§2.2 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量的概念 定义 若随机变量 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 为离散型随机变量． §2.2 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量的概念 　　定义　若随机变量 的可能取值是有限多个或无穷可列多个，则称 为离散型随机变量． 　　描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即 概率分布的性质 非负性 规范性

离散型随机变量的分布函数 F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk ．

　　例1 设一汽车在开往目的地的途中需经过 4盏信号灯，每盏信号灯独立地以概率p允许汽车通过。令X表示首次停下时已通过的信号灯的盏数，求X的概率分布与 p = 0.4时的分布函数． 出发地 目的地 解

当 0 1 2 3 4 k pk 0.6 x ） • 1 2 3 4

• 1 2 3 4 x F( x) o

概率分布或分布函数可用来计算有关事件的概率 　　例2 在上例中，分别用概率分布与分布函数计算下述事件的概率： 解 或

或

或 或 　　对离散型随机变量用概率分布比用分布函数 计算这些概率更方便．

　　例3　一门大炮对目标进行轰击，假定此目标 必须被击中r次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p (0 < p < 1)，且各次轰击相互独立，一 次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需轰击次 数X的概率分布． 解 P ( X = k ) = P ( 前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标) 注

作业 P144 习题二 1，2，3，4，5

凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0 - 1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等． 常见的离散型随机变量的分布 (1) 0 - 1 分布 X = xk 1 0 Pk p 1 - p 0 < p < 1 凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0 - 1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等． 应用场合 注　其分布律可写成

(2) 二项分布 　　背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数—— X 是一离散型随机变量． 若P ( A ) = p , 则 　　称 X 服从参数为n，p 的二项分布，记作 　　0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布．

二项分布的取值情况 设 .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 由图表可见 , 当 k = 2 或3 时,分布取得最大值 此时的 k 称为最可能成功次数． • 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273• x P

设 .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001 0　1　2　3　4　5　6　7　8　9　10　11 ~ 20 由图表可见 , 当 k = 4 时， 分布取得最大值 x P • 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10 20 0.22 •

二项分布中最可能出现次数的定义与推导 则称 k 为最可能出现的次数．

结论 当( n + 1)p = 整数时，在 k = [( n + 1)p ]与 [( n + 1)p ] – 1 处的概率取得最大值． 当( n + 1)p 整数时，在 k = [( n + 1)p ]处的概率取得最大值．

　　例4　独立射击5000次，每次的命中率0.001, 　　求　(1) 最可能命中次数及相应的概率； 　　(2)命中次数不少于2 次的概率． 　　解　(1)k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] = 5 (2) 令X表示命中次数，则X～B(5000,0.001)

本例启示　小概率事件虽不易发生，但重复次 数多了，就成大概率事件． 问题　如何计算

Possion定理 则对固定的 k 设 　　Poisson定理说明：若X～B(n, p), 则当 n 较大，p 较小，而 适中，则可以用近似公式

证　记

　　类似地，从装有a个白球，b个红球的袋中不放回地任取n个球，其中恰有k个白球的概率为： 当 时， 对每个 n 有 结论 超几何分布的极限分布是二项分布． 二项分布的极限分布是 Poisson 分布．

利用Poisson定理再求例4(2) 　解　令X 表示命中次数，则X～B(5000,0.001)． 令 　　此结果也可直接查 P.442 附表2 Poisson分布表得到，它与用二项分布算得的结果0.9574仅相差千分之二点四.

例5　某厂产品不合格率为0.03，现将产品装箱，若要以不小于90%的概率保证每箱中至少有100个合格品，则每箱至少应装多少个产品？ 解　设每箱至少应装100+n 个，每箱的不合格品个数为X ，则X～B(100+n,0.03)． 由题意 3 (100+n)0.03=3+0.03n 取 = 3

应用Poisson定理 查Poisson分布表 =3 一栏得 n +1 = 6 ，n = 5． 　　所以每箱至少应装105个产品,才能符合要求．

k 在实际计算中，当 n 20，p 0.05时，可用上述公式近似计算；而当n 100，np 10时, 精度更好 按Possion 公式 按二项分布 n=10 p=0.1 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01 =np=1 k 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015

例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0. 01 　　例6　设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01. 在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备. 　　(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小0.01? 　　(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？ 　　解 (1) 设需要配备 N 个维修工人,设 X 为90台设备中发生故障的台数，则 X～B(90, 0.01)

令 则 查附表2得 N = 4

　　(2) 三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为

　　设30台设备中发生故障的台数为Y～B(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第 i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai 则 　　三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件 故三个人共同负责90台设备比各自负责好！

在Poisson 定理中， 由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 — Poisson 分布．

(3) Poisson 分布 或 若 其中 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 或 ． 应用场合 在一定时间间隔内： 电话总机接到的电话次数； 一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数；

市级医院急诊病人数； 等等 作业 P144 习题二 7，13，17，28