大学物理 教师：郑采星 课程指导课七 第7章 光的衍射 7.1 光的衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理 7.2 夫琅和费单缝衍射 7.3 光栅衍射 7.3 光栅衍射 7.4 光学仪器分辨率 7.5 X射线的衍射

第7章 光的衍射 基本要求 理解惠更斯――菲涅耳原理。掌握确定单缝衍射条纹位置和宽度的计算。掌握光栅衍射与光栅方程。掌握光学仪器的分辩率。了解伦琴射线的衍射，布喇格公式。 教学基本内容、基本公式 1. 单缝夫琅和费衍射、半波带法、 A B  a asin C

2. 衍射光栅 光栅暗纹公式 光栅的分辨本领

3. 光学仪器分辨率

1. 单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为的单色光垂直入射在宽度为a＝4的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为 (A) 2 个． (B) 4 个． (C) 6 个． (D) 8 个． 答案：(B) 参考解答：根据半波带法讨论，单缝处波阵面可分成的半波带数目取决于asin 的大小，本题中 比较单缝衍射明暗条纹的公式： 显然在对应于衍射角为30°的方向，屏上出现第2极暗条纹，单缝处波阵面可分成4个半波带。

2. 设光栅平面、透镜均与屏幕平行．则当入射的平行单色光从垂直于光栅平面入射变为斜入射时，能观察到的光谱线的最高级数k (A) 变小； (B) 变大； (C) 不变； (D) 的改变无法确定。 答案：(B) 参考解答： 平行单色光从垂直于光栅平面入射时 斜入射时,如图所示有两种情况需要考虑， 显然，按公式(2)解出的最高级次k大于按公式(1) 解出的最高级次k.

3. 一束平行单色光垂直入射在光栅上,当光栅常数(a+b)为下列哪种情况时（a代表每条缝的宽度）, k=3,6,9等极次的主极大均不出现？ (A) a+b=2a . (B) a+b=3a . (C) a+b=4a . (D) a+b=6a . [ ] B 4. 设天空中两颗星对于一望远镜的张角为4.84×10-6 rad，它们都发出波长为550 nm的光，为了分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少要等于_____________ cm．(1 nm = 10-9 m) 参考解答：根据光学仪器的最小分辨角公式 令

5. 如图所示，设波长为l的平面波沿与单缝平面法线成q角的方向入射，单缝AB的宽度为a，观察夫琅禾费衍射．试求出各极小值(即各暗条纹)的衍射角． 解：1、2两光线的光程差，在如图情况下为 由单缝衍射极小值条件 a(sin －sin ) =  k k = 1,2,…… 得  = sin—1(  k / a+sin ) k = 1,2,……(k  0) 1、2两光线的光程差，

6. 以波长为l = 500 nm (1 nm = 10-9 m)的单色平行光斜入射在光栅常数为d = 2. 10 mm、缝宽为a = 0 6. 以波长为l = 500 nm (1 nm = 10-9 m)的单色平行光斜入射在光栅常数为d = 2.10 mm、缝宽为a = 0.700 mm的光栅上，入射角为i = 30.0°，求能看到哪几级光谱线． q G L 2 C n 屏 第k 级谱线 光栅 透镜 i 解：(1) 斜入射时的光栅方程 k = 0，±1，±2，… 分析在900 <  < 900 之间，可呈现的主极大： (2) 对应于i = 30°，设q = 90°， k = kmax1，则有　　 取整数 kmax1 = 2． (3) 对应于i = 30°，设q = 90°，k = kmax2，则有 取整数 kmax1 =  6． (4) 但因 d / a = 3，所以，第 -6，-3，… 级谱线缺级． (5) 综上所述，能看到以下各级光谱线： -5，-4，-2，-1，0，1，2，共7条光谱． 两侧主极大最高级次不再对称！

