第三章 量子力学初步 玻尔理论的困难，迫使新一代物理学家努力寻找更完整、更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门描述原子的崭新理论——量子力学在1924-1928年诞生了！ 本章将简要介绍：一些不同于经典物理的一些新思想、新概念及简单应用。介绍只能“言犹未尽”。

量子力学是现代物理学的理论基础之一，是研究微观粒子运动规律的科学，使人们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。 20世纪物理学最大的发现：相对论和量子力学。如果你能把物理学学到最薄处，用一页纸写出物理学的精华，那上面一定写着：对称，和谐，美。 量子力学研究内容: 研究微观粒子（分子、原子、原子核、电子等）运动规律的理论。 它是20世纪20年代在总结大量事实和旧量子论的基础上建立起来的。随着量子力学的出现，人类对于物质微观结构的认识日益深入，从而能较深刻地掌握物质的物理和化学的性能及其变化的规律，为利用这些规律于生产开辟了广阔的途径。量子力学是物理学中的基础理论之一。

量子力学研究对象: 反映微观粒子、分子、原子、低速运动的规律。 物理学基本理论分三大块： 经典物理学---研究低速、宏观物体； 相对论---------研究高速运动物体； 量子力学------研究微观粒子。 相对论、量子力学是近代物理的二大支柱。

补充作业 课本p113：3.2

3.1 波粒二象性及实验验证 1.经典物理中的波和粒子 波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。 在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述同一现象。 粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位置、动量可精确测定。 波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也可精确测定。

1923年，康普顿散射，再一次体现了光在传播中显示波动性，在能量转移时显示粒子性的二象性特征。 2.光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，麦克斯韦，光是一种电磁波 1905年，爱因斯坦，光量子 ------光的波粒二象性 1923年，康普顿散射，再一次体现了光在传播中显示波动性，在能量转移时显示粒子性的二象性特征。

3.德布罗意波粒二象性假设 3.1 德布罗意物质波思想起源 1.X射线的研究: 布拉格认为X射线是粒子 劳厄提出X射线是波长极短的电磁波 X射线时而像波,时而像粒子的奇特性质引起了许多人的关注, 德布罗意认为:波和粒子必定总是结合在一起. 2.接受相对论和光量子学说,特别是1923年4月compton效应发现以后,使他对光子概念的认识更加深入、清晰。

3.2 物质波概念的提出 1923年9月10日，发表第一篇关于物质波的论文《辐射—波和量子》提出了实物粒子也具有波粒二象性. 3.2 物质波概念的提出 1923年9月10日，发表第一篇关于物质波的论文《辐射—波和量子》提出了实物粒子也具有波粒二象性. 1923年9月24日，第二篇论文《光量子、衍射和干涉》. 1923年10月8日第三篇论文《量子、气体运动理论及费马原理》. 1924年完成了博士论文《量子理论的研究》，11月25日通过答辩，1925年发表在物理杂志上，该论文对他一年来的工作提出了系统的有逻辑性的报告，完整地阐述了他的物质波理论及应用. 物质波思想的影响：1、具有独创性和非凡的技巧；2、提出用晶体对电子的衍射来验；3、得到了爱因斯坦的高度评价；4、量子力学是物质波思想的直接影响下的一个丰硕成果.

德布罗意假设（de-Broglie assumption） 1924年，时为研究生的青年物理学家德布罗意在Einstein光量子理论的启发下，注意到经典理论在处理电子，原子等实物粒子方面所遇到的困难，是否会是经典理论走了另一个极端，即仅注意到粒子性一方面，而忽视了其波动性一方面。 9 9

于当年向巴黎大学理学院提交的博士论文中提出：在光学上，比起波动的研究来，过于忽略了粒子的一面；在物质理论上，是否发生了相反的错误，是不是我们把粒子的图象想得太多，而过于忽略了波的图象。指出一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子性和波动性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。 自由粒子具有 质量 m 速度 V 能量 E 动量 波长 频率 德布罗意关系 10 10

另外自由粒子的能量和所伴随的波的频率之间的关系为 总结 德布罗意指出任何物体都伴随以波，不可能将物体的运动和波的传播分拆开来。这种波称德布罗意物质波。德布罗意还给出了动量的为P的粒子所伴随波的波长 λ与P 的关系式， 。。。著名的德布罗意关系式。（1924年） 另外自由粒子的能量和所伴随的波的频率之间的关系为 对于光子，m0=0

