许多因素的影响虽然有的大一 些，有的小一些，但每一个因素在影响的总和中都不起主导作用时，这个随机变量将服从正 态分布。 许多产品的计量质量指标，如强度、长度、寿命、测量误差等在生产条件稳定、正常的前 提下，均服从正态分布。因此，测量这些指标得到的数据，其频数直方图的形状应具有正态 分布概率密度曲线的特征——为中间高、两边低、左右大致对称的山峰型。 45/106

2.4 直方图 4、频数直方图的应用 1）观察工序状态 （1） 原理 大部分计量指标服从正态分布，即在稳定正常生产 状态下得到的数据，其频数 直方图的形状是“中间高、两边低、 左右对称的山峰型”，我们称这种形状的直方图为正常型直方图 。 当影响产品质量特性的因素中，有的因素在影响的总和中占据了主导地位，成为“异常 因素”时，质量特性的正态分布状态将被打破，频数直方图的形状将出现异常型。此时，现 场人员应根据直方图形状迅速分析判断异常原因，采取措施，使工序恢复正常状态。 46/106

2.4 直方图 （2）几种常见的异常型频数直方图 ● 孤岛型 在直方图旁边有孤立的小岛出现。其原因是在加工和测量过程中有异常情况出现。如原材 料的突然变化，刃具的严重磨损，测量仪器的系统偏差，不熟练工人的临时替班等。 ● 偏向型 偏向型也称偏峰型。即直方的高峰偏向一边。这常常是由于某些加工习惯造成的。如加工 孔时，有意识地使孔的尺寸偏下限，其直方图的峰则偏左；当加工孔时，有意识 地使轴的尺寸偏上限，其直方图的峰则偏右。 ● 双峰型 直方图出现了两个高峰。这往往是由于将不同加工者、不同机床、不同操作方法等加工 的产品混在一起造成的。因此，必须先对数据进行分层，再作频数直方图。 ● 平顶型 平顶型即直方图的峰顶过宽过平。这往往是由于生产过程中某种因素在缓慢的起作用造成 的。如刃具的磨损、操作者逐渐疲劳使质量特性数据的中心值缓慢的移动造成的。 ● 折齿型 测量误差太大或分组组数不当都会使直方图出现凸凹不平的折齿形状。 ● 陡壁型 直方图在某一侧出现了高山上陡壁的形状。这往往是在生产中通过检查，剔除了不合格品后 的数据作出的直方图形状。 47/106

2.4 直方图 a.正常型 b.孤岛型 c.偏向型 d.双峰型 规格范围 e.平顶型 f.折齿型 g.陡壁型 48/106

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（1）原理：在直方图上标明规格上限及下限，可直观地将直方图的位置、 分散范围与规格比较，从而分析质量状况，明确改进方向。 2.4 直方图 2）与规格比较，明确改进方向 （1）原理：在直方图上标明规格上限及下限，可直观地将直方图的位置、 分散范围与规格比较，从而分析质量状况，明确改进方向。 （2）与规格比较的几种情况 49/106

50/106 直方图的分布范围仍在规格范围内，但中心偏向一侧。 此时，已存在出现不 合格品的潜在危险，应立即采取措施，将分布中心调至规格中心 产品分布范围 产品分布范围 产品分布范围 直方图的分布范围仍在规格范围内，但中心偏向一侧。 此时，已存在出现不 合格品的潜在危险，应立即采取措施，将分布中心调至规格中心 直方图的分布范围已充满整个规格界限。此时，存在更多出现不合格品的潜 在危险，必须立即采取措施，减小分散。 最理想的直方图 规格范围 规格范围 产品分布范围 产品分布范围 直方图的分布范围已超出现规格界限，并已出现一定数量的不合格品。应立 即采取措施，减小分散；对产品 实施全数检查；或适当放宽规格界限，以减小损失 分布非常集中。在此情况下，应充分考虑经济效果，采取适当放宽工艺 条件或加严规格要求等措施。 50/106

