第五章 弯 曲 内 力

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本章要点 重要概念 (1)受弯杆件的简化 (2)剪力方程和弯矩方程 剪力 弯矩图 (3)载荷集度 剪力和弯矩之间的关系 (2)剪力方程和弯矩方程　剪力　弯矩图 (3)载荷集度 剪力和弯矩之间的关系 重要概念 平面弯曲、剪力、弯矩、剪力图、弯矩图

目录 §5-1 平面弯曲的概念 §5-2 受弯杆件的简化 §5-3 剪力和弯矩 §5-４剪力方程和弯矩方程 剪力 弯矩图 §5-４剪力方程和弯矩方程　剪力　弯矩图 §5-5 载荷集度 剪力和弯矩之间的关系 §5-6 按叠加原理作弯矩图 §5-7 平面曲杆的弯曲内力 §5-8 平面刚架内力图

§5-1 平面弯曲的概念 弯曲： 举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这种形式的变形我们就称为弯曲变形。 再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。

2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为弯曲。 3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。 ①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对 称梁

4、平面弯曲（对称弯曲） 一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲变形，简称为平面弯曲。 F q FA FB 纵向对称面 完 5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。 目录

§5-2 受弯杆件的简化 、支座的几种形式 1、固定端： §5-2 受弯杆件的简化 一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。 、支座的几种形式 1、固定端： 这种支座的简化形式如图所示，它使梁截面既不能移动，也不能转动，它对梁的端截面有三个约束，相应地，梁的端截面受有三个支反力作用。 例如：打入地下的木桩，游泳池的跳水板支座等都可简化成固定端支座。

跳台跳板 简图 约束反力 2、固定铰支座： 这种支座可简化成如图所示的形式，它使得梁截面不能沿水平方向和沿垂直方向移动，但不能限制它绕铰的中心转动。因此，固定铰支座对梁有两向约束，相应地，梁受到两个支反力作用。例如：下图所示的桥梁的左端支座。

简图 固定铰 活动铰 约束反力 简易桥梁 3、可动铰支座： 该支座的简化形式如右图所示，它只能限制梁截面沿垂直于支座面的方向移动，因此，这种支座对梁仅有一个约束，相应地，该截面处就只受一个支反力作用。例如上图桥梁的右端就可简化成为可动铰支座。

二、载荷的简化 F1 F2 一般情况下，载荷简化后的结果不外乎两种：一种是集中力，另一种是分布力，如图所示： q(x) 分布力一般分为均布和非均布两种（这些我们在绪论部分详细介绍过，在此就不再详细分析了） 注：这里所讲的集中力和分布力，包括集中力偶和分布力偶，它是一个广义的概念。

三、静定梁的基本形式： 相应于不同的支座形式，静定梁可分为三种形式：简支梁，外伸梁，悬臂梁。 简支梁 外伸梁 完 悬臂梁 目录

§5-3 剪力和弯矩 、概念： 下面我们通过一个例题来说明剪力和弯矩的概念。如图所示，一个简支梁，其上分别作用着两个集中力P1=P，P2=P的作用，现在要我们求梁某一截面上的内力。 F1=F F2=F A B x D m C RA RB a

解：分析，以前我们在拉压，剪切和扭转部分曾经讲过，无论对何种杆件，受到何种外力的作用，要我们求横截面上的内力时，都采用截面法，在这里也是一样。 (一)、 求支反力RA ，RB 由： (二)、求截面m-m上的内力（采用截面法） 由上图可知：要保持左 半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力 Ｑ . x F RB Q M 由 ——（a）

二、Ｑ、Ｍ的符号规定： 同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ 由 ——（b） Q——因与截面相切，故称之为剪力，是与横截面相切的分布 内力系的合力。 Ｍ——由于它能使梁发生弯曲，故称它为弯矩，是与横截面垂 直的分布内力系的合力。 讨论：Ｑ在数值上，等于截面以左所有外力在梁轴垂线（Ｙ 轴）上投影的代数和Ｍ在数值上，等于截面以左所有外 力对截面形心的力矩的代数和。 二、Ｑ、Ｍ的符号规定：