德布罗意假设： 受光的波粒两象性的启发，一直被当作粒子的实物粒子(如电子、质子)，会不会也具有波动性呢?1924年，法国青年学者德布罗意在他的博士论文《量子理论的研究》中大胆提出实物粒子具有波长 也同样满足能量关系式 1924.11.29德布罗意把题为“量子理论的研究”的博士论文提交巴黎大学，获得评委会的高度评价和爱因斯坦的称赞：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”

所以 例题：从德布罗意波导出氢原子波尔理论中的角动量量子化条件。 德布罗意把原子定态与驻波联系起来，即把能量量子化与有限空间驻波的波长和频率联系起来。如电子绕原子核一周，驻波应衔接，所以圆周长应等于波长的整数倍。 电子驻波 原子中的电子可以在其轨道上稳定地存在，从波的角度看，电子波必须以驻波的形式存在于电子的轨道上，否则会因为波的相干叠加而消失。 形成驻波的条件是轨道周长为电子波长的整数倍，只有这样才能使波的起点和终点有相同的相位。 再根据德布罗意关系 得出角动量量子化条件 所以

德布罗意波 1924年德布罗意在光的波粒二象性的启发下，提出微观粒子也具有波粒二象性的假说，物质粒子---粒子的质量不为0---和光子一样，具有波的行为。物质粒子，比如电子，既是粒子，也是波，它也具有波粒二象性。这种与粒子相联系的波叫德布罗意波。波的频率和波长与粒子的能量和动量通过德布罗意公式联系起来。把实物粒子对应的波叫德布罗意波，也叫物质波. 1 德布罗意关系式（非0质量的粒子也满足） 粒子的满足上式的波称为德布罗意波(或物质波).

注意： *实物粒子和光一样也具有波粒二象性； *等式的左边能量E和动量P表示实物的粒子性；而等式的右边则表示实物的波动性。实物粒子的波动性和粒子性由德布罗意公式联系起来。 *为纪念爱因斯坦和对此所做的贡献，把他们称作爱因斯坦和德布罗意关系式。

例 在一束电子中，电子的动能为 ，求此电子的德布罗意波长 ？ 解 此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当.

求飞行的子弹 ，速度V=5.0102m/s 对应的德布罗意波长. 电子波长比可见光的波长（λ〜10-2nm）小5个数量级，比原子的半径（0.1 - 0.2纳米）还小得多。 求飞行的子弹 ，速度V=5.0102m/s 对应的德布罗意波长. 波长太小, 在宏观上测不到！ 所以微观粒子的波动性由于波长太小，所以很难测到。 微观粒子的波粒二象性！！ 17

补充德布罗意波长的计算 当自由粒子速度较小时： 例：电子经加速电势差 V伏加速后 电子的德布罗意波长为

4.德布罗意假设的实验验证 （1） 戴维孙―革末电子衍射实验 1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验：电子注正入射到镍单晶上，散射电子束的强度随散射角而改变，当散射角取某些确定值时，强度有最大值，这与X射线的衍射现象相同，这充分说明电子具有波动性。

5 10 20 15 25 I 衍射最大值： 电子的波长： （2） 电子双缝衍射 　　光通过两个窄缝时，会出现衍射条纹，这是光具有波动性的体现。将光源换成电子源，会出现同样的衍射条纹，这是电子具有波动性的又一例证。

或说 h ® 0 波粒二象性是普遍的结论:宏观粒子也具有波动性. 例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹 m 大   0 量子物理过渡到经典物理

1993年美国科学家M. F. Crommie等人把蒸发到铜(111)晶面的铁原子用扫描隧道显微镜的探针排列成半径为7 1993年美国科学家M.F. Crommie等人把蒸发到铜(111)晶面的铁原子用扫描隧道显微镜的探针排列成半径为7.13nm的园环，称为量子围栏(quantum corral),在这些铁原子形成的园环内，铜的表面态电子波受到铁原子的强散射作用，与入射电子波发生干涉，形成驻波。实验观测到了在围栏内同心园状的驻波，直观地证实了电子的波动性. 22

for his discovery of the wave nature of electrons L. de Broglie (1892-1987) for his discovery of the wave nature of electrons The Nobel Prize in Physics 1929 G. P. Thomson (1892-1975) C. Davisson (1881-1958) for their experimental discovery of the diffraction of electrons by crystals The Nobel Prize in Physics 1937

