5.3 二阶微分方程 主要内容 1.可降阶的二阶微分方程 2.二阶常系数线性微分方程

一、可降阶的二阶微分方程 这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解． 下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.

是最简单的二阶微分方程， （1） 方程 就得到一个一阶微分方程，即 两边积分，得 两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通解． 同理，对于方程 （2） 只要连续积分n次，即可得到含有n个任意常数的通解．

例1 解 对所给的方程连续积分三次，得 这就是所求方程的通解．

方程 　(3) 的右边不显含未知函数 y ． 因而方程(3)就变为 这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解．

例2 解 于是 即 这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程．因为 所以 从而所求微分方程的通解为

例3 解 代入方程并分离变量后， 得 两端积分，得　 即 所以 再积分，得 于是所求的特解为

方程 (4) 中不显含自变量 x ． 为了求出它的解， 利用复合函数的求导法则， 于是方程(4)就变为 这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 . 设它的通解为 分离变量并积分，得方程(4)的通解为

例4 解 方程不显含自变量 x ， 代入方程，得 如果p0， 那么约去 p 并分离变量，得 或 两端积分并进行化简，得 再一次分离变量并积分，得 或 已被包含在解 中了 但 y =C 如果P = 0， 那么立刻可得 y = C， 显然它也满足原方程． 所以方程的通解为

例5 解 代入原式，得 即 两边积分，得 或 积分后，得 代入上式整理后得 即为所求的满足初始条件的特解．

二、二阶常系数线性微分方程 定义１ 方程 (5) 叫做二阶常系数线性微分方程，其中 p 、q 是常数． 方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程． 方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程. 下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法．

1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 (6) 的解的结构． 那么 (7) 也是方程(6)的解，其中是任意常数． 定理1 这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性． 叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．

为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义： 那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？ 如果存在一个常数C使 ， 对于两个都不恒等于零的函数 与 ， 那么把函数 与 叫做线性相关；否则就叫做线性无关． 显然，对于两个线性相关的函数 和 ，恒有 如果 不恒等于一个常数， 因此，当 时， 则 与 就是线性无关的．

二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理： 如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么 定理2 就是方程(6)的通解，其中 是任意常数． 由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解， 关键在于求出方程的两个线性无关的特解 和 ． 后面是否要举例说明,以及特征方程的引入,怎么做?留几片空位 而当 r 为常数时，指数函数 和它的各阶导数都只相差一个常数因子． 因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解．

将 和它的一、二阶导数 代入方程(6)，得到 因为， 所以上式要成立就必须有 (8) 这就是说，如果函数 是方程(6)的解，那么 r 必须满足方程(8)． 则 是方程(6)的一个特解． 反之，若r是方程(8)的一个根， 方程(8)是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分方程(6)的特征方程， 其中 和 r 的系数，以及常数项恰好依次是微分方程(6)中 、 及 y 的系数． 特征方程的根称为特征根．

特征根是一元二次方程的根， 因此它有三种不同的情况： 此时 均为方程(6)的特解， (1)特征根是两个不相等的实根r1≠ r2 ， 因此方程(2)的通解为: 且线性无关， （9) 此时 和 方程(2)的特解， (2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ， 所以方程(6)的通解为： 且线性无关， （10） 这时 和 是方程(6)的两个特解， (3)特征根是一对共轭复根r1,2=α±βi ， 但这两个解含有复数， 此时可以证明函数 和 也是方程(6)的解， 且它们线性无关． 于是得方程(2)的通解为： （11)

例6 求 方程的通解． 解 所给方程的特征方程为 解得特征根为 ， 其对应的两个线性无关特解为 所以方程的通解为

求方程 的满足初始条件 和 的特解． 例 7 解 所给方程的特征方程为 所以特征根为 因此方程的通解为 为确定满足初始条件的特解，对 y 求导，得 将初始条件 和 代入以上两式，得 解得 于是，原方程的特解为

例8 求方程 的通解． 解 特征方程为 特征根为 其对应的两个线性无关特解为 所以原方程的通解为

(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解： 求二阶常系数线性齐次微分方程 的通解步骤如下： （6） 综上所述， (1) 写出方程对应的特征方程 ； (2) 求出特征方程的两个根 与 ； (3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解： 的根   特征方程   方程 通解   两个不相等的实根   两个相等的实根   一对共轭复根

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解 设 是二阶常系数线性非齐次方程 (5) 的一个特解， 定理3 设 是二阶常系数线性非齐次方程 (5) 的一个特解， 定理3 Y是与方程（5）对应的齐次方程（6）的通解，那么 是二阶常系数线性非齐次微分方程（5）的通解． (12) 由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程 的通解和非齐次方程(5)的本身的一个特解． (6)

下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解 的方法．我们只讨论 f(x) 以下两种情形： (1) 其中 是一个n 次多项式， 为常数． 这时，方程(5)成为 (13) 它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积， 且特解具有形式 ( k = 0,1 ,2 ) 其中 是一个与 有相同次数的多项式； k是一个整数． 当 不是特征根时，k = 0 ; 当 是特征根，但不是重根时，k = 1 ; 当 是特征根，且为重根时，k = 2.

例9 求方程 的通解． 解 该方程对应的齐次方程是 它的特征方程为 特征根是重根 于是得到齐次方程 的通解为 原方程中 其中 是一个一次多项式， 是特征方程的重根．因此 k = 2 ． 所以设原方程的特解为

求 的导数，得 代入原方程，化简得 比较等式两边同类项的系数，有 解得 ． 因此，原方程的特解为 于是原方程的通解为

注意：当二阶微分方程的特征方程有复数根时，决不会出现重根，所以在这里与前一种情形不一样，k不可能等于2． (2) 其中a、b、 都是常数． 这时，方程(5)成为 (14) 它的一个特解的形式为 当 不是特征根时， 其中A和B是待定常数； k是一个整数． 当 是特征根时，k = 1. 注意：当二阶微分方程的特征方程有复数根时，决不会出现重根，所以在这里与前一种情形不一样，k不可能等于2．

例10 求方程 的一个特解. 解 因为 ，而 不是特征方程 的根， 所以可设方程的特解为 求导数，得 代入原方程，得 比较上式两边同类项的系数，得 于是，原方程的特解为

四、小结 作业 1.形如 方程解法． 2.形如 方程解法． 3.形如 方程解法． 4.二阶常系数线性齐次微分方程解法． 1.形如 方程解法． 2.形如 方程解法． 3.形如 方程解法． 4.二阶常系数线性齐次微分方程解法． 5.二阶常系数线性非齐次微分方程解法. 作业 习题5.3 第一次2（1）（2） 第二次4（3）（5）5（3）（4）