金融高频时间序列分析 李胜歌

一、金融计量学 二、金融高频时间序列分析 三、基于高频数据的金融波动率

一、金融计量学 （一）金融定量分析 金融计量学，是经济计量学的一个重要分支，主要是研究如何将经济计量学的基本原理与方法运用于金融领域，针对金融数据的特殊性，构造相应模型，以便实证检验金融理论和假设或者提提供金融预测。

（二）金融数据 1、低频数据 二十世纪九十年代以前，人们对金融时间序列的研究都是针对日、周、月、季度或者年度数据进行的，这种金融数据在金融计量学研究领域通常称为低频数据。 2、高频数据 近年来，随着计算工具和计算方法的发展，极大地降低了数据记录和存储的成本，使得对更高频率的金融数据进行研究成为可能。 在金融市场中，高频率采集的数据可以分为两类：高频数据（high frequency data）和超高频数据（ultra high frequency data）。 高频数据是指以小时、分钟或秒为采集频率的数据。高频数据即日内数据，是指在开盘时间和收盘时间之间进行抽样的交易数据，主要是以小时、分钟、甚至秒为抽样频率的、按时间顺序排列的时间序列。 3、超高频数据 超高频数据则是指交易过程中实时采集的数据。 高频数据和超高频数据两者之间的最大区别是：前者是等时间间隔的，后者的时间间隔是时变的。 一般而言，金融市场上的信息是连续的影响证券市场价格运动过程的。数据的离散采集必然会造成信息不同程度的缺失。采集数据频率越高，信息丢失越少；反之，信息丢失越多。

二、金融高频时间序列分析 对金融高频数据统计特征的研究 基于金融高频时间序列的波动性研究 微观结构噪声研究 最优抽样频率研究 基于高频数据的金融管理方面的应用研究

三、基于高频数据的金融波动率 （一）“已实现”波动（Realized Volatility，RV） （二）“已实现”双幂次变差（Realized Bipower Variation，RBV） （三）RV与RBV的比较研究

（一）“已实现”波动（Realized Volatility，RV） 1、“已实现”波动的定义 2、“已实现”波动的理论基础 3、“已实现”波动的性质 4、“已实现”波动的应用 5、“已实现”波动估计量形式的改进及扩展

1、RV的定义 Andersen和Bollerslev提出 “已实现”波动（RV）的定义为： t=1,2,…,T

2、“已实现”波动的理论基础 基本条件就是金融市场中不存在风险套利的机会，这样金融资产的对数收益率就是一个特殊半鞅过程。 由特殊半鞅的性质，又可以将其进一步分解为可料有限变差过程和局部鞅过程，从经济意义上来讲，可料有限变差过程和局部鞅过程分别代表均值过程（Mean Process）和新息过程（Innovation Process）。 由二次变差的性质，收益率平方和的极限为金融资产对数价格收益的二次变差； 再由伊藤定理，可以得到二次变差与积分波动（Integrated Volatility, IV）的对应关系。 “已实现”波动就是收益率的平方和，这样就可以得出“已实现”波动的概率极限为积分波动。

3、“已实现”波动的性质 根据Andersen和Bollerslev等（2000，2001，2001，2003）对西方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究，“已实现”波动通常具有下列性质： （1）由于日内高频收益率之间存在序列相关和异方差性，所以“已实现”方差（Realized Variance）与“已实现”标准差（Realized Standard Deviation）的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度。但是“已实现”标准差的偏度要比“已实现”方差的低； （2）虽然“已实现”标准差的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度，但是“已实现”标准差取对数后的无条件分布却很近似正态分布； （3）虽然日间收益率的无条件分布并非正态分布，具有明显的“高峰厚尾”性，但是日间收益率除以“已实现”标准差后的条件分布却近似是正态分布； （4）以上三条性质都是针对每日的“已实现”波动而言的，然而对“已实现”波动的时间聚合性质的研究，即对每周，每两周，每三周及每月的“已实现”波动的研究中发现：在时间聚合下，“已实现”波动的方差按 的尺度增长，其中表示时间跨度，d是常数； （5）“已实现”波动的自相关系数按双曲线的速率缓慢下降； （6）“已实现”波动取对数后的无条件分布是正态分布，具有显著的分数维单整的性质。

