第3章 静定结构的内力计算 一、静定梁的内力计算 二、静定刚架的内力计算 三、三铰拱的内力计算 四、静定桁架的内力计算 第3章 静定结构的内力计算 一、静定梁的内力计算 二、静定刚架的内力计算 三、三铰拱的内力计算 四、静定桁架的内力计算 五、组合结构的内力计算

一、静定梁的内力计算 1.单跨静定梁 单跨静定梁分为两种： 一是水平放置的单跨静定水平梁； 二是倾斜放置的单跨静定斜梁。 本节仅讨论单跨静定斜梁的内力计算。单跨静定斜梁的内力计算方法与单跨静定水平梁相同。但须注意的是单跨静定斜梁的内力除剪力和弯矩外，一般还有轴力。

截面上的内力的符号意义和正负号规定： 符号意义: FNAB和FNBA 分别表示AB段的A端和B端的轴力； FQAB和FQBA 分别表示AB段的A端和B端的剪力； MAB和MBA 分别表示AB段的A端和B端的弯矩.

剪力以使分离体顺时针向转动为正，逆时针向转动为负;弯矩以使分离体下层纤维拉伸、上层纤维压缩为正. 内力的正负号规定: 轴力以拉力为正,压力为负; 剪力以使分离体顺时针向转动为正，逆时针向转动为负;弯矩以使分离体下层纤维拉伸、上层纤维压缩为正. 内力的正负号与荷载之间的关系:

对内力图所作的规定为： 截面的内力与载荷之间的关系是： 轴力=截面一侧的所有外力在垂直于截面方向投影的代数和； 剪力=截面一侧的所有外力在平行于截面方向投影的代数和； 弯矩=截面一侧的所有外力对截面形心力矩的代数和. 对内力图所作的规定为： 弯矩图一律绘在杆件受拉的一侧，图上不必注明正负号；剪力图和轴力图，可绘在杆轴的任一侧，但需要注明正负号。（在水平梁上通常把正号剪力或轴力绘于上方）。

多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成的一种静定结构。这种结构除多用于桥梁外，房屋建筑中的檀条有时也采用这种形式。 2 多跨静定梁 多跨静定梁是由若干根梁用铰联结而成的一种静定结构。这种结构除多用于桥梁外，房屋建筑中的檀条有时也采用这种形式。 a b

从几何组成看，多跨静定梁的各部分可以区分基本部分和附属部分。 如图所示梁，其中梁AC是基本部分；另外，梁DG和HJ因在竖向荷载作用下仍能独立地维持平衡，故受竖向荷载作用时也当作基本部分。而梁CD和GH则必须依赖基本部分才能保持其几何不变性，为附属部分。它们之间的依存关系可表示如图所示的层叠图。

多跨静定梁简图 基本部分--不依赖其它 多跨静定梁实例 部分而能独立地维持其 几何不变性的部分。 附属部分--依赖基本 部分的存在才维持几 何不变的部分。 多跨静定梁简图 基、附关系层叠图

请画出叠层关系图 组成 多跨 静定 梁的 部件 组 成 例 子

荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。 F2 F1 F1 F2 分析顺序：先附属部分，后基本部分。 荷载仅在基本部分上，只基本部分受力，附属部分不受力； 荷载在附属部分上，除附属部分受力外，基本部分也受力。

例1：试画图示连续梁的弯矩图和剪力图。

+ 9 9.5 12 2.5 5 4 FQ 图（kN）

例2：已知q， l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相 等，试确定铰 B、E 的位置。 由MC=AB跨中弯矩可求得x

多跨简支梁

例3：作图示多跨静定梁的内力图，并求出各支座的反力。 1m 4m

例4: 试作图示多跨静定梁的内力图。 如何 求支座 B反力?

二 静定平面刚架的内力计算 在分析静定刚架时，通常应先由整体及某些部分的平衡条件，求出各支座反力，然后再逐杆计算各杆端内力并绘制内力图。杆端内力的符号意义、正负号规定以及内力图画法规定均同单跨静定梁.

以下图所示的刚架为例说明它的计算方法

　(1) 求支座反力。 　取整个刚架为分离体，由静力平衡条件：

(２) 求杆端内力。 　 先取竖柱为分离体，受力图如右所示。A端内力可由支座反力求得

再取横梁为分离体，受力图如下图所示。D端内力可由支座反力求得 C端内力可由静力平衡条件，得： 　　再取横梁为分离体，受力图如下图所示。D端内力可由支座反力求得

C端内力由静力平衡条件，得

(３) 绘制内力图。 在求得各杆端内力后，即可绘制内力图了． (３) 绘制内力图。 在求得各杆端内力后，即可绘制内力图了． 先说明弯矩图的作法： 竖柱AC：利用区段叠加法。 横梁CD：利用区段叠加法。

再说明剪力图和轴力图的作法： 作剪力图时仍逐杆进行，根据已求出的杆端剪力，按单跨静定梁来绘出剪力图，并由此可绘出整个刚架的剪力图． 再说明剪力图和轴力图的作法： 　　作剪力图时仍逐杆进行，根据已求出的杆端剪力，按单跨静定梁来绘出剪力图，并由此可绘出整个刚架的剪力图． 同理，可作轴力图如下图所示。

(4) 校核。 取刚结点C为分离体，检验是否满足力矩平衡条件： 取刚架上部分的横梁CD为分离体，检验是否满足投影平衡条件： 和

静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求杆端 弯矩，再用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。

例1、试作图示刚架的内力图 FBx FAy FBy

40 kN 80 kN 30 kN

FQ FN

附属 部分 例四、例2 试作图示刚架的弯矩图 基本 部分

弯矩图如何?