上面我们是以左段为研究对象计算截面m-m上内力的，如果我们以右段为研究对象，用相同的方法也可求得截面m-m上的内力Ｑ和Ｍ，并且可以发现二者同上述求得Ｑ和Ｍ在数值上是相等的，但方向相反。为了使上述两种算法得到的同一截面上的弯矩和剪力，非但数值上正好相等而且符号也一致，因此有必要对二者进行正、负号的规定： 、剪力的正负号的规定：

2、弯矩的正负号的规定： （+） （-） 口诀：凹口向上为正，凹口向下为负。 完 目录

§5-４ 剪力方程和弯矩方程 剪力 弯矩图 一、概念： 二、剪力图和弯矩图的绘制 §5-４　剪力方程和弯矩方程　剪力　弯矩图 一、概念： 从前几节的分析中，我们可看出：在一般情况下，梁截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以横坐标Ｘ表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为Ｘ的函数，即： ——剪力方程 ——弯矩方程 （5—1） 二、剪力图和弯矩图的绘制 传统的方法一般都是根据剪力、弯矩方程来绘制剪力和弯矩图，下面我们通过具体例题来分析剪力和弯矩图的具体绘制方法。

例5—1 解：1、求支反力RA 、RB F a b RA RB 由 Fb/L Fa/L 得： Fab/L 2、建立坐标系如图所示， 求解梁的弯矩方程：

(a) (b) (c) (d) AC段： （0<x<a） （a<x<L） CB段： 3、根据剪力方程作剪力图 由(a)式可知：在AC段内，Q=常量，且为正值，故剪力图在AC段内为一在X轴上方的水平直线，同理可知在CB段内剪力图为一在X轴下方的水平直线。如图所示。

例5—2： 4、根据弯矩方程作弯矩图 由<b>式可知，在AC段内， 为x的一次函数，故AC 的弯矩值就可作出AC段的弯矩图，同理可得CB段的弯矩图如 图所示。 例5—2： q L RA RB 解：求支反力 由于结构和载荷都对称于跨度中点，故可直接得出： qL/2 qL2 /8 + - Q图 M图

建立坐标系如图所示，求剪力、弯矩方程（用截面法） （0<x<l） (a) （0<x<l） (b) 根据剪力方程作剪力图 由（a）式可见： 为x的一次函数，故剪力图为一 斜直 线，因而只需求出斜直线的两个端点的数值，即可作出剪力图。

刚架弯矩图的绘制： 例5—3： 根据弯矩方程作弯矩图： 由（b）可知： 为x的二次函数，故弯矩图为一抛物线，由于x2的系数为负，故抛物线开口向下，由于抛物线为一曲线，为了画出的弯矩图比较精确，一般情况下，要多确定曲线的几点，如图所示： 刚架弯矩图的绘制： 例5—3： F Fa 0.5Fa

解：求支反力 计算内力时，一般应先求支反力，由于该图的A端为一自由端，无需计算支反力就可计算弯矩，故此步骤可省略。 作弯矩方程： 如图所示：AC段的坐标原点取在A端。 CB段的坐标原点取在C端。 AC： CB：

完 目录  作图： 注意：在绘制弯矩图时，我们规定为弯矩图画在杆件受压的一 侧，即杆件弯曲变形凹入的一侧。由(a)(b)式可见：两 段的弯矩方程均为斜直线，故只要定出A、C、B三点处 的弯矩值即可作出弯矩图。 完 目录

§5-5 载荷集度、 剪力和弯矩之间的关系 、 例5—2中，若将 的表达式对x取导数，就得到剪力 若将 对x取导数，就可得到载荷的集度q。这里 的表达式 、 和 之间的这种导数关系并不只是上面例题中的特殊 情况，而是一个普遍的规律，下面我们就一般情况来推导这种关 系。 一、 如图所示为一在载荷作用下的梁 y x M F1 q(x) A B dx C M(x) Q(x) M(x)+dM(x) Q(x)+dQ(x)