4、“已实现”波动的应用 “已实现”波动无模型、计算方便、并且是金融波动率的一致估计量，“已实现”波动在多变量的情形下还可以扩展为“已实现”协方差矩阵（Realized Covariance Matrix，RCM），它不仅包括各变量自身的“已实现”波动率，也包括变量之间的“已实现”协方差。因此，“已实现”波动近年来被广泛应用于金融高频数据的应用研究中。 如：VaR的计算；资产定价研究；运用“已实现”波动理论构建“已实现”Beta并对“已实现”Beta的持续性和预测进行研究；进行动态投资组合研究等。

5、“已实现”波动估计量形式的改进及扩展 赋权 偏差校正

（二）“已实现”双幂次变差（Realized Bipower Variation，RBV） 1、“已实现”双幂次变差的概念 2、“已实现”双幂次变差的概率极限 3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究

1、“已实现”双幂次变差的概念 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard 提出“已实现”双幂次变差（RBV）的定义为：

2、“已实现”双幂次变差的概率极限 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard指出在不存在跳跃和存在有限次跳跃的条件下，当s=2-r时，都有下式成立 ： 表示伽玛函数

3、“已实现”双幂次变差统计性质的实证研究 本节使用深证成指和上证综指两个市场的金融高频数据来构建“已实现”双幂次变差，然后对该估计量的特性进行实证研究。该高频数据是从2005.4.14至2006.4.14深证成指和上证综指的1分钟间隔时段内的收盘价，这期间共有243个交易日，共有241×243=58563个数据。 “已实现”双幂次变差的参数r、s的取值只要满足r+s=2，那么估计量的概率极限即为积分波动。因此，不失一般性的，本文选取了r=s=1、r=1/2且s=3/2、r=7/4且s=1/4时的“已实现”双幂次变差来研究估计量的统计特性。

图3-1 r=s=1时的深证成指的1分钟 “已实现”双幂次变差的自相关函数图 图3-2 r=s=1时的深证成指的5分钟

当r=s=1时，从图3-1至3-5和图3-6至3-10中可以看到，深证成指和上证综指在抽样频率分别为1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的150阶自相关函数，都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降。当r=1/2且s=3/2时，从图3-11至3-15和图3-16至3-20中，以及当r=7/4且s=1/4时，从图21-25和图26-30中，可以看到深证成指和上证综指在抽样频率分别为1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的“已实现”双幂次变差时间序列的自相关函数，也都是随着滞后阶数的增大而缓慢下降的。 同时，表3-1与表3-2中深证成指和上证综指分维数d的估计值也都显著不为零。这说明“已实现”双幂次变差时间序列为长记忆时间序列，并且具有分数维特性。

表3-3至3-5分别给出了当r=s=1时，当r=1/2且s=3/2时，以及当r=7/4且s=1/4时，深证成指在1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的抽样时间间隔下，“已实现”双幂次变差RBV、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和J-B统计量。 表3-6至3-8则分别给出了当r=s=1时，当r=1/2且s=3/2时，以及当r=7/4且s=1/4时，上证综指在1分钟、5分钟、10分钟、30分钟和60分钟的抽样时间间隔下，“已实现”双幂次变差RBV、标准差、标准差取对数以及用标准差将收益率标准化后的各个统计量的偏度、峰度和J-B统计量。

表3-3 r=s=1时深证成指在各个抽样频率下的统计量特征 RBV 偏度 5.3672 2.6652 0.99577 -0.0397 1分钟 峰度 42.942 14.504 4.7518 2.4683 J-B统计量 17022 1596.5 69.367 3.1482 5.7225 2.3983 0.50058 -0.001 5分钟 49.585 13.334 3.7223 2.4955 22900 1288.6 14.868 2.7909 3.4994 1.6067 0.26669 -0.1021 10分钟 21.033 7.2891 3.1843 2.6063 3719.7 284.36 3.0983 2.162 4.3444 1.5312 -0.1571 -0.165 30分钟 31.562 7.9326 3.395 2.3623 8865.5 333.68 2.3514 5.461 2.8838 1.3386 0.00569 -0.129 1399.9 116.76 2.5718 3.3542 ln yt/

