二次函数中的存在性问题(平行四边形)
一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形 （平面内有三个点满足）
1．在平面直角坐标系内找点 2. 在抛物线上找点
一、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1．在平面直角坐标系内找点 【08湖北十堰】已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由．
2.在抛物线上找点 【09浙江湖州】已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0)）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=2x-a分别与x轴，y轴相交于两B,C点，并且与直线AM相交于点N. (1)填空：试用含的代数式分别表示点M,N与的坐标， (2)如图，将沿Y轴翻折，若点N的对应点N′A恰好落在抛物线上，B′Y与轴交于点，连结，求a的值和四边形ABCD的面积； (3)在抛物线Y=x2-2X+a上是否存在一点P，使得以为P,A,C,N顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
第（2）题 x y B C O D A M N N′ P1 P2 备用图
二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形, 其中有一个点在抛物线上 二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形, 其中有一个点在抛物线上
①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等 ②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线
①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等 1．【09福建莆田】已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.【09福建南平】已知抛物线：（1）求抛物线的顶点坐标. （2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式. （3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形的边或对角线 （2010陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。 （1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
2．【09辽宁抚顺】已知：如图所示，关于的抛物线y=ax2+x+c与轴交于点A(-2,0)、点B(6,0)，与Y轴交于点C． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点D，使四边形为等腰梯形ABCD，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式； （3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以为A,M,P,Q顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
B A O C y x
B A o C y x 4Q Q3 Q1 Q2 P3 P1 P2 D P4 M
1．【07浙江义乌】如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时： 当AF为平行四边形的对角线时：
（2010河南）（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．