练习题:1.在B=1.25×10-2T的匀强磁场中沿半径为R=1.66cm的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长λ=———. 2. 运动速率等于300K时方均根速率的德布罗意波长是———.氢原子质量m=1.67×10-27kg, 玻尔兹曼常数k=1.38×10-23J·K-1

3.已知第一玻尔轨道的半径为a,当氢原子中电子沿第n玻尔轨道运动时,其相应的德布罗意波长是———. 4.能量为15ev的光子,被处于基态的氢原子吸收,使氢原子电离发射一个光电子, 此光电子的德布罗意波长为———.

不确定关系 海森伯（W. K. Heisenberg，1901-1976） 德国理论物理学家。他于1925年为量子力学的创立作出了最早的贡献，而于25岁时提出的不确定关系则与物质波的概率解释一起奠定了量子力学的基础。为此，他于1932年获得诺贝尔物理学奖金。

3.2 测不准关系 宏观粒子状态能用位矢r(t)和动量P(t)来描述。 3.2 测不准关系 宏观粒子状态能用位矢r(t)和动量P(t)来描述。 微观粒子状态，它的空间位置和动量是不可能同时精确地测定的。能量和时间之间也是不可能同时精确测定。 如何理解这些式子？

电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出) 单缝电子衍射 参考课本P83

电子以速度沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置： x方向上，粒子坐标的不确定度为： 粒子动量的不确定度为： 大部分 电子落在中央明纹 又 考虑更高衍射级次：

海森堡（Heisenberg）在1927年从理论上得到： 狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。 如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。 海森堡（Heisenberg）在1927年从理论上得到：

实际原子体系中由于该关系使能级产生了一定的宽度E. 能量和时间的不确定关系: 参见课本p:84 实际原子体系中由于该关系使能级产生了一定的宽度E. 另一种证明方法：

第1个式子说明: 粒子在客观上不能同时具有确定的坐标位置 和相应的动量(坐标-动量测不准关系） 第2个式子说明: 粒子在客观上不能同时在确定的时间具有相应确定的能量（时间-能量测不准关系） 1901-1976，量子力学创立者之一，1932年诺贝尔物理学奖

基态要求能量最低，即E(p)具有极小值： 不确定原理的应用 近似估计氢原子基态的电子总能量1： 氢原子中电子的总能量 r代替位置不确定度，p代替动量不确定度（仅仅估计） 给出不确定关系估计： 将不确定关系带入能量表达式 预示着玻尔氢原子的轨道概念的破产 基态要求能量最低，即E(p)具有极小值： 可得到基态的动量和能量为： 请课后验证

估算氢原子可能具有的最低能量2: 电子束缚在半径为r 的球内，所以 按不确定关系 当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量： 代入上式得：

基态能应满足： 由此得出基态氢原子半径： 基态氢原子的能量： 与波尔理论结果一致。

基态要求能量最低，即E(p)具有极小值： 例题.已知某一维量子谐振子体系 试用海森堡的不确定性原理估计该量子谐振子体系的基态能量。（提示：可采用此形式的估计 ) 解：将不确定关系带入能量表达式 基态要求能量最低，即E(p)具有极小值： 可得到基态的动量和能量为： 所以

这个不确定范围是微不足道的，可见不确定关系对宏观物体来说，实际上是不起作用的。 例题1：一颗质量为10g的子弹，具有200m/s的速度，动量的不确定量为0.01%，问在确定该子弹的位置时，有多大的不确定范围？ 解：子弹的动量为 子弹的动量的不确定量为 由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为 这个不确定范围是微不足道的，可见不确定关系对宏观物体来说，实际上是不起作用的。

例题2：一电子具有具有200m/s的速率，动量的不确定量为0.01%，问在确定该电子的位置时，有多大的不确定范围？ 解：电子的动量为 子弹的动量的不确定量为 由不确定关系，可以得到子弹位置的不确定范围为 我们知道原子大小的数量级为10-10m，电子则更小。在这种情况下，电子位置的不确定范围比电子本身的大小要大几亿倍以上。