2.5 失效率曲线 1、对故障发生规律认识的变化 51/106

六种模式所占的比率（美国联合航空公司统计） 2.5 失效率曲线 2、故障发生规律的六种模式 A:浴盆曲线，（有明显的耗损故障区，如各种结构零件，轮胎、刹车片、气缸、压气机叶片等） B:没有明显的早期故障，在生命期内故障增长缓慢，以耗损故障终结，（有明显的耗损故障区） C:在生命期内故障始终缓慢增长，没有明显的耗损故障区转折点（航空涡轮发动机） D:刚出厂时故障率较低，然后迅速增长到一个稳定的水平 E:整个生命周期内，故障率始终保持一个稳定的水平 F:有早期故障，没有明显的耗损故障（航空电子设备，software） 定期大修是否能保持装备的可靠性水平？ 事实上定期大修由于引入了新的早期故障而降低装备的可靠性水平 六种模式所占的比率（美国联合航空公司统计） 52/106

A:浴盆曲线，（有明显的耗损故障区，如各种结构零件，轮胎、刹车片、气缸、压气机叶片等） 2.5 失效率曲线 A:浴盆曲线，（有明显的耗损故障区，如各种结构零件，轮胎、刹车片、气缸、压气机叶片等） B:没有明显的早期故障，在生命期内故障增长缓慢，以耗损故障终结，（有明显的耗损故障区） C:在生命期内故障始终缓慢增长，没有明显的耗损故障区转折点（航空涡轮发动机） D:刚出厂时故障率较低，然后迅速增长到一个稳定的水平 E:整个生命周期内，故障率始终保持一个稳定的水平 F:有早期故障，没有明显的耗损故障（航空电子设备，software） 定期大修是否能保持装备的可靠性水平？ 事实上定期大修由于引入了新的早期故障而降低装备的可靠性水平 53/106

3、航天产品的统计数据 2.5 失效率曲线 六种模式所占的比率（航天产品的统计数据） 54/106 我国海军、装甲兵、通讯装备的一些统计资料都证明了许多产品都没有明显的耗损故障区的结论 六种模式所占的比率（航天产品的统计数据） 54/106

? 4、我国的情况 我国海军、装甲兵、通讯装备的一些统计资料都证明了许多产品都没有明显的耗损故障区的结论 2.5 失效率曲线 55/106 人类实际的浴盆曲线 55/106

2.5 失效率曲线 5、产品故障浴盆曲线（一） 人类健康的曲线 RIP 愿灵安眠 (rest in peace) 56/106

5、产品故障浴盆曲线（二） 2.5 失效率曲线 浴盆曲线 大多数产品的故障率随时间的变化曲线形似浴盆，称之为浴盆曲线。由于产品故障机理的不同，产品的故障率随时间的变化大致可以分为三个阶段： 57/106

6、可靠性工程内涵 浴盆曲线 典型的故障率模型，许多产品故障率呈此模型 分为三个阶段： 2.5 失效率曲线 早期寿命区：故障率随时间而降低* 恒定故障率区：故障率保持不变* 耗损区：故障率随时间而增加* 产品进入耗损期，故障多为老化、耗损，物理化学机理 产品进入成熟期，故障多为偶然原因造成 通过浴盆曲线 确定保修期 确定使用寿命 零部件个未能更换时间 器件的缺陷，制造的缺陷或储存运输的原因造成的故障 58/106

7、失效率函数曲线 1）早期(初期)失效期 2.5 失效率曲线 早期失效期的基本特征：开始失效率较高，随着时间的推移失效率逐渐降低，因而也称递减型失效，记作DFR型(Decreas-ing Failure Rate)。早期失效类型常见于使用产品的初期阶段. 59/106

2.5 失效率曲线 2）偶然失效期 60/106

2.5 失效率曲线 3）耗损失效期 耗损失效期的基本特征：随着时间的增长失效率急剧加大，因而也称递增型失效，记作IFR(Increasing Failure Rate)型。 这种类型的故障是由于产品的老化、磨损、疲劳引起的，故障集中发生在某个很小的时间区间内，所以又叫做集中故障型。 61/106