少求或不求反力绘制弯矩图 1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡 3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分) 5.区段叠加法作弯矩图 根 据

例3、不经计算画图示结构弯矩图. FP

FP FPa 2FP

FBy FAy FAx 60 240 180 40

FPa FPa FP a FPa 2FPa FPa 2FP

例4 已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。 FP a/2 a FPa /2 FPa FP a/2 2 FP 反 问 题

已知结构的弯矩图，试绘出其荷载。 8 2 FP 4 m 2 m 8 6 1 2 3 反 问 题

三. 三铰拱的内力计算 拱是曲杆在竖向荷载作用下支座处将产生水平反力的结构，这种水平反力又称为水平椎力，或简称为推力。有无水平推力，是拱与曲梁区别的重要标志。

由于有水平推力，使得拱的各截面弯矩比相应曲梁或直梁的弯矩要小。因此，与梁相比，拱用料省，自重轻、跨度大。又由于拱主要承受轴向压力，故可充分利用抗压性能优于抗拉性能的材料，如砖、石、混凝土。它广泛用于桥梁，在房屋建筑中也常采用 . 工程中常用的静定拱是三铰拱。按两支座连线是否水平，分为平拱和斜拱。

三铰拱的支座反力和截面内力，通常是用相应简支梁的支座反力和截面内力来表示的。 由整体平衡,有

由左半拱的平衡,有

关于拱的截面内力及截面转角的正负号作如下规定 ： 弯矩M以使拱的内侧受拉为正，反之为负； 剪力FQ以使分离体顺时针方向转动为正，反之为负； 轴力FN以使拱截面受压为正，反之为负； 截面转角φ在左半拱为正，右半拱为负。

可见，由于水平推力的存在，使得三铰拱任一截面上的弯矩比相应简支梁对应截面的弯矩小。 取截面K以左部分为分离体，如图（c）所示. 可见，由于水平推力的存在，使得三铰拱任一截面上的弯矩比相应简支梁对应截面的弯矩小。

拱的任一截面上只存在轴力的拱轴，称为合理拱轴。

当拱轴为合理轴线时，拱的任一截面上的弯矩应为零，即

四 静定平面桁架的内力计算 桁架是由若干直杆在其两端用铰联结而成的结构。

(1) 桁架的分类 按桁架的外形分为 平行弦桁架 折弦桁架

三角弦桁架 梯形桁架

按支座反力的特点分为 无推力桁架或梁式桁架

有推力桁架或拱式桁架

按桁架的几何组成方式分为 简单桁架: 它是从一个基本铰接三角形或基础开始，依 次增加二元体所组成的桁架.

联合桁架: 它是由几 个简单桁架按几何不变体系的组成规则所联成的桁架. 复杂桁架: 它是除上述两类桁架以外的其它桁架.

(2) 研究方法 结点法:逐个地取结点为分离体，分别列平衡方程，即可求出全部杆件轴力的方法。

在计算时， ①通常假设各杆的轴力均为拉力，若所得为负，则为压力。 ②在建立结点的平衡方程时，往往需要把轴力FN分解为水平分力 FNx和竖向分力FNy。设杆长为l ，其水平投影长度和竖向投影长度分别为lx 和 ly，则由它们之间的相似关系有

③找出桁架中轴力为零的杆件（称为零杆），可使计 算得以简化。零杆的判别有以下两种情况： 不共线的两杆结点，无外力作用时，这两杆必要零杆。 两杆共线的三杆结点，无外力作用时，另一杆必为零杆，共线的两杆轴力大小相等且同为拉力或压力

例1. 求以下桁架各杆的内力

-33 34.8 -8 37.5 -5.4 19 -5.4 -8 -33 34.8

在用结点法进行计算时，注意以下三点，可使计算过程得到简化。 对称性的利用 如果结构的杆件轴线对某轴（空间桁架为某面）对称，结构的支座也对同一条轴对称的静定结构，则该结构称为对称结构。 对称结构在对称或反对称的荷载作用下，结构的内力和变形必然对称或反对称，这称为对称性。

对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: E 点无荷载,红色杆不受力 FAy FBy

对称结构受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称: 垂直对称轴的杆不受力 FAy FBy

对称轴处的杆不受力

判断结构中的零杆 FP/2 FP F

截面法:通过需求轴力的杆件作一适当的截面，将桁架分成两部分，再取任一部分为分离体，由平衡方程即可直接求得指定杆件未知内力的方法，叫截面法。

例2 试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。 m 6m A B FP 1 2 3 4 m n 2.5FP FN1 =-3.75FP FN2 =3.33FP FN3 =-0.50FP FN4=0.65FP

相 交 情 况 FP a为截面单杆

平行情况 FP b为截面单杆

用截面法灵活截取隔离体 FP 1 2 3

FP FN2 FN1 FN3 FAy

例3 试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力.

联合法: 凡需同时应用结点法和截面法才能确定杆件内力时，统称为联合法. 例4 试求图示K式桁架指定杆ED的轴力.

零杆 由对点C的力矩式可求得FN1,再注意到上弦杆为零杆,由点C的投影式可求得ED杆的内力.

五 组合结构的内力计算 由只受轴力的二力杆和梁式杆件组成的结构，称为组合 结构。 对组合结构作受力分析时，一般先求支座反力，后求各链杆的轴力，再求梁式杆件的内力并绘其内力图。

一般有一些关键的联系杆 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，必须注意区分两类杆 静定组合结构 特点 既有桁架杆，又有弯曲杆 一般有一些关键的联系杆 求解的关键点 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，必须注意区分两类杆

4 例1 试求图示K式桁架指定杆ED的轴力. I M图(kN.m) 6 5 FN图(kN) 8 kN 2 m 4 m A B C D E G 12 4 6 M图(kN.m) 12 -6 FN图(kN) 5 6 5 kN 3 kN