7. 用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长R在 0. 63─0 7. 用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长R在 0.63─0.76 m范围内，蓝谱线波长lB在0.43─0.49 m范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2) 在什么角度下只有红谱线出现？ 解： (1) (a + b) siny =kl， ∴ kl= (a + b) sin24.46°= 1.38 mm ∵ lR=0.63─0.76 mm； lB＝0.43─0.49 mm 对于红光，取k=2 , 则 lR=0.69 mm； 对于蓝光，取k=3, 则 lB=0.46 m. 红光最大级次 kmax= (a + b) / lR=4.8, 蓝光最大级次 kmax= (a + b) / lB=7.2. 由光栅衍射主极大公式得 当两谱线重合时有 即 则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．

7. 用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长R在 0. 63─0 7. 用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长R在 0.63─0.76 m范围内，蓝谱线波长lB在0.43─0.49 m范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2) 在什么角度下只有红谱线出现？ 红光最大级次 kmax= (a + b) / lR=4.8, 蓝光最大级次 kmax= (a + b) / lB=7.2. 由光栅衍射主极大公式得 当两谱线重合时有 即 则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为 , 则 ∴  = 55.9° (2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现． 1 = 11.9° 3 = 38.4°

光栅的分辨本领是指把波长靠得很近的两条谱线分辨的清楚的本领。 8. 一光源含有氢原子与它的同位素氘原子的混合物，这光源发射的光中有两条红线在波长l = 656.3 nm (1 nm = 10-9 m)处，两条谱线的波长间隔Dl = 0.18 nm．今要用一光栅在第一级光谱中把这两条谱线分辨出来，试求此光栅所需要的最小缝数． 解：光栅的分辨本领R与光栅狭缝总数N和光栅光谱的级数k有关． 光栅分辨本领公式为 光栅的分辨本领是指把波长靠得很近的两条谱线分辨的清楚的本领。  ——两条谱线的平均波长， 或，+的。  ——两条谱线的波长差

9. 一平面透射多缝光栅，当用波长l1 = 600 nm (1 nm = 10-9 m)的单色平行光垂直入射时，在衍射角q = 30°的方向上可以看到第2级主极大，并且在该处恰能分辨波长差 Dl = 5×10-3 nm的两条谱线．当用波长l2 =400 nm的单色平行光垂直入射时，在衍射角q = 30°的方向上却看不到本应出现的第3级主极大．求光栅常数d和总缝数N，再求可能的缝宽a． 解：据光栅公式 得： 据光栅分辨本领公式 得： 在q = 30°的方向上，波长l2 = 400 nm的第3级主极大缺级，因而在此处恰好是波长l2的单缝衍射的一个极小，因此有： 当 k =1 时， 缝宽a有下列两种可能： 当 k =2时， a =2×d/3 = 2×2.4 /3 mm = 1.6 mm．

10. 在单缝夫琅禾费衍射实验中，用单色光垂直照射，若衍射图样的中央明纹极大光强为I0，a为单缝宽度，l 为入射光波长，则在衍射角q 方向上的光强度I = __________________． 或写成 每一份都是一个面光源，面光源上每一点都是子光源。 在 方向，相邻面元之间的光程差为 相位差为 设想把单缝处的波阵面分成N个（N为很大的数）等宽的面元（垂直于画面）。

假设每一个面元在P点引起的光波振幅为，根据多个等幅同频振动的合振幅公式 因为N非常大，所以1非常小， 令 所以 则 当 由此可知NA为中央条纹中点P0处的合振幅，以A0表示，所以P点的合振幅为 得P点光强为

在三角形DOCM中,OM 的长度就是合振动的振幅A,角度MOX就是合振动的初相，据此得 考虑到 教材图4.12　 多个同方向同频率谐振动的合成

o X P点合振幅为零,各分振幅矢量组成闭合多边形。 明纹条件： （k = 0, 1, 2, 3…） N 暗纹条件： 复习：光栅衍射光强曲线 明纹条件： （k = 0, 1, 2, 3…） -- 光栅方程 设每个缝发的光在对应衍射角 方向P点的光振动的振幅为Ep P 点为主极大时 N 暗纹条件： 由同频率、同方向振动合成的矢量多边形法则 X o 得： P点合振幅为零,各分振幅矢量组成闭合多边形。

