背 景 1676年，贝努利(Bernoulli）致牛顿的信中第一次提出微分方程，直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科.微分方程建立后，立即成为探索现实世界的重要工具．
4.1 微分方程的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 四、实训
一、案例 案例 1 [曲线方程 ] 我们已知曲线过点(1, 2)，且曲线上任 一点M(x, y)处切线的斜率是该点横坐标的 倒数，求此曲线方程．
解 设曲线方程为y=y(x),于是曲线在点M(x,y)处 切线的斜率为 ．根据题意有 （1） 又曲线过点（１,２），故有 （2） 对式（1）两边积分，得
将式（2）代入上式，得 ，即C=2. 故所求曲线方程为
案例2 [自由落体运动] 一质量为m的质点,在重力作用下自由下 落,求其运动方程.
解 建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始下落点,y轴铅直向下 解 建立坐标系如上图所示，坐标原点取在质点开始下落点,y轴铅直向下.设在时刻t质点的位置为y(t),由于质点只受重力mg作用,且力的方向与y轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程为 即:
方程两边同时积分，得: 上式两边再同时积分，得 : 其中 是两个独立变化的任意常数．
二、 概念和公式的引出 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶． 例如，案例1中的微分方程 是一阶微分方程； 案例2中的微分方程 是二阶微分方程．
任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解．求 微分方程的解的过程，称为解微分方程．例如，在案例1 中，函数 是微分方程 的解。 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的 个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的 通解．例如，在案例1中， 是微分方程 的 通解．在案例2中， 是微分方程 的 通解.
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值， 所得的解称为该微分方程的特解，这种附加条件称为 初始条件．在案例１中，方程 的初始条件 为 ，满足初始条件的特解为 ．
利用微分方程解决实际问题的一般步骤如下： 第一步 建立反映实际问题的微分方程； 第二步 按实际问题写出初始条件； 第三步 求出微分方程的通解； 第四步 由初始条件确定所求的特解．
三、进一步的练习 练习1[列车制动] 列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.4m/s2，问开始制动后要经过多长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？
记列车制动的时刻为t=0，设制动后ts列车行驶了s m.由题意知,制动后列车行驶的加速度等于-0. 4 解 m/ s2 ，即 二阶微分方程 （1） 初始条件为当t=0时，s=0，
将方程（1）两端同时对t积分，得 (2) 式(2)两端对t再积分一次，得 (3)
其中C1，C2都是任意常数，把条件当t=0时， 代入式（2），得C1＝20．把t=0时，s=0代入式（3），得C2 ＝0．于是，列车制动后的运动方程为 , (4） 速度方程为 （5）
因为列车刹住时速度为零，在式（5）中，令v=0, 解0=-0.4t+20 ,得列车从开始制动到完全刹住的时间为
1．[曲线方程] 已知曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为cosx ，并且通过点(0,1)，求此曲线方程． 四、实训 1．[曲线方程] 已知曲线上任意点M(x,y)处的切线斜率为cosx ，并且通过点(0,1)，求此曲线方程． 2．[运动方程] 一物体的运动速度为v=3t m/s，当t=2s时，物体所经过的路程为9m，求此物体的运动方程．