例 2 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。 例1 设电子与 的子弹均沿x方向运动， 精确度为 ，求测定x 坐标所能达到的最大准确度。 电子： 子弹： 例 2 原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。 原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系 氢原子中电子速率约为 106 m/s。因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。

少女？ 老妇？ 两种图像不会同时出现在你的视觉中

3.3 波函数及其物理意义 1．微观粒子状态的描述 德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数 来描述，函数 — 称为波函数。 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述，即微观粒子的运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。 德布罗意指出：微观粒子的运动状态可用一个复函数 来描述，函数 — 称为波函数。 ★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波，因此自由粒子的波函数如下：

自由粒子的德布罗意波函数 自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系可知，与自由粒子联系的波，它的频率和波长都不变，即它是一个平面波。用一个函数表示描写粒子的波，称这个函数为波函数。 写成复数形式

 是怎样描述粒子的状态呢？ 自由粒子的德布罗意波函数为： 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中 运动，它的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为： 描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。 一个问题：  是怎样描述粒子的状态呢？

光子数 N I  E02 1. 波函数 实物粒子的德布罗意波用波函数表示： 2.玻恩（M.Born）统计解释 波动说：干涉极大的地方，光的强度有极大值，而强度与振幅的平方成正比。 关于光的干涉极大的解释 光子在某处出现的几率和该处光振幅的平方成正比 统一于 粒子说：光强与来到该处的光子数成正比。 I大， 光子出现几率大I小， 光子出现几率小 光子数 N I  E02

1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释： 可见，波函数模的平方 与粒子 时刻在 处附近出现的概率成正比。 1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释： 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率（几率）成正比。 物质波不代表实在物理量的波动,而是刻划粒子在空间概率分布的概率波.我们不能通过波函数预言一个粒子某时刻一定出现在什么地方，但是可以指出在空间各处找到该粒子的概率是多少。

波函数的玻恩（M.Born）统计解释： 表示t时刻，（x，y，z）处单位体积 内发现粒子的概率。称为概率密度。  可测，有直接物理意义 (2)  和 c  不同 经典波函数: 比较 物质波波函数： (1)  不可测，无直接物理意义， |  |2才可测，且有物理意义； (2)  和 c  描述相同的概率分布 (c是常数)。

用电子双缝衍射实验说明几率波的含义. 电子的状态用波函数 描述 只开上缝时, 电子有一定的几率通过上缝 其状态用1 描述 只开下缝时 ,电子有一定的几率通过下缝 其状态用2描述 双缝齐开时: 电子可通过上缝 也可通过下缝 通过上 下缝各有一定的几 率 干涉项 总几率振幅 总几率密度 出现干涉

波函数一般表示为复指数函数形式： 波函数的强度——模的平方 波函数与其共轭复数的乘积 波函数的统计解释 波函数在空间中某一点的强度（波函数模的平方）与粒子在该点出现的概率（几率）成正比。

（3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。 称为几率密度(概率密度) 必须注意 （1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是几率波”，这是量子力学的一个基本假设 （基本原理）。 知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态） （2）波函数一般用复函数表示。 （3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。

以上要求称为波函数的标准化条件 3、波函数需要满足的条件 1). 波函数的单值性、有限性、连续性 1). 波函数的单值性、有限性、连续性 根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元中找到粒子的几率必须为单值、有限、连续的 因为，粒子的几率在任何地方 只能有一个值； 不可能无限大； 不可能在某处发生突变。 以上要求称为波函数的标准化条件

2). 波函数的归一性 即 ……归一化因子 由于粒子不能湮灭，即总能在空间某处发现该粒子，则必须有 2). 波函数的归一性 由于几率是相对的，所以上面的积分也可以等于常数A 即 对于积分不等于1的波函数，通常进行归一化。 由于几率是相对的，波函数乘以一个常数因子后，没有变化。 ……归一化因子 The Nobel Prize in Physics 1954 (shared with W. Bothe) for his fundamental research in quantum mechanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunction M. Born (1882-1970)

总结波函数 1.Ψ和CΨ（C为任意常数）描述同一状态。 原因：粒子在空间各点出现的概率只决定于在空间各点强度*之间的相对比例，与绝对值并没有关系。 2. 波动行为要求Ψ满足叠加原理即Ψ=c1 Ψ1+c2 Ψ2。 原因：对于单缝衍射实验，单电子的德布罗意波相干叠加，不是强度*的叠加，而是的线性叠加，包含了相位的因素，因而看到明暗的衍射花样。（类比光波的衍射E电矢量的叠加）。 3. Ψ满足归一化条件。 原因：全空间找到粒子的总几率必为1。 4. Ψ具有单值，有限和连续的要求。 原因：几率自身的要求

