三大数学流派简介 -----对数学基础的反思 2005级数学试点班 曹文斌
集合论在19世纪末由康托建立后,集合概念成为最基本、应用最广的一个概念，人们曾经相信，全部数学的基础理论可用集合概念统一起来。1900年，在巴黎召开的国际数学家大会上，庞加莱曾满怀信心的说：“现在我们可以说，完全的严格化已经达到了。”可是这话说出后还不到3年，英国数学家罗素于1902年给德国数学家弗雷格的信中提出一个集合悖论，使数学基础发生动摇，用弗雷格的话说：“突然它的一块基石崩塌下来了。” 罗素的集合悖论一个通俗说法就是：某工厂有许多机器人，有一部专门修理机器人的机器人，称他为甲，甲规定只修理那些不修理自己的机器人，那么问“甲是否修理自己？”显然甲将陷入矛盾之中。
集合论中为什么会产生矛盾这个非常根本的问题，涉及数学逻辑推理的可信性和数学命题的真理性问题，属于数学哲学的范畴。 从1900年到1930年的30年间，许多数学家卷入了一场关于数学哲学基础的讨论，并逐渐形成不同的数学基础学派的争论，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三个学派。
创造的神秘,有如夜的黑暗---它是伟大的,而知识的幻影却如清晨之雾。（泰戈尔）
一、逻辑主义 1.逻辑主义的历史渊源 逻辑主义的形成究其本原可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一种普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础的一些原则，这种逻辑学先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但他并未能开展这一方面的工作。到了19世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发挥，并且都取得了不小的成就。
2逻辑主义的基本思想 逻辑主义的主要代表人物是英国著名的数学家、哲学家和逻辑学家罗素，他与怀特海于1913年完成了逻辑主义的经典代表作---《数学原理》。作者企图在这3卷本的数学巨著中向人们说明：全部数学可以以一个逻辑公理系统严格推导出来，也就是说可以从逻辑概念出发用明显的定义得出数学概念；由逻辑命题开始用纯逻辑的演绎推得数学定理。从而，使全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则而推导出来。这样，就可以把数学看成是逻辑学延伸或分支。所以，罗素说：“逻辑学是数学的青年时代，而数学是逻辑学的壮年时代。”“数学即逻辑。”
罗素在他的《数理哲学导论》一书中进一步的阐述了他的主张：“通过分析来达到越来越大的抽象性和逻辑简单性，……要研究我们能否找到更为一般的思想原则，以这些思想和原则出发能使现在作为出发点的东西得以被定义和演绎出来”。那么是什么样的思想原则呢？罗素接着说：“应当以一些已被普遍承认了的逻辑的前提出发，再经过演绎而达到那些明显的属于数学的结果。”即把数学化归于逻辑，这是他的基本观点。
在《数学原理》中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来，获得成功。故罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细的做了出来。”但是，事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论。
要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性的，但是，在逻辑系统中是不允许有矛盾的，因此，必须排除悖论。 可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。
数学基础学家一般都不接受“数学就是逻辑”的观点；同样也不能接受“一切数学思维都是逻辑思维”的说法。但是，尽管如此。罗素与怀特海和著的《数学原理》一书在20世纪的科学技术发展中影响很大。它以当时最严格的形式化的符号语言来陈述作者建立的逻辑体系、定义和定理，从而标志符号逻辑方法的成功。并显示了数学的逻辑基础研究的意义，因而进一步的显示了现代逻辑的科学意义。
《数学原理》一书成为名著。尽管逻辑主义的主张不能实现，逻辑主义的数学观不能为数学基础学者所广泛接受，但此书在方法论上的意义是不可忽视的。他们相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系，这在逻辑史上是一件大事，对数理逻辑后来的发展起了决定作用，是近代公理方法的一个重要起点。
二、形式主义 一般认为，形式主义的奠基人是希尔伯特，并把希尔伯特的数学观和数学基础称作为“形式主义”，罗素和布劳威尔称希尔伯特为形式主义的代表人物，但他们是指希尔伯特奠定数学基础的形式化方法，不一定是指他的某种主张。而希尔伯特本人并不自命为形式主义者，他的学生贝尔奈斯也不认为希尔伯特是形式主义者。
1.形式主义的形成 形式主义理论体系是在非欧几何产生之后，在数学和数学哲学研究中弥漫的“重建数学基础”的气氛中形成的。 当非欧几何得到人们的承认，亦即当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明了不自相矛盾的时候，人们便要问：数学的真理体现在那里？试想想，一个几何说，过直线外一点只能作一条直线不与原有的直线相交；另一个几何说，过直线外一点至少可作两条直线不与原有的直线相交；这两个几何不是互相打架了吗？理应至少有一个是错误的，为什么两个几何都成立呢？
德国著名数学家希尔伯特主张，保卫经典数学和经典的数学方法，并且发展他们。他认为，经典数学，包括由于集合论的出现而发展起来的新的数学方向，都是人类最有价值的精神财富；为了在数学中避免出现悖论，就设法绝对的证明数学的无矛盾性，使数学奠定在严格的公理化的基础上，数学的公理和逻辑推理就像天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。为了实现这一目的，希尔伯特在1922年提出了著名的希尔伯特计划。