从表3-3至3-8中可以看出，无论r、s取何值，都可以得出“已实现”双幂次变差具有如下的统计特性： （1）“已实现”双幂次变差与标准差的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度，但是标准差的偏度要比“已实现”双幂次变差的低； （2）虽然“已实现”双幂次变差的标准差的无条件分布都是极端右偏，而且具有极高的峰度，但是“已实现”标准差取对数后的无条件分布在抽样频率不是很高时（10分钟以上），却为正态分布； （3）虽然国内外的实证研究表明日间收益率的无条件分布并非正态分布，具有明显的“高峰厚尾”性，但是日间收益率除以“已实现”双幂次变差的标准差后的条件分布却近似是正态分布（由J-B统计量）。

通过对中国股市的深证成指和上证综指的高频金融时间序列的研究，从图3-1至3-30和表3-1至3-8中得到的“已实现”双幂次变差的统计性质，同Andersen和Bollerslev等对西方国家发达金融市场的高频金融时间序列的研究得到的“已实现”波动的性质是基本一致的。

（三）RV与RBV的比较研究 “已实现”波动（Realized Volatility，RV）是Anderson和Bollerslev等人基于金融高频时间序列提出的一种全新的波动率度量方法，该方法由于具有无模型、计算方便、并且在一定条件下是波动率的一致估计量等优点，近年来已被广泛应用于高频金融数据的研究中。“已实现”波动的概念和方法，近年来也获得不断的改进和发展。“已实现”双幂次变差（Realized Bipower Variation，RBV）是Barndorff-Nielsen和Neil Shephard提出的另一类似于“已实现”波动的波动率度量方法，该估计量同样是波动率的一致估计量。 针对这两种文献中常被提及和讨论的有代表性的波动率估计方法，本节在定义形式、估计量的稳健性、有效性等方面对这两个估计量进行了比较，发现“已实现”双幂次变差的定义形式更广泛，除了具有稳健性，本节还证明了“已实现”双幂次变差比“已实现”波动更有效。 通过对深证成指和上证综指的实证研究，我们可以看出“已实现”双幂次变差的稳健性，同时也证实了“已实现”双幂次变差能更准确的估计金融股市收益率的波动。

1、定义形式 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard 提出“已实现”双幂次变差（RBV）的定义为： Andersen和Bollerslev提出 “已实现”波动（RV）的定义为： t=1,2,…,T 当r=0，s=2或者r=2，s=0时， RBV即为RV,因此从定义形式上看，RV是RBV当参数取特定值时的特殊形式。

2、稳健性 Barndorff-Nielsen和Neil Shephard指出在不存在跳跃和存在有限次跳跃的条件下，当s=2-r时，都有下式成立 ： 表示伽玛函数 当不存在跳跃时，“已实现”波动的极限收敛到积分波动： 假设加入跳跃后金融资产对数价格的日收益为： 此时，“已实现”波动的收敛结果为：

在有限区间上发生有限次跳跃后，若波动率估计量的估计结果不变，则认为该估计量具有稳健性。 在加入有限次的跳跃后，“已实现”波动与“已实现”双幂次变差的收敛结果不再相同，“已实现”波动的收敛结果中除积分波动以外，还包含了跳跃带来的对波动的影响，而“已实现”双幂次变差仍收敛到积分波动。同没有加入跳跃时相比，“已实现”波动的收敛结果发生了改变，而“已实现”双幂次变差则没有发生变化。 因此同“已实现”波动相比，“已实现”双幂次变差对波动特性的估计具有更好的稳健性。

3、有效性 RV与RBV的有效性对比： 在一定条件下，“已实现”双幂次变差与“已实现”波动都是积分波动的一 致估计量，那么“已实现”双幂次变差与“已实现”波动哪个更有效呢？本节 给出三个定理：定理3-3证明了在每一点的波动相等的前提条件下，当 时“已实现”双幂次变差的方差小于“已实现”波动的方差；在引 入引理3-1后，定理3-4证明了当r=1时，“已实现”双幂次变差的方差小于 “已实现”波动的方差；在证明了引理3-2后，定理3-5证明了当 并且r+s=2时，“已实现”双幂次变差的方差小于“已实现”波动的方差， 而且当r=1时，“已实现”双幂次变差的方差最小。