Ex1：求波函数归一化常数和概率密度。 解：先把函数归一化，利用归一化条件

求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。 Ex.2 已知一维粒子状态波函数为 求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处出现的几率最大。 Solve: (1).求归一化的波函数 归一化常数 归一化的波函数

（2）几率分布： （3）由几率密度的极值条件 由于 故 处，粒子出现几率最大。

3.4 薛定谔方程 E. Schrödinger (1887-1961) de Broglie波的存在虽然已被证实，但还缺少一个描述它存在于时空中的波动方程. 1926年, E.Schrödinger创立波动力学，其核心就是今天众所周知的薛定谔方程，它在量子力学中的地位和作用相当于牛顿力学中的牛顿方程，它描述了量子系统状态的演化规律。 1933年与狄拉克分享诺奖 一般形式的薛定谔方程:

如果势场不显含时间t ,即V=V(r),则可分离变量 2 方程 定态Schrodinger方程（重点） Schrodinger方程： 1 条件 （势函数与时间无关） 如果势场不显含时间t ,即V=V(r),则可分离变量 2 方程 令 把它代入Schrodinger方程 注意对哪一个变量求导 可得：

两边同时除于 可得 只是时间的函数 只是空间坐标的函数 两边只能等于一个常数才能相等，设常数为E。

（定态薛定谔方程） 定态波函数 总结:分离变量中引入的常数E为粒子的能量，当粒子处在由上述波函数所描述的状态时，粒子的能量E有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的上述波函数称为定态波函数。 讨论 （1）在形如上式的波函数所描述的状态中，粒子能量E和概率密度都不随时间而变化，即与时间无关，这种状态叫做定态，相应的波函数叫做定态波函数.

因此求定态波函数归结为求波函数，也叫做定态波函数。定态 Schrödinger方程，其突出特点是方程中不含时间变量. 定态：特殊状态，能量有确定值，在定态中，它的概率密度，概率流密度都与时间无关。 定态薛定谔方程： （2）粒子在一维势场中 适用范围：单粒子；定态；一维 （一维定态薛定谔方程）：必须牢记

如果势场不显含时间t ,即V=V(r),则可分离变量: 总结 如果势场不显含时间t ,即V=V(r),则可分离变量: 则可得定态薛定谔方程 波函数具有形式（定态波函数）: 一般说来该方程不是对任意的E(能量)值才有解，只对一系列特定、分立值才有解，故这些特定的E值可以用整数n 编序成En，表明能量是量子化的。可见能量量子化自然蕴含在薛定谔方程中。

代表力学量的算符与均值 其中为归一化常数 一、力学量的均值 每一个量子态下，力学量算符A的均值： 二、力学量算符的表现形式 1、坐标算符 代表坐标 的算符就是 本身 2、势能算符 只与坐标有关的势能 ，其算符也是本身

3、动量算符 动量 可以用算符 代表

4、能量算符 代表能量E算符 哈密顿算符只包括空间变量，不包括时间， 与时间无关的薛定谔方程，称为本征方程

在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值 求在能量本征态 下，动量和动能的平均值 EX１ Solve 在能量本征态下测量到的动能平均值等于该态所对应的能量本征值

补充一些积分的知识

例题2: 粒子状态处于一维谐振子的基态 试求： （1）平均值 ；（2）平均值 ； 解：（1）

（2）

1927年索尔维会议（Solvay Conference ）合影 一张集合了世界上  1/3  智慧的照片（29人） 有十七人获得或后来获得诺贝尔奖 1927年索尔维会议（Solvay Conference ）合影

具体见课本P:106 角动量 直角坐标 x、y、z 球坐标 r、、

规律：前面的往前，后面的往后

算符的对易

坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系,其它力学量的对易关系均可由此导出。 课外作业：

求 解： 所以

角动量平方算符（球坐标系中） 基本特点：与r无关 （1）算符 （2） 的本征方程 由于 为 的单值函数，应有周期条件: 由波函数单值性要求 即

本征值: 可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或 的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。 故m必须是整数,即 可见本征值是量子化的分立谱。利用归一化条件 所以 所以Lz本征函数为:

（3）角动量平方算符 L2 的本征值问题 本征方程: 在球坐标系中 令 （1）

此为球面方程（球谐函数方程）。其中 是 属于本征值 的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在 区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述），可得 方程有解的条件: （2） （3） 磁量子数 由（1） 、（2）式得出 的本征值. 角量子数 轨道角动量量子数

可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值 的本征值: 可见，微观系统的角动量只能取一系列离散值 球谐函数 是 属于本征值 的本征函数 ， 是缔合勒让德多项式。 由 的正交归一化条件 求得归一化因子: 故球谐函数的具体表达式如下：

讨论 （1）简并情况 在求解 本征方程的过程中，出现角量子数 和磁量子数 。

值不同的本征函数与同一个本征值 对应。 共有 个。因此, 的本征值 是 度简并的。 Ex: 即 属于本征值 的线性独立本征函数 简并度为3 的本征值 仅由角量子数 确定，而本征函数 却由 和 确定。对于一个 值， 可取 ，这样就有 个 值相同而 值不同的本征函数与同一个本征值 对应。 即 属于本征值 的线性独立本征函数 共有 个。因此, 的本征值 是 度简并的。 Ex: 简并度为3 简并度为1

3.5 量子力学中的几个问题 一 补充知识 1 核心问题 波函数；能量 2 求解步骤 （1） 分析势函数，列出薛定谔方程； 3.5 量子力学中的几个问题 一 补充知识 1 核心问题 波函数；能量 2 求解步骤 （1） 分析势函数，列出薛定谔方程； （2） 求解薛定谔方程； （3）利用标准条件（单值、有限、连续）确定未知数和能量本征值； （4） 由归一化条件定出归一化系数

常微分方程的三种形式解: 这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解： （最常用） 依方便, 随取一种形式的解. ,其方程的解

二、一维无限深势阱 一维无限深势阱中粒子的势能为 金属中的自由电子可看作在一维无限深势阱中运动 其势能函数为： Ⅱ Ⅰ y 束缚态——通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。 基态：体系能量最低的态。

Ⅱ Ⅰ y 对Ⅱ区： 波函数及其一阶、二阶导数均有限 波函数的有限性

对Ⅰ区： Ⅱ Ⅰ y 方程简化为：

Ⅱ Ⅰ y 方程的通解为： 由波函数的连续性,利用边界条件 A和B不能同时为0。否则处处为0 。因此我们得到两组解：

对于第一组，n为偶数 对于第二组，n为奇数 由此可求得

能量 体系能量最低的态称为基态

波函数 对于第一组，n为偶数 对于第二组，n为奇数

由归一化条件求系数

一维无限深势阱中粒子的定态波函数为

相对于原点是对称的，称为正宇称或偶宇称。 相对于原点是反对称的，称为负宇称或奇宇称。

同理，换一下势阱的范围，那么波函数和能量？ 与例题推导过程类似，同学们自己做。具体见周世勋所编的《量子力学》P26.其答案为： 这三种势阱的类型，同学们务必掌握。

经典力学 不越 可势穿垒 可势穿垒 越 量子力学 隧穿几率 V0 E d

三、隧道效应及势垒贯穿 V0 见课本p:100 势垒 Ⅰ区 U ( x ) = 0 x ≤ 0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅲ E Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅲ E Ⅱ区 U ( x ) = V0 0≤ x ≤ a Ⅲ区 U ( x ) = 0 x ≥ a 0 a 经典：粒子动能 E < V0 时，粒子不能越过势垒Ⅱ区而到达Ⅲ区。或者说，在Ⅱ、Ⅲ区域发现粒子的 几率为零。 粒子动能 E 〉 V0 时，粒子全部进入Ⅲ区域。

1. 定态薜定谔方程 （1）E>V0 情形 0 a V(x) V0 I II III E 令

2. 方程的求解 则方程变为 分区取解 向右传播的入射平面波 向左传播的反射平面波 Ⅰ 三式均为两个左右传播的平面波的叠加 Ⅱ Ⅲ 因Ⅲ区无由右向左传播的平面波，故 由左向右的透射波