2.5 失效率曲线 4）汽车失效率与浴盆曲线 以汽车使用的时间为横坐标，以汽车的失效率为纵坐标制成的曲线，称为失效率曲线，也称寿命曲线。由于寿命曲线的形状象浴盆，通常也称浴盆曲线。 62/106

用浴盆曲线分析，怎样延长汽车的使用寿命？ 课堂作业 怎样制作直方图? 课后作业 一 用浴盆曲线分析，怎样延长汽车的使用寿命？ 63/106

三、可靠性理论分布

可靠度函数由不同的故障形式而服从不同的分布规律。机械设备中最常见的失效形式——随机故障服从于指数分布规律。 3.1 指数分布 汽车可靠性研究中所用的理论概率分布类型很多，较常用的分布有：指数分布、威布尔分布、正态分布、超几何分布、二项分布、泊松分布、对数分布等。此外．还有2分布、t分布、F分布等等。 可靠度函数由不同的故障形式而服从不同的分布规律。机械设备中最常见的失效形式——随机故障服从于指数分布规律。 65/106 1-48

对于指数分布来说，故障是随机发生的，因而每个相同时间间隔内出现故障的几律是相等的，即指数分布中的故障率λ是一个常数。 3.1 指数分布 对于指数分布来说，故障是随机发生的，因而每个相同时间间隔内出现故障的几律是相等的，即指数分布中的故障率λ是一个常数。 指数分布条件下，故障率λ与平均故障间隔期MTBF互为倒数，即： 指数分布下的可靠度函数: 故障概率密度函数： f(t)=λe－λt 累计故障概率密度函数：F(t)=1－e－λt 66/106

当工作时间 t 等于平均故障间隔期时，此时产品的可靠度为0.368，相应的不可靠度为0.632。即： 3.1 指数分布 f(t) f(t)=λe-λt t (a) t F(t) t (b) R(t) t（c） 当工作时间 t 等于平均故障间隔期时，此时产品的可靠度为0.368，相应的不可靠度为0.632。即： 不同的检修周期将使使用中的产品具有不同的可靠度， 检修周期越短，产品的可靠度越高。 0.632 F(t)=1－e-λe 0.368 R(t)=1-e－λe 67/106

3.1 指数分布 例题：故障遵从指数分布的产品有10件，其故障前的工作时间分别为30、70、110、120、140、250、320、360、400、450小时，试求其平均寿命、故障率、工作300小时无故障的可靠度及可靠度为99%时的工作时间。 解：平均寿命 故障率 =0.044 工作300小时的可靠度 =0.263=26.3% R=0.99时的工作时间 68/106 1-48

汽车可靠性技术 第十讲 主讲教师：杨志发　　　　　　　　　　　　　　　　学时：32

正态分布又称高斯分布。在数理统计的各种分布 中居于首位。设备管理中主要用于描述磨损阶段的 故障特性，轴承、齿轮、密封件等磨损件的寿命分 3.2 正态分布 正态分布又称高斯分布。在数理统计的各种分布 中居于首位。设备管理中主要用于描述磨损阶段的 故障特性，轴承、齿轮、密封件等磨损件的寿命分 布大多服从正态分布。 故障概率密度函数： μ: 随机变量 t 平均值的估计值； σ: 随机变量 t 方差的估计值。 69/106

3.2 正态分布 … 一般用N (μ,σ2 )表示正态分布。参数μ表示曲线对称轴距纵轴的距离，参数σ则决定曲线的形状，数值越大曲线越呈扁平状。如图示： f(t) t μ 70/106

3.2 正态分布 参数μ=0、σ=1的正态分布，即N（0，1）称 为标准正态分布，其故障概率密度为： u 定义为： 标准正态分布的可靠度函数： 71/106

求正态分布下的可靠度，只需求出参数μ、σ并据此求出参数 u 即可查表求出φ（u）值，在此基础上计算可靠度的数值。 3.2 正态分布 例题： 从某批故障服从正态分布的仪器中抽取5台进行寿命试验，各台仪器到发生故障的时间分别为10.5、11、11.2、12.5、12.8（103h），试求该批仪器工作12×103h 时的可靠度。 解： 求正态分布下的可靠度，只需求出参数μ、σ并据此求出参数 u 即可查表求出φ（u）值，在此基础上计算可靠度的数值。 72/106