。 由 由 1.假设：规定q(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上q(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。 2.微分关系推导： 如图所示，从梁中取出一微段进行研究，一般情况下，我们都可以假设截面的内力为正值，由于dx很小，故可近似的认为dx上的 。 由 由 略去二阶微量： （5—2）

剪力图上某点处的切线斜率等于相应点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于相应点处剪力的大小。 二、微分关系的几何意义 1.微分关系的几何意义： 剪力图上某点处的切线斜率等于相应点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于相应点处剪力的大小。  （常数）即：剪力图为一平行于x轴的直线。  即： 剪力图为一斜直线。

当C>0时，抛物线 凹口向上，反之向下。  即：弯矩图为平行于x轴的直线。 即：某一截面处弯矩图的斜率为零，在这一截面上弯矩为一极值。

在集中力作用处，剪力Q有一突然变化，即弯矩图的斜率有一突然变化，弯矩图上出现一转折点。  不但可能发生在 的截面上，也有可能发生在集中力 作用处，或集中力偶作用处，所以求时， 应考虑上述几种可能性 。 2.其它规律： ①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用 处； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点； ③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩 图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称 ，弯矩图关于梁中点反对称。

3. 各种荷载下剪力图与弯矩图的形态： Q图 M图 q(x)=0 + - q(x)=C C<0 C>0 Q(x)=0 外力情况 Q图 M图 |Mmax|位置 q(x)=0 + - q(x)=C C<0 C>0 Q(x)=0 剪力为零的截面 集中力F作用处： 突变，突变值为F 有尖点 剪力突变的截面 集中力偶M作用处： 不变 突变值为M 弯矩突变的某一侧

完 目录 三、利用微分关系作剪力弯矩图 1.求支反力； 2.利用微分关系绘制Q图； 3.根据Q图，利用微分关系绘制M图 例5—3 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q—M图。 D A B C RA RB 解： 1、求支反力 2、判断各段Q、M图形状： CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。 AD段：q<0， Q 图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。 3 3.8 Q + _ (kN) 4.2 E x=3.1m 1.41 M (kN·m) 2.2 （-） （+） 完 目录

§5-6按叠加原理作弯矩图 (a) 当变形为微小时，可采用叠加原理绘制弯矩图 B MA A q MB l (a) 当变形为微小时，可采用叠加原理绘制弯矩图 1. 叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。 + MA MB M0 (d) (c) (b) 2. 叠加法作弯矩图：设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：

注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。 利用内力图的特性和叠加法的原理，将叠加法绘制梁弯矩图的一般作法归纳如下： （1）选定集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点为控制截面，求出控制截面的弯矩值。 （2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。

例5—5 叠加法作图示简支梁的弯矩图。 2F C l/2 A B F M Q

例5—6：叠加法作弯矩图 F=ql = + F

完 目录 解： （一） 求弯矩方程： （二）根据弯矩方程作出弯矩图，如图所示。 讨论：由弯矩方程 可见：第一项代表在集中 力作用下的弯矩方程，第二项代表在均布载荷作用下的弯矩。故上式表明：两者叠加就是两种载荷共同作用时的弯矩。 完 由上例我们也可得出叠加原理更为具体的定义，即： 在小变形的前提下，当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷引起的内力是各自独立的，并不互相影响，这时，各个载荷与它所引起的内力成线性关系，叠加各个载荷单独作用时的内力，就得到这些载荷共同作用时的内力。 目录

§5-7 平面曲杆的弯曲内力 上面分析的都是一些梁或直杆的内力（剪力和弯矩），在这一节就平面曲杆来进行内力分析。 §5-7 平面曲杆的弯曲内力 上面分析的都是一些梁或直杆的内力（剪力和弯矩），在这一节就平面曲杆来进行内力分析。 如图所示为一轴线为圆周四分之一的曲杆，要求确定曲杆某一截面上的内力。