由波函数的连续性条件 联立这四个方程式，消除 与 可得透射波振幅 及反射波振幅 与入射波振幅 间的关系 （4）

（5） 利用几率流密度公式: 求得入射波 的几率流密度 透射波 的几率流密度 反射波 的几率流密度

3. 透射系数和反射系数 为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。 透射系数D：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比 反射系数R：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比 （6） 透射系数 （7） 反射系数 以上二式说明入射粒子一部分贯穿势垒到 的III区域，另一部分则被势垒反射回来。 表明粒子数守恒

一维方势垒（隧道效应） （2） 隧道结：在两层金属导体之间夹一薄绝缘层。 电子的隧道效应：电子可以通过隧道结。 Ⅰ Ⅱ Ⅲ

Ⅰ区薛定谔方程为： Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅱ 区薛定谔方程为：

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅲ 区薛定谔方程为：

Ⅰ区粒子进入Ⅲ区的概率为 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 势垒越宽透过的概率越小， (V0-E)越大透过的概率越小。

（2）E< V0 情形(第二种解法) 令 是实数 其中 在(4)和(6)式中，把 换为 ，得到 透射波振幅: （8） 是虚数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 令 是实数 其中 在(4)和(6)式中，把 换为 ，得到 透射波振幅: （8）

此结果表明，即使 ，透射系数 一般不等于零。 即有透射现象，是纯的量子效应， 透射系数: （9） 此结果表明，即使 ，透射系数 一般不等于零。 即有透射现象，是纯的量子效应， 这是因为坐标与动量是不可能同时确定的。 透射系数不为0，这说明粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒！这种现象称为隧道效应。在经典力学中隧道效应是不存在的，因为在经典力学中，当粒子的能量小于势能时，粒子的动能是负数，而这是没有意义的。 0 a V(x) V0 入射波+反射波 透射波 x

0 a b V(x) E dx 可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。

V0 Ψ2 Ψ1 Ψ3 E a x 总结量子力学结果： 0 a Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进( ) 隧道效应 Ⅰ Ⅱ Ⅲ E 0 a E Ψ1 Ψ2 a V0 x Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 波穿过势垒后,将以平面波的形式继续前进( ) Ψ3 隧道效应

(1) E > V0 , R≠0, 即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。 讨论 0 a V0 Ⅰ Ⅱ Ⅲ E (1) E > V0 , R≠0, 即粒子总能量大于势垒高度，入射粒子也并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。

(2) E < V0 , T≠0, 即粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应，它是粒子波动性的表现。 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化，随着势垒的加宽、加高，透射系数减小。

势垒宽度 、高度达到一定程度时， 穿透系数会非常的小， 此时量子概念过渡到经典物理范围. 粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数 电子 1eV 2eV 2×10-10m 5×10-10m 0.024 2×10-10m 0.51 质子 3×10-38 势垒宽度 、高度达到一定程度时， 穿透系数会非常的小， 此时量子概念过渡到经典物理范围.

隧道效应具有广泛的应用价值。著名的隧道扫描显微镜就是依据这一现象发明的。 隧道效应 （tunnel effect） 粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象称为隧道效应.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。上图给出了势垒穿透的波动图象。著名的隧道扫描显微镜就是根据这一原理制成的。 隧道效应具有广泛的应用价值。著名的隧道扫描显微镜就是依据这一现象发明的。

隧道效应的应用：量子力学隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极管、超导Josophson结、α衰变现象 (1) 原子核的α 衰变 核内α粒子在核力作用下，处于很低负势阱中的某一能级上。在核外核力为零(短程力)，仅受库仑静电斥力作用，在核边界上形成很高的势垒。 r R U 35MeV 4.25MeV  U  Th + He 238 234 4 理论及实验证明 粒子通过隧道效应出来的.