威布尔分布是对指数分布和正态分布的扩展， 指数分布是威布尔分布的一种特殊情况，正态分布 则可运用威布尔分布作近似计算。 3.3 威布尔分布 威布尔分布是对指数分布和正态分布的扩展， 指数分布是威布尔分布的一种特殊情况，正态分布 则可运用威布尔分布作近似计算。 对于疲劳和磨损而失效的系统，威布尔分布是最好的描述。 威布尔分布的可靠度函数： 73/106

3.3 威布尔分布 故障概率密度函数： 故障率函数： m:形状参数； t0: 尺度参数。 f (t) 形状参数有改变威布尔曲线形状的作用，如 f(t) 曲线。当 m=2～4时，威布尔分布的故障概率密度曲线形状接近于正态分布（m=3.3086时为正态分布）；m=1时，曲线呈指数分布。对于威布尔分布，改变 m 即可得到其它故障形式的函数式。 故障率函数： m:形状参数； t0: 尺度参数。 t 74/106

只需求出参数 m、t0 即可计算产品的可靠度。实际应用中一般是通过威布尔概率纸加以估算。 （1） 威布尔概率纸的结构原理： 3.3 威布尔分布 只需求出参数 m、t0 即可计算产品的可靠度。实际应用中一般是通过威布尔概率纸加以估算。 （1） 威布尔概率纸的结构原理： 将式 两边取自然对数，得： 将其变形为： 两边再取对数： 令 、 、 使其具有直线方程的形式，即：Y=AX+B 75/106 1-48

X轴和Y轴构成的直角坐标系。X轴：概率纸上边线，lnt；Y轴：概率纸右边线 3.3 威布尔分布 （2）. 威布尔概率纸的结构： 1） 两组坐标： X轴和Y轴构成的直角坐标系。X轴：概率纸上边线，lnt；Y轴：概率纸右边线 t 轴和 F(t) 轴构成的威布尔坐标系。t 轴：概率纸下边线，对数坐标刻度；F(t) 轴：概率纸左边线，威布尔刻度。 2）横主轴：平行 t 轴，过F(t)=63.2%和 3）纵主轴：垂直于横主轴，过 t=1和 lnt=0点。 4）形状参数m值估算点：位于X轴（1）和Y轴（0）点。 76/106

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（3）威布尔概率纸的应用程序 t1 t2 t3 ti 3.3 威布尔分布 1）计算累积故障率 从实测数据（或按某时段的统计数）求累积故障概率F(t),不同时间内的累积故障率为： 式中：Ki—到时间ti时的故障累计数； n—设备或零件数。 求出F(ti)后，将不同的t值及相应的F（t）值列表如下： t t1 t2 t3 ti F(t) F(t1) F(t2) F(t3) F(ti) 78/106

将与时间 t 相应的 F(t) 值标在威布尔概率纸上并将各点拟合成为一条直线，即为威布尔直线。 3）估算各参数值： 形状参数 m 值的估算： 3.3 威布尔分布 2）描点： 将与时间 t 相应的 F(t) 值标在威布尔概率纸上并将各点拟合成为一条直线，即为威布尔直线。 3）估算各参数值： 形状参数 m 值的估算： 将威布尔直线平移，使之 通过m值估算点，从通过m点 的直线与纵主轴的交点右引水 平线与Y轴相交，交点刻度的 绝对值即 m 值。 纵主轴 威布尔直线 m 值估算点 横主轴 值 Y 轴 79/106

