第4章 点的运动及刚体的简单运动
4.1 矢量法确定点的运动、速度和加速度 4.1.1 点的运动方程 运动方程 描述点的空间位置随时间变化规律的数学表达式称为点的运动方程。 4.1 矢量法确定点的运动、速度和加速度 4.1.1 点的运动方程 描述点的空间位置随时间变化规律的数学表达式称为点的运动方程。 点在空间运动时所经过的路线称为轨迹，轨迹可以是直线，也可以是曲线。如果点的轨迹是直线则称该点的运动为直线运动；如果点的轨迹是曲线则称该点的运动为曲线运动。 运动方程
点的速度是矢量，其速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即： 4.1.2 点的速度 点的速度是矢量，其速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数，即： 速度 单位 m/s
4.1.3 点的加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。动点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数，即： 加速度 单位
矢端曲线 速度 矢径矢端曲线切线 加速度 速度矢端曲线切线
4.2 用直角坐标法研究点的运动 4.2.1 运动方程 直角坐标与矢径坐标之间的关系
4.2.2 点的速度
4.2.3 点的加速度
例 4-2 椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹； ③ 速度； ④ 加速度。
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。 已知： 解：点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。 运动方程 消去t, 得轨迹
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。 已知： 速度
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。 已知： 加速度
例4-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 （ 为活塞的速度，k为比例常数)，初速度为 。求活塞的运动规律。
解：活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
4.3 用自然法研究点的运动 4.3.1 弧坐标 4.3.2自然轴系 切向单位矢量 主法线单位矢量 副法线单位矢量
自然坐标轴的几何性质
4.3.3曲率 因为 方向同 所以
4.3.4点的速度 4.3.5点的加速度 代入 则
切向加速度：反映速度大小变化 法向加速度：反映速度方向变化 曲线匀速运动 常数 曲线匀变速运动 常数
例4-4 列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达54km/h。求列车起点和未点的加速度。
已知：R=800m=常数， 解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。 有 ① ②
例4-5 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法向加速度。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
求：M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。 则有
4.4 刚体的简单运动 4.4.1 刚体的平动 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于初始 位置，这种运动称为平行移动，简称平移。
运动方程 速度和加速度分布 因为 所以 刚体平移→点的运动
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 4.4.2 刚体的定轴转动 刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚体绕定轴转动，简称刚体的转动。 转轴 ：两点连线 转角： 单位:弧度(rad) 运动方程
角速度和角加速度 角速度 角加速度 匀速转动 匀变速转动
4.4.3 定轴转动刚体上各点的速度和加速度 1、点的运动方程 2、速度 3、加速度
4、速度与加速度分布图
例4-6 机构如图所示，假定杆AB以匀速v运动，开始时 求当 时，摇杆OC的角速度和角加速度。
解：由图所示的几何关系可得到： 将上式两边对时间t取一阶导数，得： 摇杆OC的转动角速度和角加速度分别为： 当 时，摇杆OC的角速度和角加速度分别为：
例4-7 如图所示机构中，齿轮1紧固在杆AC上， 齿轮1和节圆半径为r2的齿轮2啮合，齿轮2可绕O2轴转动，且和曲柄O2B没有联系。设 试确定 s时，齿轮的角速度和角加速度。
解：(1)杆AC和齿轮Ⅰ是一个整体，作平动，故点A和啮合点D有相同速度： 加速度： (2)当 s时，齿轮Ⅱ的角速度和角加速度分别为：
4.5 轮系的传动比 4.5.1 齿轮传动 ① 啮合条件 ② 传动比
4.5.2 带轮传动
4.6 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 4.6.1角速度矢量和角加速度矢量 角速度矢量 角加速度矢量
4.6.2 绕定轴转动刚体上点的速度和加速度 速度 加速度 M点切向加速度 M点法向加速度