（Scanning Tunneling Microscopy） （2）扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy） 1986年荣获诺贝尔奖的扫描隧穿显微镜利用了 隧道效应。电子利用隧穿本领从探针越过势垒到达待测材料表面，形成隧道电流，记录这种电流可以获得表面状态的信息. 隧道电流i d 探针 样品 A B U STM 结构原理示意图 隧道电流I与样品和针尖间的距离d关系敏感. A—常量，U—样品与针尖间的微小电压， —样品表面平均势垒高度

d变 i变 反映表面情况 图象处理系统 扫描探针 隧道扫描显微镜

in University of Hamburg(德国） Ultra High Vacuum Low Temperature STM in University of Hamburg(德国） 129

四、一维线性谐振子 1.势函数 m — 振子质量， — 固有频率，x — 位移 薛定谔方程： 解为： n = 0, 1, 2, …

2.方程的建立 进行如下变量代换： 这是一个变系数二级常微分方程

3. 方程的解 变系数二阶常微分方程 （1）渐近解 在 的渐进行为 为了求这个方程的解，我们先看看 当 很大时， 解得：ψ∞ = exp[±ξ2/2]（有波函数的有限性，舍去+号） （2）假设解 将波函数写成此种形式 （3） H(ξ)满足的方程 把 代入二阶常微分方程可得 把H展成 的幂级数，来求这方程的解，这个级数必须只含有限项，才能保证波函数有限。

把H展成 的幂级数，来求这方程的解，要求这个级数必须只含有限项，才能在 使 为有限，而级数只含有限项的条件为 激发能 把H展成 的幂级数，来求这方程的解，要求这个级数必须只含有限项，才能在 使 为有限，而级数只含有限项的条件为 -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 （4）方程存在有限解的条件 基态能

（5）波函数 En对应的波函数为 结 论 其中 Hermitian(厄米) 多项式：

量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 讨论 能量量子化 普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0 量子力学结果 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 室温下分子热运动动能kT E >> kT 宏观振子的能量相应的 n～1025 E～10-33J 能量取连续值！对应原理 能量间隔： 零点能

线性谐振子位置几率密度 线性谐振子波函数

3.6 氢原子的量子力学处理 1. 氢原子的定态薛定谔方程 氢原子中电子的电势能 U和方向无关，为中心力场U( r ) 球坐标的定态薛定谔方程

2. 能量量子化 设波函数形式为 采用分离变量的方法可解得原子的能量为 主量子数——主量子数 n和能量有关 n = 1 ，2 ，3 ，……

角量子数l——决定电子的轨道角动量 的大小 3. 角动量量子化 原子中电子的轨道角动量大小为 角量子数l——决定电子的轨道角动量 的大小 4. 角动量的空间量子化 解方程得出电子的轨道角动量在Z方向的分量是 磁量子数ml ——决定轨道角动量在Z方向投影 对同一个 l 角动量Z方向分量可能有 2l+1个不同值

例： z 对 z 轴旋转对称 角动量大小为 l = 2 Lz Z方向分量有5种取值 磁量子数有5种取值 即角动量在z 轴上仅能 磁量子数有5种取值 即角动量在z 轴上仅能 取分立的5种取值 对 z 轴旋转对称

5. 电子的概率分布 本征波函数 径向 角向 角向波函数 电子在（n, l, ml）态下在空间 ( ) 处出现的概率密度是 ( ) 处出现的概率密度是 主量子数 n = 1 ，2 ，3 ，…… 角量子数 磁量子数

（1）径向分布 在 r —— 的球壳内找到电子的概率 径向概率密度：

（2）角分布 角向几率密度： 角向几率与φ角无关，即几率函数为绕z轴旋转对称。

S态电子: ( ) 几率分布图：

P态电子（ ）：

d态电子（l=2）：

f态电子（l=3）：

按量子力学计算的结果，原子中的电子并不是沿着一定轨道运动，而是按一定的几率分布在原子核周围而被发现，人们形象地将这个几率分布叫做“几率云”。有时还将电子电荷在原子内的几率分布 称为“电子云”。因此只要给出氢原子定态波函数 的具体形式，就可计算在此状态下的几率云密度。

波尔理论从实验上得到的原子的线状光谱和原子的稳定性出发 量子力学与波尔理论对氢原子处理的分析比较 1）理论出发点不同 波尔理论从实验上得到的原子的线状光谱和原子的稳定性出发 量子力学则从实物粒子的波粒二象性出发 这些实验事实都反映了微观体系的性质，但物质的二象性更反映微观体系的本质

2）处理问题的方式不同 波尔理论虽然由实验事实看出了微观规律与宏观规律有区别，但仍采用了经典理论，而为了同实验事实一致才机械地加入了量子化条件。 量子力学采用解动力学方程的方法，用波函数描述体系的状态。

3）一些结果有区别 波尔理论： 轨道描述， 量子力学： 几率大小，