2.形式主义的基本思想 希尔伯特计划的主要思想就是：奠定一门数学的基础，应该严格的、数学的证明这门数学的协调性（即无矛盾性或一致性、相容性）；希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。 希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。
希尔伯特计划，将各门数学形式化，构成形式系统，然后用一种初等方法证明各个形式系统的相容性，即无矛盾性，从而导出全部数学的无矛盾性。 他区分了3种数学理论：1.直观的非形式化的数学理论；2.将第一种数学理论形式化，构成一个形式系统，把直观数学理论中的基本概念转换为形式系统中的初始符号，命题转换为符号公式，推演规则转换为符号公式之间的变形关系，证明转换为符号公式的有穷序列；3.是描述和研究第二种数学理论的，称为元数学、证明论或元理论。元数学是以形式系统为研究对象的一门新数学，它包括对形式系统的描述、定义，也包括对形式系统性质的研究。
形式主义的提出是数学发展史上最重要的转折点，它标志着元数学的建立。从此，数学的发展进入研究形式系统的新阶段。 这里我们要说明一点：形式主义和逻辑主义一样，都从公理系统出发，不同点是：逻辑主义者当追到逻辑公理系统时，不再持原来的对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，而且想方设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方，形式主义者则不然，他们认为数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便得承认，它便代表某一方面的真理。连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作为真理所在了。
希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究表现，这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能在本门数学内做出，必须在一门较之更强的数学中才可能做出。这定理说明希尔伯特的原计划是不可能成功的。但是希尔伯特的数学基础思想却发展了元数学，这就把形式心理学向前推进了一步，促进了数学的发展。现在，元数学（证明论）已发展为数理逻辑的四大分支之一。
形式主义的代表人物有美国数学家鲁滨逊和柯恩等人。他们认为：数学应该被看作一种纯粹的纸上符号游戏，对这种 形式的唯一要求是不会导致矛盾。 但是，这种形式主义思想显然与希尔伯特的主张是不同的。
三、直觉主义 1.直觉主义的历史根源 直觉主义的思想可以追溯到亚里士多德时期，亚里士多德是历史上第一位反对实无穷，只承认潜无穷的哲学家。直觉主义的哲学观点则是直接渊源于康德和布劳威尔的自然数源于“原始直觉”，即是康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。
19世纪的克罗内克强调能行性，说当时好些定理都只是符号的游戏，没有实际意义。他认为：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。”其意是说，只有自然数是真实存在，其余都只是人为做出的一些文字符号罢了。他还主张在自然数的基础上来构造整个数学。 20世纪初，庞加莱亦持自然数为最基本的直观及潜无穷的主张。其他如包瑞尔、勒贝格 鲁金等半直觉主义或法国经验主义亦强调能行性的观念。
他们公开否认选择公理，认为根据选择公理而作的集合，根本没有能行性，不能承认其存在。他们提出能行性的概念，没有能行性的便不承认其存在。他们都是直觉主义的先驱。所有这一切，都为布劳威尔的直觉主义提供了直接的前提，布劳威尔集其先驱们之大成，系统的提供了直觉主义的主张。
2.直觉主义的数学观思想 直觉主义的奠基人和代表人物是荷兰数学家布劳威尔,从1907年布劳威尔的博士论文《数学的基础》开始，直觉主义者逐步系统的阐述了他们的数学观和重建数学基础的主张。 他的数学观包括以下几个方面：
(1)他对数学对象的观点。他提出一个著名的口号：“存在即是被构造。”他认为，人们对数学的认识不依赖于逻辑和语言经验，而是“原始直觉”（即人皆有的一种能力），纯粹数学是“心智的数学构造自身”、是“反身的构造”，它“开始于自然数”，而不是集合论。这种数学构造之成为构造，与这种构造物的性质无关，与其本身是否独立于人们的知识无关，与人们所持的哲学观点也无关。构造物应该怎样就怎样，数学判断应该是永恒的真理。
因此，布劳威尔不承认有客观存在的、封闭的和已完成的实无穷体系。 实无穷论者认为“自然数全体”就是指自然数集{1，2，3……}，这是个确实存在了的完成了的集合，可以而且应该作为数学研究的对象。 潜无穷论者否认实无穷，认为无穷只是潜在的，并不是已完成了的封闭实体，只是就其发展来说是无穷的。在他们看来，自然数1，2，3……，只能是永远处于不断被构造和生成的过程，而不是完成了的、封闭实体。 所以，诸如“自然数全体”这样的概念是没有意义的。
(2)对数学所用的逻辑的观点。布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具”，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。
直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30年代以后，由于歌德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。 构造性数学已经成为数学科学中一个重要的数学学科群体，与计算机科学密切相关。 1967年，美国数学家毕肖普出版《构造性分析》，开始了直觉主义学派的构造主义时期。
谢谢！