应用威布尔概率纸时，求出形状参数 m 后，可大致判断故障分布类型并可据此运用相应公式求解任意时间的可靠度参数。 3.3 威布尔分布 尺度参数 的估算： 从威布尔直线与纵主轴交点右引水平线与Y轴相交，将该交点所示刻度的绝对值移至X轴刻度上，向下作垂线与 t 轴相交所显示的刻度即t0值，如图所示。 a t 应用威布尔概率纸时，求出形状参数 m 后，可大致判断故障分布类型并可据此运用相应公式求解任意时间的可靠度参数。 80/106

某企业有100台设备，按1～10月份的故障统计，每月故障数和累积故障数如下表所示：试用威布尔概率纸求m、t0、λ(10)、R(10)的值。 3.3 威布尔分布 例题： 某企业有100台设备，按1～10月份的故障统计，每月故障数和累积故障数如下表所示：试用威布尔概率纸求m、t0、λ(10)、R(10)的值。 月份 故障数 累积 故障 累 积 故 障 率 F(t) 1 3 3% 6 2 22 22% 6% 7 8 30 30% 4 10 10% 32 32% 5 15 15% 9 40 40% 20 20% 42 42% 81/106

解：将表中数据描在威布尔概率纸上，将各点 拟合成一条直线，如图所示，可求得： 形状参数：m=1.35 尺度参数：t0=38.5 3.3 威布尔分布 解：将表中数据描在威布尔概率纸上，将各点 拟合成一条直线，如图所示，可求得： 形状参数：m=1.35 尺度参数：t0=38.5 83/106

威布尔分布是用三个参数来描述，这三个参数分别是尺度参数α，形状参数β、位置参数γ，其概率密度函数为： 3.3 威布尔分布 威布尔分布另一种常用定义：  威布尔分布是用三个参数来描述，这三个参数分别是尺度参数α，形状参数β、位置参数γ，其概率密度函数为：  (t≥γ，α＞0，β＞0) 84/106

3.3 威布尔分布 f(t) α =2 α =1 α =1/2 α =1/3 t 不同α值的威布尔分布 （β=2，γ=0） 85/106

3.3 威布尔分布 f(t) β =3 β =2 β =1 β =1/2 t 不同β 值的威布尔分布 （ α =1，γ=0） 86/106

f(t) t 3.3 威布尔分布 γ =0 γ =1 γ = - 0.5 γ =0.5 不同 γ值的威布尔分布 （ α =1， β =2） γ =0 γ =1 γ = - 0.5 γ =0.5 t 不同 γ值的威布尔分布 （ α =1， β =2） 87/106

四、可靠性数据分析

4.1 概述 参数估计在统计方法中的地位 统计方法 描述统计 推断统计 参数估计 假设检验 89/106

统计推断的过程 样本统计量 例如：样本均值、比例、方差 4.1 概述 总体 样本 参数估计 抽样 样本统计 90/106 总体均值、比例、方差 样本统计量 例如：样本均值、比例、方差 抽样 样本 样本统计 90/106

1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 例如我们要估计某队男生的平均身高. （假定身高服从正态分布 ） （假定身高服从正态分布 ） 现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数组成 . 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计 为1.68， 这是点估计. 估计 在区间 [1.57, 1.84] 内， 这是区间估计. 91/106

4.1 概述 参数估计的方法 矩估计法 最小二乘法 最大似然法 顺序统计量法 估 计 方 法 点 估 计 区间估计 92/106 14

被估计的总体参数 4.1 概述 总体参数 符号表示 用于估计的样本统计量 一个总体 均值 比例 方差 两个总体 均值之差 比例之差 方差比 93/106 14

概念 1.从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计 4.2 点估计 概念 1.从总体中抽取一个样本，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计 例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计 2. 点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息 3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等 94/106

例如: 样本均值就是总体均值的一个估计量 如果样本均值 x = 3 ，则 3 就是  的估计值 4.2 点估计 4. 用于估计总体某一参数的随机变量 如样本均值，样本比例、样本中位数等 例如: 样本均值就是总体均值的一个估计量 如果样本均值 x = 3 ，则 3 就是  的估计值 95/106

