圆的方程 (一)

问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小． 问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对 (x,y)表 示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p(M)； （3）用坐标翻译条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化简方程f(x,y)=0； （5）证明化简后的方程为所求曲线的方程． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．

． 用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程： 解：设M(x,y)是圆上任意一点， 据圆的定义有 |MC|=r 由距离公式，得 两边平方，得 O ． r M 解：设M(x,y)是圆上任意一点， C 据圆的定义有 |MC|=r 由距离公式，得 说明： 两边平方，得 1.特点：明确给出了圆心和 半径； 2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。

练习 1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是3； （2）圆心在点C(3,4)，半径是 ； （3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)

练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径 （1） （2） （-1，2） 3 （3）

例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 所以圆心到直线的距离等于半径r， C x y O r 因此，所求的圆的方程是

练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线 4x+3y-70=0相切，求圆的方程。

例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。 分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k1，则： x O M y P 所以切线方程为： x0x+y0y=r2 当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。 分析(二)：设P为切线上任意一点，则OM⊥MP，所以： (x0，y0)·(x-x0，y-y0)=0 所以切线方程为：x0x+y0y=r2.

P(x , y ) x0x +y0 y = r2 例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。 y O P(x , y ) 分析(三)： 在直角三角形OMP中 由勾股定理： |OM|2+|MP|2=|OP|2 x0x +y0 y = r2

总结：过一点求圆的切线的方程 1、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程 ： （1）圆C的方程为： （2）圆C的方程为：

2、求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程 。 常用求法简介：

练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M 的切线的方程 练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求 （1）斜率等于1的切线的方程； （2）在y轴上截距是 的切线的方程。

解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r>0)。 例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m) 解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r>0)。 y x

答：支柱A2P2的长度约为3.86m。 把P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52 把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m) y x 答：支柱A2P2的长度约为3.86m。

小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。

圆的方程 (二)

(x1)2+(y+2)2=13 x2+y22x+4y8=0 怎样化标准方程为一般方程？ 1.什么是圆的标准方程？其圆心和半径分别是什么？ 2.以点(3,1)和(1,5)为直径端点的圆的方程是____ 标准方程 (x1)2+(y+2)2=13 一般方程 x2+y22x+4y8=0 怎样化标准方程为一般方程？ (xa)2+(yb)2=r2 x2+y22ax2by +a2+b2  r 2=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0

怎样化一般方程为标准方程？ 圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程． 为圆心、 以 为半径的圆 2)当D2+E24F=0时，仅表示一个点 3)当D2+E24F<0时，不表示任何曲线． 圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程的特点: 比较； 二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F＞0) 可得出什么结论？ 结论：(1) x2, y2系数相同，且不等于零； (2) 没有xy这样的二次项； (3) D2+E24F>0。 注意：1.条件(1)、(2)是二元二次方程表示圆的 必要条件，但不是充分条件； 2.条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方 程表示圆的充要条件．

(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|(半径不为b ). 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 与圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样,方程x2 +y2+Dx+Ey+F=0 也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件,才能确定一个圆. 例1.求下列圆的半径和圆心坐标： (1)x2+y2-8x+6y=0， (2)x2+y2+2by=0． (1)圆心为(4，-3)，半径为5； (2)圆心为(0，-b)，半径为|b|(半径不为b ).

练习1.下列方程各表示什么图形 (1)x2+y2=0 (2)x2+y22x+4y6=0 (3)x2+y2+2axb2=0 点(0,0) 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E24F>0) 练习1.下列方程各表示什么图形 (1)x2+y2=0 (2)x2+y22x+4y6=0 (3)x2+y2+2axb2=0 点(0,0) 以(1,-2)为圆心, 为半径的圆.

例2. 求过三点O(0,0)，M1(1,1), M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 解：设所求的圆的方程为 x2＋y2十Dx＋Ey＋F＝0． 因为O、M1、M2在圆上, 解得F＝0，D＝8，E＝6 ∴圆的方程为x2+y28x+6y＝0，圆心 (4，－3) ，

例2小结： 1．用待定系数法求圆的方程的步骤： (1) 设所求圆的方程为标准式或一般式； (2)列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 所设方程，就得要求的方程． 2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程 　　一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、 半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往 设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都 无直接关系，往往设圆的一般方程．

例3. 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是 求此曲线的轨迹方程，并画出曲线 . 的点的轨迹， 解：设点M(x,y)是曲线上的任意一点，所以 由两点间的距离公式，得 y M C A x x2+y2+2x3＝0 这就是所求的曲线方程． 配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆 O

x2+y2=r2 x2+y2+F=0 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 x2+y2+Dx+F=0 1.对于圆的方程(xa)2+(yb)2=r2和x2+y2+Dx+Ey+F=0，针对圆的不同位置，请把相应的标准方程和一般方程填入下表： 圆的位置 圆的标准方程 圆的一般方程 以原点为圆心的圆 过原点的圆 圆心在x轴上的圆 圆心在y轴上的圆 圆心在x轴上且与 y轴相切的圆 圆心在y轴上且与 x轴相切的圆 x2+y2=r2 x2+y2+F=0 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 x2+y2+Dx+F=0 (x-a)2+y2=r2 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 (x-a)2+y2=a2 x2+y2+Dx=0 x2+(y-b)2=b2 x2+y2+Ey=0

小结: 1．圆的一般方程的定义及特点； 2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径； 3．用待定系数法，导出圆的方程．

圆的方程 (三)