解：(一)沿截面m-m将曲杆分成两部分，并取右半部分为研究 对象，如图所示。 （二）求内力 作用于这一部分上的力，分别投影于轴线mn截面处的切线和法线方向，并对mn截面的形心o取矩，根据平衡条件得： 内力符号规定： 引起拉伸变形的轴力为正 使轴线曲率增加的弯矩M为正。 以Q对所考虑的一段曲杆内任一点取矩，力矩为顺时针方向时为正，反之为负。注：作弯矩图时，将M画在轴线的法线方向，并画在杆件受压的一侧。

解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力方程： 例5—7 ： 一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自由端B受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出其内力图。 A O B m R j F C F O j h z FN(j) FS(j) M (j) 解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力方程：

根据内力方程绘出内力图，如图所示。 B A F FN图 A O B m R j F A F B FS图 完 FR A B M图 目录

§5-7剪力图 弯矩图的技巧画法 、在集中力或集中力偶作用下，梁的剪力图、 弯矩 图的技巧画法： 1.对于这种情况下的剪力图的规律，我们可以这样来描述。我们可以根据力的作用点的数目和支座的数目，把梁分成相应的几段。在每一段中剪力图的数值都是相同的。因此反映在剪力图中，都是一条水平直线，相邻两段的剪力数值的差值，等于作用在这两段之间的集中力的大小。 注：在集中力偶作用处，剪力图不发生突变。 2.弯矩图的变化规律：

无论对于这种情况，还是以后所提到的种种情况我们要切记弯矩图要根据剪力图来画，这比列出弯矩方程来画弯矩图要方便得多，而且直观的多。当某一段上的剪力为正值时，相应段上的弯矩图为一向右上倾斜的直线，当剪力为负值时，相应段上的弯矩图为一向右下倾斜的直线。（无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，反之产生负的弯矩） 注意：（1）如果上有集中力偶作用时，那么在集中力偶作用， 弯矩图将发生突变，突变后沿着原来的方向前进。 （2）在活动铰的地方，弯矩为零。

二、梁在均布载荷作用下，剪力图 、弯矩图的技巧画法 1、q的箭头向下，剪力图向下斜，q的箭头向上，剪力图向上倾 斜。 2、当|Q|由小到大时，抛物线切线的斜率的绝对值由小变大，因 而抛物线的形状应该是： 3、当|Q|由大到小时，抛物线切线的斜率的绝对值由大变小，因 而抛物线的形状应该是： 4、如果q的方向向下，则抛物线的凹口向下，如果q的箭头向上， 则抛物线的凹口向上。

B A C D K E q=20kN/m Me=5kN·m F=50kN MA FAx FAy FBy (逆时针) 例5—8：试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。 1m 0.5m 3m B A C D K E q=20kN/m Me=5kN·m F=50kN MA FAx FAy FBy 解：首先求得 (逆时针) 然后依据画法技巧进行内力图绘制

完 目录 81 B A C D K E q=20kN/m Me=5kN·m F=50kN MA FAx FAy FBy 31 29 Fs图(kN) 1.45 m 55 34 5 M图(kN·m) 96.5 15.5 31 完 目录

§5-8 平面刚架内力图 一、平面刚架 ——由同一平面内不同取向的杆件相互间 平面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩。 刚性连接的结构，具体如下图所示。 平面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩。

作刚架内力图的规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号； 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧，但应注明正、负号；剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。

(外侧受拉) 例5—9： 试作图示刚架的内力图。 q 解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，可不求固定端A处的支反力。 B C 例5—9： 试作图示刚架的内力图。 q 解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，可不求固定端A处的支反力。 B y C x a 2a D F=2qa CB段： 2a A (外侧受拉) q C x FS(x)

(外侧受拉) (外侧受拉) q BD段： B C 2a y FS(x) M(x) DA段： q B C 2a y a D F=2qa

谢 谢 大 家 ! 完 目录 q 2qa B 可取刚性结点B为分离体，考察该结点是否满足平衡条件来校核内力图的正误。 C F=2qa FN图 D q 2qa FN图 可取刚性结点B为分离体，考察该结点是否满足平衡条件来校核内力图的正误。 谢 谢 大 家 ! 2qa FS图 2qa2 6qa2 M图 完 目录