… 10, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 例 已知某地区新生婴儿的体重 , （μ、σ未知） 随机抽查100个婴儿 , 4.2 点估计 例 已知某地区新生婴儿的体重 , （μ、σ未知） … 随机抽查100个婴儿 , 得100个体重数据 10, 7, 6, 6.5, 5, 5.2, … 而全部信息就由这100个数组成 . 呢 ? 据此,我们应如何估计 和 96/106

我们需要构造出适当的样本的函数 T(X1,X2,…Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 . 4.2 点估计 为估计 : 我们需要构造出适当的样本的函数 T(X1,X2,…Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 . T(X1,X2,…Xn) 称为参数 的点估计量， 把样本值代入T(X1,X2,…Xn) 中， 得到 的一个点 估计值 . 97/106

还可以用别的统计量 . 问题是：使用什么样的统计量去估计 ？ 可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 常用估计量需求方法： 矩估计法 4.2 点估计 问题是：使用什么样的统计量去估计 ？ 可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 还可以用别的统计量 . 常用估计量需求方法： 矩估计法 极大似然法 最小二乘法 贝叶斯方法…… 98/106

4.3 区间估计 概念 1. 根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围 2. 给出总体参数落在这一区间的概率 3. 例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为 95% 样本统计量 (点估计) 置信区间 置信下限 置信上限 98/106

4.3 区间估计 内容 2 已知 2 未知 均 值 方 差 比 例 置 信 区 间 100/106 43

 x 落在总体均值某一区间内的样本 X =   Zx X _  4.3 区间估计 90%的样本 95% 的样本 99% 的样本 101/106 33

置信区间与置信水平 均值的抽样分布 (1 - ) % 区间包含了  % 的区间未包含 4.3 区间估计 a/2 1 - a Notice that the interval width is determined by 1- in the sampling distribution. (1 - ) % 区间包含了  % 的区间未包含 102/106 35

无偏性 C A  无偏性：估计量的数学期望等于被估计的总体参数 4.4 估计量的优良准则 P( X ) X 无偏 有偏 103/106 An estimator is a random variable used to estimate a population parameter (characteristic). Unbiasedness An estimator is unbiased if the mean of its sampling distribution is equal to the population parameter. Efficiency The efficiency of an unbiased estimator is measured by the variance of its sampling distribution. If two estimators, with the same sample size, are both unbiased, then the one with the smaller variance has greater relative efficiency. Consistency An estimator is a consistent estimator of a population parameter if the larger the sample size, the more likely it is that the estimate will come close to the parameter. 103/106

有效性 B A  有效性：一个方差较小的无偏估计量称为一个更 有效的估计量。如，与其他估计量相比，样本均值是一个更有效的估计量 4.4 估计量的优良准则 有效性 有效性：一个方差较小的无偏估计量称为一个更 有效的估计量。如，与其他估计量相比，样本均值是一个更有效的估计量 A B  中位数的抽样分布 均值的抽样分布 X P(X ) An estimator is a random variable used to estimate a population parameter (characteristic). Unbiasedness An estimator is unbiased if the mean of its sampling distribution is equal to the population parameter. Efficiency The efficiency of an unbiased estimator is measured by the variance of its sampling distribution. If two estimators, with the same sample size, are both unbiased, then the one with the smaller variance has greater relative efficiency. Consistency An estimator is a consistent estimator of a population parameter if the larger the sample size, the more likely it is that the estimate will come close to the parameter. 104/106

一致性 B A  一致性：随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数 4.4 估计量的优良准则 P(X ) X 较大的样本容量 较小的样本容量 较大的样本容量  P(X ) X An estimator is a random variable used to estimate a population parameter (characteristic). Unbiasedness An estimator is unbiased if the mean of its sampling distribution is equal to the population parameter. Efficiency The efficiency of an unbiased estimator is measured by the variance of its sampling distribution. If two estimators, with the same sample size, are both unbiased, then the one with the smaller variance has greater relative efficiency. Consistency An estimator is a consistent estimator of a population parameter if the larger the sample size, the more likely it is that the estimate will come close to the parameter. 105/106

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