以C( )为 (x-a)2+(y-b)2=r2 是 以C(a，b)为圆心,r为半径 x2+y2+Dx+Ey+F=0，(其中 1.圆的标准方程是_______________,它表示的 是 (x-a)2+(y-b)2=r2 ___________________________的圆。 以C(a，b)为圆心,r为半径 2.圆的一般方程是___________________________ x2+y2+Dx+Ey+F=0，(其中 以C( )为 _____________,它表示的是__________________ D2+E2-4F>0) 圆心,以 为半径 ____________________________的圆。 3.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示 首先回忆上两堂课所学习的圆的普通方程，为圆的参数的学习打好基础。 一个点( ) __________________;当D2+E2-4F<0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0__________________。 不表示任何图形

曲线的方程是__________________. (x-3)2+(y-2)2=16 1. 下列方程中，表示圆的是( ) A. x2+y2-2x+2y+2=0 B. x2+y2-2xy+y+1=0 C. x2+2y2-2x+4y+3=0 D.2x2+2y2+4x-12y+9=0 D 2. 圆x2+y2=16按向量a=(3,2)平移后,所得 曲线的方程是__________________. 通过练习1加强对前面知识的掌握。 练习2是将圆的方程和向量的平移加以结合的一道练习，为的是为本堂课的难点的解决埋下一个伏笔。由于向量平移的知识是上一学期的内容，学生遗忘较多，在本节课之前的习题课上，我一讲这类型的题目加以详细的解答，所以在这一堂课上，学生并不需要太多时间即能解决该题。 (x-3)2+(y-2)2=16

半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标。 如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r,与x轴正 半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标。 解:∵点P在∠P0OP的终边上 x y O P(x,y) P0 r 根据三角函数的定义得 通过此题引入圆心在圆点的圆的参数方程 θ x =rcosθ y =rsinθ ∴P点坐标为

x =rcosθ y =rsinθ 如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r,与x轴正 半轴的交点为P0,圆上任取一点P,若OP0按逆时 针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标。 x =rcosθ y =rsinθ 方程组 叫做 圆心为原点、半径为r的 圆的参数方程 x y O P(x,y) P0 r θ

x’=x+a y’=y+b 求圆心为O1(a,b),半径为r 的圆的参数方程。 解: 以O为圆心r为半径作圆, 则⊙O1是⊙O按向量OO1=(a,b) 平移后得到的。 x’=x+a y’=y+b 则平移公式为 ① O1 O x y P’(x’,y’) x =rcosθ y =rsinθ ② ∵⊙O的参数方程为 x’=a+rcosθ y’=b+rsinθ 此处是本节课的难点，应引导学生发现方法。 将②式代入①式得 P(x,y) θ P0 x =a+rcosθ y =b+rsinθ ∴⊙O1的参数方程是

x =a+rcosθ y =b+rsinθ 圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为 参数 方程 普通 设参数θ 消去参数θ (θ为参数) 1.圆的参数方程有什么特点？ 2.怎样把圆的普通方程和参数方程互化？ 参数 方程 普通 设参数θ 消去参数θ

方程为:_________________. x =5cosθ+1 y =5sinθ-1 1.写出下列圆的参数方程: (1)圆心在原点,半径为 :______________; x = cosθ y = sinθ x =-2+cosθ y =-3+sinθ (2)圆心为(-2,-3),半径为1: ______________. 2.若圆的参数方程为 ,则其标准 方程为:_________________. x =5cosθ+1 y =5sinθ-1 (x-1)2+(y+1)2=25 3.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的 参数方程为_______________. x =1+2cosθ y =-3+2sinθ

定义:一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数，即 y=g(t) x=f(t) ③ 并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点 M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条 曲线的参数方程,联系x,y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数. （参数方程中的参数可以是有物理、几何意义 的变数，也可以是没有明显意义的变数。）

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 解:设M的坐标为(x,y), 的参数方程为 例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点, 点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆 上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? x =4cosθ y =4sinθ 圆x2+y2=16 的参数方程为 解:设M的坐标为(x,y), x M P A y O ∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ) 由中点公式得:点M的轨迹方程为 本题有一演示，在解题时可让学生进行观察 x =6+2cosθ y =2sinθ ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) 例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么? 解:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得: 点P的坐标为(2x-12,2y) x M P A y O ∵点P在圆x2+y2=16上 ∴(2x-12)2+(2y)2=16 这是例1的第二种解法，即普通方法。 即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4 ∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。

x = -1+2cosθ y = +2sinθ ∵ sin(θ+ ) [-1,1] ∴ 当sin(θ+ )=-1时, 例2. 已知点P(x,y)是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一个动点求:(1)x+y的最小值; (2) x2+y2的最大值。 解:(1)圆x2+y2+2x-2 y=0的参数方程为 x = -1+2cosθ y = +2sinθ ∴x+y= -1+2(sinθ+cosθ) = -1+2 sin(θ+ ) ∵ sin(θ+ ) [-1,1] 例2可以很好的说明参数方程的优势，可以通过演示2先让学生有个量的变化印象，再来寻找解题方法。对于第2问，学生可仿照第1问自主完成。最后应提示学生：“可否不通过参数方程解出该题？”诱发学生在课后进行思考。 ∴ 当sin(θ+ )=-1时, (x+y)min= -1-2

∵ sin(θ ) [-1,1] ∴ 当sin(θ )=1时, x = -1+2cosθ y = +2sinθ 例2. 已知点P(x,y)是圆x2+y2+2x-2 y=0上的一个动点求:(1)x+y的最小值; (2) x2+y2的最大值。 (2) ∵ sin(θ ) [-1,1] ∴ 当sin(θ )=1时, 例2可以很好的说明参数方程的优势，可以通过演示2先让学生有个量的变化印象，再来寻找解题方法。对于第2问，学生可仿照第1问自主完成。最后应提示学生：“可否不通过参数方程解出该题？”诱发学生在课后进行思考。 x = -1+2cosθ y = +2sinθ