暗纹条件： 又 由 (1),(2) 得 I 光栅暗纹公式 N2I0单 进一步讨论：任意衍射角方向光栅衍射的光强公式 图7.9 光栅衍射光强曲线 I N2I0单 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 当△的值使各振幅矢量组成封闭多边形时，A =0,对应于暗纹。 进一步讨论：任意衍射角方向光栅衍射的光强公式

G 其中 I'0 = A'2. 光栅衍射的强度 A θ d B C D 如图所示，在 方向相邻两条缝之间的光程差为 相位差为 所有缝在 方向产生的振幅为 其中 汇聚点的光强为 当N = 1时，可知：I'0是单缝引起的光强。 其中 I'0 = A'2. 可得光栅衍射的光强公式 根据单缝衍射的公式

11. 在双缝衍射实验中，若缝宽a和两缝中心间距d 满足 d / a = 5，则中心一侧第三级明条纹强度与中央明条纹强度之比I3﹕I0 = _________． 0.255 或 光栅衍射：I(NA)2 (光栅共有N 条缝),是单缝衍射明纹强度的N 2倍. 当N = 2时，根据光栅光强公式可得

12. 一平面衍射光栅，透光缝宽为a，光栅常数为d，且d / a = 6，在单色光垂直入射光栅平面的情况下，若衍射条纹中央零级亮纹的最大强度为I0，则第一级主极大明纹的最大光强为_______． 用MATLAB学物理 《MATLAB可视化大学物理学》

增加缝数N，会使干涉条纹变窄；在两个主极大之间有N - 2个次极大。 增加缝数，次极大的相对光强会减小。 由于Imax = N2I0，所以增加缝数会增加主极大的亮度。

当缝数很多时，次极大很小，主极大的条纹又细又亮。 程序在课程中心-大学物理-CCBP-自由下载！

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MATLAB 可视化大学物理学 是一套将大学基础物理学和计算机语言MATLAB相结合的教材。 物理部分分为14章，完全按照大学基础物理的内容顺序编排。 每章先列出大学物理的基本内容，然后将物理内容和例题以范例的形式提出来，进行解析和图示。每一章都精心选取和编制了10个范例，共有140个范例。 有关物理内容的每个范例都有算法和程序，程序后面还有说明。 物理学的研究对象具有极大的普遍性，其基本理论渗透到自然科学的一切领域，应用于生产技术的各个部门，它是自然科学和工程技术的基础。物理学知识的应用过程中，往往要简化模型，只在有限的情况下可以得到解析解。目前计算机语言的各种教材中，绝大部分例题与习题无理工科背景，实用性有限。大学物理与计算机语言基础教育一体化必定会成为各高等院校未来创新教育的主攻方向。

研讨题在地面进行的天文观测中，光学望远镜所成星体的像会受到大气密度涨落的影响（所以要发射太空望远镜以排除这种影响），而无线电天文望远镜则不会受到这种影响。为什么？ 参考解答： 星体辐射的光在进入望远镜的路径中必然通过大气层，所以必须考虑大气分子的衍射对图像质量的影响。 教材中的理论已经指出，衍射物的线度与入射波波长愈相近，衍射现象愈明显；衍射物线度远远大于入射波波长时可不考虑衍射。 大气粒子的平均线度在纳米量级上下，光波的波长是百纳米量级，大气微粒的线度与光波的波长可比，所以对光波的衍射作用显著，直接影响观测图像。随着大气密度的涨落，图样也将随着变化，所以用光学望远镜就无法准确地获得星体的图像。 无线电波长在微米到米的量级，大气粒子的平均线度远远小于无线电波的波长，观测中可忽略衍射的影响。所以在天文观测中无线电天文望远镜就可不受大气密度涨落的影响，从而可精确获得星体的图像。