4、实证研究 本节实证研究采用的高频金融时间序列的原始数据是2005.4.14-2006.4.14深证成指和上证综指的1分钟间隔时段内的收盘价，这期间共有243个交易日，共有241×243=58563个数据。

图3-33 深证成指1分钟数据在[31100，31350]上的对数价格路径图 在深证成指1分钟间隔的对数价格序列中，找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第31149个（t1）和第31331个（t2)时间点，t1与t1+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0066，t2与t2+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0065。可以将t1与t2看作对数价格序列中的跳跃点，t1与t2分别对应于第129天的第60个日内对数价格收益和第130天的第1个日内对数价格收益。 图3-33画出了[31100，31350]区间上的对数价格收益路径，从图中可以看到时间点为31149（t1）和31331（t2）处发生了跳跃。 图3-34画出了[125，135]区间上的“已实现”波动（RV）和“已实现”双幂次变差（RBV），可以看出在第130天和第131天的位置上“已实现”波动（RV）明显的大于“已实现”双幂次变差（RBV），这正是由于“已实现”波动（RV）此时还包含跳跃带来的波动，而“已实现”双幂次变差（RBV）描述的仅仅是积分波动。 图3-33 深证成指1分钟数据在[31100，31350]上的对数价格路径图

图3-34 深证成指在时间区间[125，135]上的RV与RBV 在深证成指1分钟间隔的对数价格序列中，找出相邻两个时间点差值绝对值最大的时间点分别为第31149个（t1）和第31331个（t2)时间点，t1与t1+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0066，t2与t2+1时刻的对数价格差的绝对值为0.0065。可以将t1与t2看作对数价格序列中的跳跃点，t1与t2分别对应于第129天的第60个日内对数价格收益和第130天的第1个日内对数价格收益。图3-33画出了[31100，31350]区间上的对数价格收益路径，从图中可以看到时间点为31149（t1）和31331（t2）处发生了跳跃。 图3-34画出了[125，135]区间上的“已实现”波动（RV）和“已实现”双幂次变差（RBV），可以看出在第130天和第131天的位置上“已实现”波动（RV）明显的大于“已实现”双幂次变差（RBV），这正是由于“已实现”波动（RV）此时还包含跳跃带来的波动，而“已实现”双幂次变差（RBV）描述的仅仅是积分波动。 图3-34 深证成指在时间区间[125，135]上的RV与RBV

图3-35 上证综指1分钟数据在[18701，18800]上的对数价格路径图 图3-36 上证综指在时间区间[71，80]上的RV与RBV 图3-35画出了[18701，18800]区间上的对数价格收益路径，从图中可以看到时间点为18771处发生了跳跃。图3-36画出了[71，80]区间上的“已实现”波动（RV）和“已实现”双幂次变差（RBV），可以看出在第78天的位置上“已实现”波动（RV）明显的大于“已实现”双幂次变差（RBV）。

为了说明定理3-5（有效性），分别求出“已实现”波动和r=s=1时的“已实现”双幂次变差，再任取 r≠1时的“已实现”双幂次变差，不妨取 r=1/2,s=3/2。

表3-7 各种收益率序列的分布特征 10分钟数据 YRVt YRBVt YRBV1t 均值 0.1 标准差 1.15 1.3 1.28 　10分钟数据 YRVt YRBVt YRBV1t 均值 0.1 标准差 1.15 1.3 1.28 深证成指 偏度 -0.1 峰度 2.46 2.61 2.57 J-B统计量 3.08 1.99 2.48 0.12 0.14 1.04 1.17 1.16 上证综指 -0.2 2.43 2.56 2.51 4.04 3.06 3.73

从表3-7中可以看出，r=s=1时的YRBVt的J-B统计量最小，其次是YRBV1t的J-B统计量，YRVt的J-B统计量最大。这说明用r=s=1时的“已实现”双幂次变差的标准差标准化后的日收益率的正态化程度最高，从而说明r=s=1时的“已实现”双幂次变差对真实波动率的度量更准确。对深证成指和上证综指两个市场的实证结果与定理3-5的结论相一致。

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